立体几何专题复习空间角的求法(三)

1、立体几何专题复习-空间角的求法(三)(一) 异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a /a,b /b， a ,b所成 的角的大小与点0的选择无关，把a,b所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所 成的角(或夹角)为了简便，点0通常取在异面直线的一条上(1) 平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之 成为相交直线所成的角。(2) 异面直线所成的角的范围：(0,.2(3) 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角， 则叫两条异面直线垂 直两条异面直线a,b垂直，记作a_b.(4) 求异面直线所成的角的方法：法1:通过平移，在一条直线上找一点

2、，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所 成的角即为所求+(二) 直线和平面所成的角1. 线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜 线和这个平面所成的角2. 记作：二；3 、范围：0， 1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角 二2即直线与平面垂直；2当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。3. 求线面角的一般步骤：(1) 经过斜线上一点作面的垂线；(2)找出斜线在平面内的射影，从而找出线I面角；(3)解直角三角形。cos=L，sin日l l(三) 二面角1. 二面角的平面角：(1) 过二面角的棱上的一点O分

3、别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则 AOB叫做二面角-丨- 一：的平面角.(2) 一个平面垂直于二面角-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是-丨- 1的平面角*说明：(1)二面角的平面角范围是0,180；(2) 二面角的平面角为直角时，则称为 直二面角，组成直二面角的两个平 面互相垂直(3) 二面角的平面角的 特点：1）角的顶点在棱上；2）角的两边分别在两个面内；3）角的边都要垂 直于二面角的棱。2、作二面角的平面角的常用方法：、点P在棱上一一作垂直于棱的直线（如图 1）:、点P在一个半平面一 三垂线定理法；（如图2）、点P在二面角内垂面法。

4、（如图3）（图1）（图2）（图3）3. 二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角；2、证明 这个角就是所求的角；3、指出这个角 就是所求的角；4、求出此角的大小。一 “作”一一二“证”一一三“指”四“求”（几何法作二面角的平面角）（1）观察在两个半平面内是否有与棱垂直的直线；（2）观察两个半平面的几何特征（如：等腰三角形、正三角形等）（3）若两个半平面内除棱以外的点 P所在的第三个平面Y与其中一半平面0垂 直，则可用三垂线定理作二面角的平面角，如图所示；（4）若能在其中一半平面内找到另一半平面的射影图形，也可用射影面积法IScos日=求二面角的平面角；S【典型题型】题型一求异面直线所成的角例

5、1:正方体 ABCA1B1C1D1中，（1）求AC与 A1D所成角的大小；（2）若E、F分别为AB AD的中点，求AC与EF所成角的大小.练习1.如图,正方体 ABCD- ABCD中,异面直线 AB与AD所成角的余弦值 为；;异面直线AB与CG所成角异面直线AB与DC所成角为为2在长方体ABC- AB1CD中，已知DA=DC=，DD=3求异面直线 AB与BQ所成 角的余弦值。3.如图，在四棱锥P ABCD中, PCL底面ABCD 0为AD中点,侧棱PA= PD=V2, 底面ABCD为直角梯形，其中BC/ AE）AB丄AD, AD=2AB=2BC=2,（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；题

6、型二求线面角例2:如图，正方体ABCD-AiBCD中，求直线BC与平面ABC所成角的大小。练习1:在棱长为2的正方体ABCD- ABCD中，E是BC的中点.求直线DE与平 面ABCD所成角的B大小（用三角函数值表示）.题型三二面角例 1 在空间四边形 PABC中, . APC =90, APB =60,PB二BC二AB=4,PC=#二 面角P-AB-C的大小。练习1:已知ABCD是正方形，P平面ABCD且 PA=AD=1求面PAB与面PCD所 成的二面角的大小。练习2:如图正方体ABCD-AB1C1D中，棱长为1，（1） 求二面角Bj - AC -D1的大小；（2）求二面角B-AQ -A的大小

7、。AB练习3.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1 BC= 2，求二面角P-AB-C的正切值。PA练习4.在直三棱柱ABC - AEG中，BB=BC=AB=4且/ABC =90 , E为CC的中 1点，F在BB上，且BFBB1，求平面AEF与平面ABC所成的角。4B巩固练习：1 正六棱柱ABCDEEA1B1C1DE1F1底面边长是1,侧棱长是,2，则这个棱柱的侧 面对角线ED与BC所成的角是（）A. 90o B . 60o C . 45o D . 30o2如图S为正三角形所在平面 ABC外一点，且SA= S吐SC= AB, E、

8、F分别为 SC AB中点，贝u异面直线EF与SA所成角为（）A. 90oB. 60o C . 45o D3.把正方形ABC沿对角线AC折起，当点D到平面 直线BD和平面ABC所成角的大小为（）A. 90oB. 60oC. 45o4. PA PB PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（）A. 1 B .C.二 D. -32 3325. 已知 ABC中, A吐 2，BO 1，ZABC= 120o，平面 ABC外一点 P满足 P心 PB=PC= 2,则三棱锥P-ABC的体积是（）A. *b. 4C $D.二23466. PA PB PC是从点

9、P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,贝面角A PB-C所成角的余弦值是（）A. 1 B .泌C.D .亠3 3327. 设二-MN - 是直二面角，A MN , AB 二: , AC 一 1：，/BAN /CAN =45 ,贝，BAC =。8.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2、飞，则侧面与底面所成的二 面角等于9在直三棱柱ABC -ABG中，AC=3 BC=4 AB=5 AA=4, D是AB勺中点。(1)求证：AC丄BC(2)求证：ACi /平面CDB.(3) 求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值。10. 在四棱锥P-ABCD中, PD丄平面ABCD AD丄CD,且DB平分N ADC,E为PC的中 占八、)AD=CD=1 DB=2 2 . (1) 证明：PA/平面 BDE .(2) 证明：AC_ 平面 PBD(3) 求直线BC与平面PBD所成的角的