第2章 点、直线、平面的投影

1、教学大纲规教学大纲规定的知识点定的知识点（1） 投影法基本知识（2） 点的投影（3） 直线的投影（4） 平面的投影（5） 点、线、面的相对位置4学时教学目的和教学目的和要求要求 本章通过介绍点、直线和平面的投影特点，使学生熟悉和掌握绘制、阅读工程图样以及图解空间几何问题所需的理论基础。 重点难点重点难点本章的重点就是三视图的形成及其投影规律，点、直线和平面的投影特点，难点是点、线、面的相对位置，以及相关的画法几何题目。学习指导学习指导 在学习点、直线和平面的投影时，要和立体的投影结合起来，要用“长对正、高平齐、宽相等”的规律研究几何元素的投影，反过来用几何元素的投影规律研究立体的投影。可结合生

2、产上的管道图研究直线的投影及其应用，生产上的板金图研究平面的投影及其应用。 教学安排教学安排教学内容习题第一讲（1） 投影法基本知识（2） 点的投影（3） 直线的投影（4） 平面的投影习题集2-1至2-132-17至2-20第二讲（5） 点和线的相对位置（6） 直线和直线的相对位置（7） 点和平面的相对位置（8） 直线和平面的相对位置（9） 平面和平面的相对位置习题集2-14至2-162-21至2-33第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影第一讲第一讲 投影法及点、直线、平面的投影投影法及点、直线、平面的投影 【知识要点】（1） 中心投影的概念（2） 斜投影的概念（3） 正投影的

3、概念（4） 点、直线、平面的投影【教学指导】首先介绍投影法的基本概念和分类，然后介绍点、直线、平面的投影，在介绍点线面的投影时要结合立体来讲。（1） 点：重点讲三个点，三个坐标均不为0的点、一个坐标为0的点、两个坐标为0的点。（2） 直线：先讲投影面垂直线，再讲投影面平行线，最后讲一般位置直线。（3）平面：先讲投影面平行面，再讲投影面垂直面，最后讲一般位置平面。点与直线、直线与直线的相对位置放在下一讲进行。【课前准备】熟悉作业内容，上课前试做习题集中的作业。 （1）投影法的分类中心投影法平行投影法斜投影法正投影法2-1 投影法的基本知识一、投影法的分类（2）中心投影法中心投影法的投射线自一点发

4、出，物体投影的大小取决于到投影面的距离d和物体相对于投影面的距离L，当d一定时，物体离光源越近，投影越大。（3）斜投影和正投影投射线为平行线时的投影称为平行投影。若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影。正投影的特性如下：实形性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）；积聚性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）；类似性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，但平面图形变小了，线段变短了。（4）三视图的形成【一个视图的不定性】物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同

5、形状物体的某一视图可能会相同。所以，一个视图不能准确的表达物体的形状。在机械图样上有时也采用一个视图表达机械零件的形状，但是，这是必须附加说明，圆柱的直径标注“”，球体的直径标注“S”，板的厚度标注“t”等。在装配图上大家都非常熟悉的标准件，如螺栓、轴承等也只画一个视图。【教学建议】教材中该部分内容在6-1，建议在讲点、线、面的投影前介绍，用研究三视图的办法研究点、线、面的投影，将点、线、面的投影和立体的投影结合起来。（4）三视图的形成【两个视图的不定性】 用互相垂直的两个平面作投影面，得到的两个正投影能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体

6、用两个视图也不能准确的表达其形状，这时要用三个视图来表达物体的形状。（4）三视图的形成将物体放入由V、H、W面组成的投影体系中，用正投影的方法分别得到物体的三个投影，在V面上的投影称为主视图，在H面上的投影称为俯视图，在W面上的投影称为左视图。将三个视图面展平到一个平面内，并调整三个视图的相对位置，即得到物体的三视图。（5）三视图的投影规律因为主视图反映了物体长度方向（方向）和高度方向（Z方向）的尺寸；俯视图反映了宽度方向（Y方向）和长度方向的尺寸；左视图反映了高度方向和宽度方向的尺寸。又因为俯视图绕X轴向下旋转90左视图绕Z轴向后旋转90，所以三个视图存在如下规律：(1)主、俯视图长度相等-

7、长对正；(2)主、左视图高度相等-高平齐；(3)俯、左视图宽度相等-宽相等。“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律,物体上的每一个形体、平面、直线、点都遵从上述规律。2-2 点的投影空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：（1）当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内；（2）当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上，特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y轴上，当按三视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴向后旋转落在YW轴上。（3）

8、当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。2-3 直线的投影一、投影面垂直线空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜。若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点。二、投影面平行线 若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、H、W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，

9、且投影线段的长小于空间线段的实长。三、一般位置直线 一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。2-6 平面的投影一、投影面平行面空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线。二、投影面垂直面若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投

10、影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线和投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，其他两个投影面上的投影为类似形。三、一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接放映空间平面的实形和投影面所成的二面角。第二讲第二讲 点、直线、平面的相对位置点、直线、平面的相对位置 【知识要点】（1） 点和线的相对位置（2） 直线和直线的相对位置（3） 点和平面的相对位置（4） 直线和平面的相对位置（5） 平面和平面的相

11、对位置【教学指导】要明确研究点、直线、平面的相对位置的目的，其目的是解决空间几何元素的度量和定位问题，开发学生的空间想象能力。所以教学中要尽可能用投影图研究几何元素的相对位置问题。【课前准备】熟悉作业内容，上课前试做习题集中的作业。 点和直线的相对位置点在直线上（点分线段成比例）点不在直线上直线与直线的位置关系平行（三个投影对应平行）相交（交点符合点的投影规律）交叉（重影点可以判断遮挡关系）点与平面的位置关系点在平面内（在平面内的一条已知直线上）点在平面外直线与平面的位置关系垂直（有垂直相交、垂直交叉两种情况，直角投影定理）直线在平面内（两点在平面内）直线与平面平行（直线平行于平面内的一条直线

12、）直线与平面相交（有一个公共点）平面与平面的位置关系平行（在平面内的两条相交直线对应平行）相交（有一条公共交线）知识点关系图2-4 直线与点、两直线的位置关系一、点和直线的位置关系点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上。若点在直线上，点的三面投影必落在直线的三面投影上，且点分空间线段所成的比等于点的投影所分线段的投影所成的比；若点不在直线上，则点的三个投影至少有一个投影不在直线的投影上。二、两直线的位置关系（1）两直线平行直线和直线的位置关系有平行、相交和异面（交叉）。若空间两直线平行，则其三投影必平行。如右图所示的直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只

13、有一对直线不平行，你能断定是哪对直线吗？（2）两直线相交若空间两直线相交，则三个投影必相交，且交点符合点的投影规律。上图中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只有一对直线不相交，你能断定是哪对直线吗？（3）两直线交叉异面若其投影线段相交，则交点对应于异面直线上的不同点，称之为重影点，对重影点可见性的判断，可以帮助判断两直线的交叉关系。如右图所示直线中，四对直线中只有一对直线不是异面直线，你能断定是哪对直线吗？（4）两直线垂直（垂直相交、垂直交叉）直线和直线垂直可分为垂直相交和垂直异面。当两条直线中至少有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影垂直。如图所示四对直线

14、中只有一对直线不垂直，你能断定是哪对直线吗？2-7 平面内的直线和点（1）平面内的点 点和平面的位置关系有两种：点在平面上和点不在平面上。若点在平面内的一条已知直线上，则点必在平面内。如右图（a）所示，已知平面ABC的两投影，且K点在平面ABC上，K的V面投影k已知，求作K点的H面投影。这个基本作图非常有用，图（b）所示的三棱锥，当钻出一个三棱柱孔时，三棱柱孔的两端面三角形在三棱锥的前后侧面上，可利用点在平面上的基本作图求出其H面投影和W面投影。（2）平面内的直线直线和平面的位置关系有平行、相交和直线在平面内三种位置关系。 若直线上的两点在平面内，则直线在平面内；过平面内的一个已知点，作平面内

15、的一条已知直线的平行线，则直线在平面内。上图（a）为基本作图过程，图（b）中，三棱柱孔的端面三角形在四棱锥的前后侧面上，三棱柱孔的主视图已知，可用上述基本作图求出三棱柱孔的俯视图和左视图。2-9 直线与平面、两平面的位置关系（1）直线和平面平行 直线与平面平行的判定定理是直线平行与平面内的一条已知直线。过空间一点可以作无数条直线和已知平面平行，但过空间一点作已知平面的投影面平行线只能作一条。如图所示，K点可能在平面ABC内，也可能不在平面ABC内，若K点在平面ABC内，则KL在平面ABC内；若K点不在平面ABC内，则KL和平面ABC平行。（2）直线和平面相交 直线和平面相交时,交点为直线和平面的公共点,直线和平面两者中有一个对投影面处于垂直位置,则交点可直接求出，如图所示；若两者对投影面均处于一般位置，则不能直接求出，我们不讨论这种情况。右图为三棱柱和三棱柱相交时的三视图，三棱柱和三棱柱的交线可理解为小三棱柱的三个侧棱和大三棱柱的两个侧面相交，用上述基本作图可求出其交点，然后根据可见性连线，即可得到三棱柱和三棱柱的交线。（3）平