专题复习—圆周运动类问题

1、专题复习 圆周运动类问题 （上 ）P3. 命题趋向与考点圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年来高考的热点，与 实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向飞船、卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相 关性，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能 力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求， 是新高考突出学科内及跨学科间 综合创新能力考查的命题热点， 特别是神舟六号的成功发射和回收， 探月计划即将付诸实施， 更会结合万有引力进行命题。1、重力场中的匀速圆周

2、运动：明确天体运动的向心力是由万有引力来提供的，常见问题如 计算天体质量和密度， 星体表面及某一高度处的重力加速度和卫星运行的变轨等。 不同星球 表面的力学规律相同，但 g 不同，解决该类问题应注意求解该星球表面的重力加速度。2、竖直圆轨道的圆周运动：质点在竖直面内的圆周运动的问题是牛顿定律与机械能守恒应用加小球通过最高点有极值限制的综合题,解题的关键在于判断不同约束条件下的速度临界问题。P5.二复习精要：1圆周运动的问题重点是向心力的来源和运动的规律,2 2 2 2主要利用 F向=mv /R=m w R=m（4 n /T ） R求解.2对于匀速圆周运动，合外力为向心力 利用F向+v /R,求

3、解.（1）匀速圆周运动：受力特征 合外力大小不变，方向始终与速度垂直且指向圆心运动特征 速度和加速度大小不变，方向时刻变化的变加速曲线运动（2）非匀速圆周运动：受力特征 合外力大小和方向都在变 ,一方面提供圆周运动所需的向心力 ,另一方面提供切 向分力以改变速度的大小运动特征 速度和加速度的大小及方向都在变化的变加速曲线运动P6.向心力来源： 在重力场中天体运动： F 万=F心 在匀强磁场中 带电粒子的匀速圆周运动： F 洛= F 心 在电场中 原子核外电子绕核的旋转运动：F 库= F 心 在复合场中 除洛仑兹力外其他力的合力为零：F洛=F心 其他情境中 一一光滑水平面内绳子拉小球做匀速圆周运

4、动：F拉=F心P7. 2.处理圆周运动的方法和注意点处理圆周运动的基本方法是牛顿运动定律与功能关系（动能定理、 机械能守恒及能量守恒 ）的综合运用， 关键是确定圆心画出圆轨迹， 找出向心力。 （ 1 ）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向；（2）向心力是根据效果命名的；（3）建立坐标系：应用牛顿第二定律解答圆周运动问题时，通常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体，相互垂直的两个坐标轴中,一定要有一个轴的正方向沿着半径指向圆心。P8. 3圆周运动的两种临界问题 一绳的模型和轻杆模型（1） 绳的模型 :如图所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动：亠 2 2最

5、咼点 F1+ mg=mv1 /R, 最低点 F2 mg=mv2/R 过最高点临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用。由mg=mv2/R得v临界» Rg注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度v临界=.Rg 能过最高点条件：v> v临界 不能过最高点条件：v<v临界mg(2)杆的模型：如图所示：有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动 、，2最咼点 mg 士 FN=mv/R 当v=0时，Fn= mg. Fn为支持力，方向和指向圆心方向相反O当vLg时,Fn随v增大而增大，且Fn >0 ( Fn

6、为拉力，方向指向圆心) 当O：v Lg 时，Fn随v增大而减小，且 mg > FN > 0 (FN仍为支持力) 当v二Lg时，fn =0P10. 4 .天体的运动研究思路及方法:(1)基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即:2 2Mm v24 :G 2m m，r=m rrrT(2)估算天体的质量和密度2<23Mm 44二 r由m r 得：M厂r2 T2GT2即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量由二 M,V = 4 二 R3 得:V 33 二 r3P =gt2r3R为中心天体的星体半径二,由此可以测量天

7、体的密度GT22R2 g0(R h)特殊：当r = R时，即卫星绕天体 M表面运行时，二 (3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题表面重力加速度g°,由牛:rr轨道重力加速度 g,由GMmmg得：g =GM(R+h)2(R+h)2(4 )卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系由g罂=mr得:JGM 即轨道半径越大，绕行速度越小 rr. r由GMm =m.r得：G¥即轨道半径越大，绕行角速度越小r. r由GMmTr4兀2=m2T2r3T =2gm即轨道半径越大，绕行周期越大(5)地球同步卫星所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T= 24h 要使卫星同步

8、，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h.即:周期一定，高度一定，位置一定，三颗卫星覆盖赤道Mm.24 二=m -T(R h)m的小球，现使小球在竖直平面内作T1和t2(速度分别为V0和v).求得：h=3R=3.6 X 104km=5.6RR 表示地球半径GMT 2对于人造卫星运动应注意 圆周运动的轨道问题-圆轨道的圆心必过地心 发射速度与运行环绕速度的区分 同步卫星与近地卫星的区分 人造卫星的圆周运动与地球自转的圆周运动的区分P13.天体的有关数据太阳:M=2 X 1030kgR=7 X 108mp =1.4 X 103kg/m(R h)地球M=6 X 1024 kgR=6.4 X 106

9、mp =5.6 X 103kg/m 3r 地日=1.5 X 1011mt=500s月亮M=7.4 X 1022kgR=1.7 X 106mp =3.3 X 103kg/m3r 月地=3.84X 108mt=1.28sP14.( 一).重力场中的圆周运动问题例1.长L的轻绳一端固定在 0点，另一端拴一质量为 圆周运动，小球通过最低点和最高点时所受的绳拉力分别为证：Ti T2 = 6mg (2)v。一 .5gL证明：(1)由牛顿第二定律，在最低点和最高点分别有：T1 mg= mv02/LT2 + mg= mv2/L T1 T2 = 2mg + (m/L)(v02 v2)由机械能守恒得：mv

10、6;2/2 = mv2/2 + mg2 L, 得：v°2 v2= 4gL由、两式得：T1 T2= 6mg (2)由式知，由于绳拉力T2> 0，可得v gL代入式得：v0 _ 5gLP15.例2、如图示,M为悬挂在竖直平面内某一点0的木质小球，（可以看作质点）悬线长为L,质量为m的子弹以水平初速 v0射入球在中而未穿出，要使子弹射入小球后，小球能在竖直平面内运动，悬线始终不发生松弛，求子弹的初速度气阻力）解：若小球能在竖直平面内作圆周运动，到最高点的速度为miV2/L mi g式中 mi =（M+m）由机械能守恒定律1/2 m iV2+migX 2L= 1/2 m iVi2乂 _

11、 5gLv0的大小应满足的条件（不计空V由动量守恒定律m vo = (M+m) V im + M -V。 2gLmO若小球只能在下半个圆周内作摆动1/2 m 1V22 =migh < migLVoP16J2005广东物理卷14. （12分）如图11所示，半径 R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖 直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=O.1Okg的小球，以初速度Vo=7.Om/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）。v答案 匀减速运动过程中，有

12、：2 2Va -v° 二-2as（1）恰好作圆周运动时物体在最高点B满足:2VB1mg=m -VB1 = 2m/s(2)假设物体能到达圆环的最高点1 2 1 2mA =2mgRmvB2 2联立（1 ）、（3）可得B，由机械能守恒:（3）VB =3m/s因为Vb > Vb1，所以小球能通过最高点 B。小球从B点作平抛运动，有：1 ,22R= gt（ 4）Sac = VbIJ由( 4)、( 5)得:(5)Sac = 1.2m(6)P18J06年江苏省盐城中学模拟17、如图所示，半径为 两个质量均为 m的小球a、b以不同的速度进入管内， 力为3mg, b通过最高点A时，对管壁下部的压

13、力为 求：（1）a、b两球落地点间的距离；（2） a、b两球通过光滑半圆管最低点B时圆管对 球的弹力如何？（3） a、b两球通过光滑半圆管水平半径右端点C时圆管 对a、b两球的弹力如何？R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。a通过最高点A时，对管上部的压0.75mg。Aa、b两C解: (1) 对 a球: 3mg+mg=mva2/Rva= . 4gR(2 分)2对 b 球: mg-0.75mg= mv b /Rvb=、4 gRSa=Vat=Va4R =4RSb=Vbt=Vb 14R =RSa Sb=3R:g（2）球从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律1 2 对a球：一mvj2 a-1 mv：2

14、a1-mg 2R1 2对b球：一mvb21 2一严=-mg 2RVa1 = 一 8gR球在最低点受力分析，根据牛顿第二定律得对 a 球: Na1mg2Va1 =m RNa1二 9mg对 b 球: N bi -mg2Vb1=m一RNb121 亍g（3）球从水平半径右端点C到最高点过程中,由机械能守恒定律1 2 对 a 球: 2mVa二-mg RVa2二 6gR1 2对b球：一 mvb2 b二-mg RVb2=4gR球在水平半径右端点 C受力分析，根据牛顿第二定律得4二-r3GT-方法二：在地面重力近似等于万有引力，由MmGV=mg 得 M对a球：Na-2Va- =mRNa-=6mg2对b球：Nb

15、-Vb2=mNb-9mgR4P22.(二).天体(卫星)运动类问题2005江苏物理卷)5.某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆由于阻力作 用，人造卫星到地心的距离从ri慢慢变到用Eki、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则 (B )(A) r i<2 , Eki <Ek2(B) ri>2, Eki <Ek2(C)1<2, EK1 >Ek2(D) ri>2, Eki >Ek2P23.练习.发射同步卫星的一种方法是：先用火箭将星体送入一近地轨道运行，然后再适时开动星载火箭，将其通过椭圆形过渡轨道，最后送上与地球自转同步运行的圆形轨道

16、，那么变轨后与变轨前相比，卫星的(B )A. 机械能增大，动能增大；B. 机械能增大，动能减小；C. 机械能减小，动能减小；D. 机械能减小，动能增大。P24J2005广东物理卷15. (13分)已知万有引力常量 G,地球半径R,月球和地球之间的 距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由gM -m "h得M Wfh2(T 丿GT2请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并

17、解得结果。v答案(1) 上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果是：G Mm(- )2(R h)(R+h)2 T4 二-(R h)3GT-(2)方法一：对月球绕地球作圆周运动，由-Mm、2 ,口G 二m()r 得 M 二rTP26J2006年江苏卷14、A是地球的同步卫星，另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h,已知地球半径为 R,地球自转角速度 3 °,地球表面的重力加速度为 g, O为地球中心。（1）求卫星B的运动周期（2） 如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（0、B、A在 同一直线上）则至少经过多长时间，它们

18、再一次相距最近？解：（I）由万有引力定律和向心力公式得Mm(R h)2(R h)MmR2=mg联立得TB=2二(R h)3. gR2 (2 )由题意得(3 B- 3 °) t =2 n*h)3由得P28J2006年全国卷I 16.我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1号”。设该卫星的1轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的亦，月球的半径约为地i球半径的4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为（B ）P29J2006年广东卷17. （16分）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星 组成的三星系统，通常可忽略其它星体

19、对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？解:.（17分）（1）.对于第一种运动情况，以某个星体为研究对象，根据牛顿定律和万有引力定律有:匸 Gm2F1 二 R2Gm2F1 F2mv运动星体的线速度:5Gm Rv =2R2ttR周期为T,则有：T二vR35Gm（2分）3（ 2

20、 分）2 分）（2） 设第二种情况星体之间的距离为r，则三个星体作圆周运动的半径为R/r2cos30°（2分）由于星体作圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律得:F合=22Gm2r0cos304兀2/卩合=mR， 合T2由式得：r =1z12方1 R<5丿®（ 2 分）炉（2分）2 分)P32J2006年天津理综卷25.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体。探寻黑洞的方案之一就是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时. 发现LMC X 3双星系统，它由 可见星A和不可见的暗星 B构成。两星视为质点，

21、不考虑其它天 体的形响，A、 B围绕两者连线上的 0点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。弓I力常量为G ,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。（1） 可见星A所受暗星B的引力Fa可等效为位于 0点处质量为m'的星体（视为质点） 对它的引力。设 A、B的质量为m2 ,试求m'。（用表示）（2） 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v运行周期T和质量m的关系式；（3） 恒星演化到末期.如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞， 若可见星A 的速率v=2.7 x 105m/s,质量mi=6ms，试通过估算来判断暗星 B有可能是黑洞吗？（G=6.67

22、x 10-11N ?m2 / kg2, m$= 2 x 1030kg ）解:（1）2mg 4G 二 m aATm1m2(A D)2m1m2(A D)24二2由得m1r1 = m2r2芥(riD)3由得3m2m2(mi m2)ri2m1vrivT-m m1G 厂3m2ri23r1vT v(mi m2)2(3) 暗星B有可能是黑洞。P36.例3.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统。所谓双星系统是由两个星体构成的天体系统，其中每个星体的线度都远远小于两个星体之间的距离，根据对双星系统的光度学测量确定，这两个星体中的每一个星体都在绕两者连线中的某一点作圆 周运动，星体到该点的距离

23、与星体的质量成反比，一般双星系统与其它星体距离都很远， 除去双星系统中两个星体之间相互作用的万有引力外，双星系统所受其它天体的作用都可以忽略不计(这样的系统称为孤立系统)。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 m，两者的距离是L。(1) 试根据动力学理论计算该双星系统的运动周期T0。(2) 若实际观测到该双星系统的周期为T,且T : T°=i： . N。为了解释T与To之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜观测不到的暗物质。 作为一种简化模型，我们假定认为在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物 质，若不考虑其它暗物

24、质的影响， 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质 的密度。Gm2 2 m 4 - L .解：(i) G 2 二 mLTo2(2)设暗物质的质量为为 M重心在2Gmgl2Mm T : To=i ：、NGm4Mm2 Nm 2L2To2M =m( N -i)/4联立以上各式得亠爲=5-2rad/sM 3( N -1)m 1 i 3 一2 二 L3L6P39.(三).综合力作用下的圆周运动问题例4.如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕 求：(1)此时绳上的拉力有多大？(2)若将绳子从此状态迅速放松,0点做半径为a、角速度

25、为3的匀速圆周运动.后又拉直，使小球绕0做半径为b的匀速圆周运动.从放松到拉直这段过程经历了多长时间?(3)小球做半径为b的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多大？解析：(1)绳子上的拉力提供小球做匀速圆周运动的向心力，故有：2F=m 3 a(2)松手后绳子上的拉力消失，小球将从松手时的位置沿圆周的切线 方向，在光滑的水平面上做匀速直线运动.当绳在水平板上长为 b时，绳又被拉紧.在这段匀速直线运动的过程中小球运动的距离为 s =Tb2 _a2如图所示，故t = Svb2 -a2(3 )将刚拉紧绳时的速度分解为沿绳子的分量和垂直于 绳子的分量.在绳被拉紧的短暂过程中，球损失了沿绳的分 速度，保留着垂直于绳的分速度做匀速圆周运动.被保留的速度的大小为：2 43所以绳子后来的拉力为：F' =mv21/b=m 3 a/b .2vi=va/b= 3 a /b.P41.例5.如图所示，在倾角 a =300的光滑斜面顶点处固定一原长L0=0.2m的轻质弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面上质量m=2kg的物体C相连后，弹簧长度变为L1=0.25m.当斜面体连同物体 C 一起绕竖直轴 AB转动时，求：(1) 转速n=60转/分时，弹簧的长度是多少？(2) 转速为多少时，物体 C对斜面恰好无压力？解：由题意知mgsina =k(L 1 -L0),代入数据得：k=200N/m,(1)对物体受力分析