分数阶微积分简介(大三下)

1、分数阶微积分简介分数阶微积分简介数学史上的丰碑数学史上的丰碑 微积分微积分 由Newton和Leibniz创立的微积分是变量数学时期（17世纪后期）最主要的成就；微积分的诞生是全部数学史上，也是人类历史上最伟大最有影响的创举；离开微积分，人类将停顿前进的步伐微积分导致后来一切科学和技术领域的革命；在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪后半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 -恩格斯(自然辩证法, p244) 极限和穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明(特别是毕达哥拉斯学派)。 微积分作为一门科学，产生于17世纪后半期，基本完成于19世纪，而它的一些概念则萌芽于15世纪以前的

2、古代。 大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难. 具体地， 从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就在寻求一种计算不规则图形面积的方法. 许多迫切待解决的问题：描述处理运动、曲线的切线、曲线的长度、曲面的面积、曲面围成的多面体的体积、极大极小问题. 微积分的奠基人是英国的Newton和德国的Leibniz。牛顿的微积分包括“流数法”和“求积法”两种方法，莱布尼茨使用“差的计算”和“求和计算”。 经过DAlembert、Euler、Lagrange等人的努力，微积分严格化

3、到19世纪初终于见到效果。Bolzano、Cauchy、Weierstrass等人对微积分严格化做出最突出的贡献。 在微积分的创立上，Newton和Leibniz分享荣誉，但是微积分发明权之争论是“科学史上最不幸的一章”。英国数学家固守Newton的传统而使自己远离分析的主流，分析的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家在Leibniz微积分方法的基础上而取得的。 代数与几何相结合的产物-解析几何将变量引进了数学（变量数学），为微积分的创立搭起了舞台。积分学可追溯到古代（面积和体积的计算），数学分析书中Kepler“行星运动三大定律”现代定积分思想的雏形。其实“分割、求和、取极限”方法计算不规

4、则图形面积的思想追溯到古希腊Archimedes的“穷竭法” pp. 262-264 相比于积分学，微分学的起源要晚很多，刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率、求函数的极大极小值等。虽古希腊学者曾进行作曲线切线的尝试，直至19世纪前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。15世纪以前是一些概念的萌芽时期，主要是Archimedes的穷竭法和刘徽的割圆术现代微积分的早期形式。16世纪前后200年的时间，常量数学基本完成，也是变量数学的酝酿时期，微分法和积分法已有雏形。17世纪前后半期，Newton和Leibniz在前一时期数学成就的基础上各自独立建立微分运算和积分运算

5、，并建立二者之间的联系，揭开了数学历史的新篇章。18世纪是微积分的基础讨论和研究时期。19世纪Cauchy和Weierstrass等确定微积分的现代形式，Dekind和Cantor奠定了牢固的基础。分数阶微积分简介分数阶微积分简介 分数阶微积分已有300多年历史，早在1695年，Leibniz和LHospital曾以书信的方式探讨过分数阶微积分, L Hospital提出问题：12121d( ),?2dxf xx nx 124年之后(1819年) ，Lacroix首次给出这一问题的正确解答:0(1)!d ,.nxnnx exnN以上结果是如何得到的？为弄清这个问题，我们首先要了解Gamma函数

6、121212d2.dxxx 将Gamma函数推广到 n 取正实数的情况10()d ,0 xxex其次，我们再回顾一下变上限函数求导公式(1)( ).有 3230d1()( )( )d2ttxf x dxf tt0d( )( )dtf x dxf tt220d() ( )( )dttx f x dxf tt10. . . .d1()( )( )d(1)!ntnntxf x dxf ttn 以上公式说明 10101( )()( )d(1)!1()( )d( )tnnttnJ f ttxf x xntxf x xn 我们已经推广了Gamma函数，自然地，上面的整数次积分能否推广到分数次？答案是肯定的

7、。 Riemann-LiouvilleRiemann-Liouville分数次积分分数次积分 定义函数 的 次积分如下101( )()( )d ,( )ttJ f ttsf ss1 0,(0, ,), 0.fLTXt( )f t其中结合卷积的定义0()( )() ( ) d ,thfth ts f ss11( ),0,( )gttt令101( )()( )d( )()( ).ttJ f ttxf xxgft则则 问题：上面介绍的是分数次积分，那么分数阶导数又该如何定义？ 在允许相差常数的意义下，积分和求导是逆运算的关系，那么能否借助前面分数次积分来定义分数阶导数呢？ 例如2122ddd( )J

8、( )J( )J( )dddnntttnf tf tf tf tttt2112ddd( )J( )J( )dddnnttnf tf tf tttt 通常积分运算要比求导运算复杂，从而我们希望多求导少积分，这将导致以下定义的产生 Riemann-LiouvilleRiemann-Liouville分数阶导数分数阶导数 函数函数 的的 阶导数定义如下阶导数定义如下 ( )f t10d( )( )d1d()( )d , 0.() dmmttmmtmmD f tJf tttsf sstmt 0, m 其中 表示不小于 的最小整数。 引入分数阶导数的定义后，整数阶导数就成为分数阶导数的特殊情况. 我们自

9、然希望：在分数阶导数定义中取整数时，已有整数阶导数的结论依然成立. 我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。函数 的Laplace变换0( )( )dtfef tt( )f t1110( ,)(1)d ,0Bsss Beta函数 设则 为函数 和 的卷积。 11,002( )dd( ) ( ).tthttettet 11,0( )()dthttsss 两边作Laplace变换得,(1)( ,),hB ,( )ht 1t1t 两边再取Laplace逆变换得1,( ) ( )( ).()htt ,1( )( ).(1)htt1若 ，则 下面例证整数阶导数的结论在分数阶导数定义中是否成立？

10、对于幂函数有 101d()s d() dmtnmntmD xtssmt ,11d( )()dmmnmhtmt1d() (1)()d(1)mm nmmntmtm n (1).(1)nntn 011d1()d(1) d1d1(1) d110.(1)ttDtsstttt 当 取整数时，与整数阶导数结果完全吻合。 再看常数函数，若01 这导致了分数阶导数其他定义形式的产生这导致了分数阶导数其他定义形式的产生CaputoCaputo导数导数 函数 的 阶Caputo导数定义如下()f t( )( ) mmtttD f tJD f t1(0, ,).mfCTX101d( )()d , ()dmtmmf s

11、tssms 其中 Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数是分数阶导数最常用的两种定义形式。 随后越来越多的数学工作者开始关注分数阶微积分，由于缺少物理力学背景支持,其理论和应用发展都非常缓慢. 1974年首届分数次演算国际会议召开；随后耶鲁大学教授Mandelbrot 指出：自然界和科学技术中存在大量的分数维，分数阶布朗运动和Riemann-Liouville分数阶微积分有着紧密的联系. 这些都促使分数阶微积分理论及应用迅猛发展. 如今，分数阶微积分理论已经广泛应用于水动力学、生物力学、量子力学、控制论、医学等众多领域. 例如，多孔介质中的溶质运移问题是地下水动力

12、学研究的重要内容之一 ，传统的多孔介质中水动力弥散理论采用如下的二阶对流弥散方程来描述溶质在多孔介质中的运移行为 ：( , )( , )( , )C x tvC x tD C x tt 其中C(x,t)表示在时刻 t 位于空间点 x 处的溶质浓度, v表示对流速度, D为弥散系数。 对于稳定流问题,上式中的弥散系数D被看作是一常数,与溶质运移过程的尺度无关。但在实际中存在弥散的尺度效应，即弥散系数随着运移距离的增加而增大，弥散系数不能再被看作常数。 因此，有必要对这一方程加以改进以适应实际的需要。用非局域性的处理方法得到如下的反常扩散方程: 1( )0( )( )(0), 1.(1)kmktktD f tf tfmmtk ( , )( , ).tD C x tDC x tx其中 用实验的实测数据对所得结果进行检验,检验结果很好地说明了弥散过程中的偏态特征和“拖尾”现象。而传统二阶对流弥散方程的高斯分布解却不能解释。 因此,用分数阶的对流弥散方程比二阶对流弥散方程能更好的描述溶质在多孔介质中的弥散. 更多的应用可参阅参考文献. 参