第3章 计算机控制系统理论基础

1、1第3章 计算机控制系统理论基础 3.1 3.1 计算机控制系统的信号特征和控制方法特征计算机控制系统的信号特征和控制方法特征 3.2 3.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 3.3 Z3.3 Z变换理论变换理论 3.4 3.4 计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述 3.5 3.5 计算机控制系统的分析计算机控制系统的分析 总学时：总学时：8 8学时学时2 3 3.1 .1 计算机控制系统的信号特征和控制方法特征计算机控制系统的信号特征和控制方法特征 一、信号特征一、信号特征 模拟控制系统中各处的信号均为连续模拟信号，而计算机控制系统中除了有模拟信号之外，还有离散模拟、离散数字等

2、多种信号形式。图3.1.1 计算机控制系统的信号流程 3信号的形式可按在时间和幅值上的取值进行分类：1、按时间上的取值分类： （1）连续信号：在时间轴上的取值是连续的信号，即在某一时间间隔内，对于所有时间值都有确定的信号。 （2）离散信号：在时间轴上的取值是离散的信号，即只在某些断续的时间值上存在信号，其他时间值上信号无定义。2、按幅值上的取值分类： （1）模拟信号：幅值上连续变化的信号。 （2）离散信号：幅值上只取离散值的信号。 （3）数字信号：幅值用一定位数的二进制编码的形式表示的信号。 将时间和幅值上的各种信号组合起来，可以得到不同类型的信号。4 二、控制方法特征二、控制方法特征 计算机

3、控制系统除了包含连续信号外，还包含数字信号，因而计算机控制系统与模拟控制系统在本质上有许多不同，需采用专门的理论来分析和设计。 常用的设计方法有两种： （1）模拟化设计方法（模拟调节规律离散化设计法） （2）离散化直接设计法返回本章目录返回本章目录5一、采样系统一、采样系统1、采样 采样指的是：将连续模拟信号转变成离散脉冲序列的过程。2、采样器 采样器指的是：把连续信号变换成脉冲序列的装置，又称采样开关。3、采样系统 如果系统中有一处或多处采样开关，则该系统为采样系统。图3.2.1 采样控制系统3.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 计算机控制系统则属于采样控制系统。图3.2.2 计算机控制

4、系统6二二、信号的采样信号的采样1、实际采样过程 采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示，如图3.2.3所示。假设采样开关每隔T秒闭合一次，T称为采样周期，闭合的持续时间为。采样器的输入为连续信号e(t)，输出e*(t)为宽度等于的调幅脉冲序列。图3.2.3 实际采样过程7采样过程 图3.2.4 理想采样过程 e*(t)是在时间上是离散，在幅值上连续变化的信号。 离散模拟信号不能直接进入计算机，必须经量化后成为数字信号才能被计算机接受。8所谓量化，就是采用一组数码（如二进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。 量化过程：将采样信号转换成数字信号的过程。 执行量化动作的装置

5、：A/D转换器。图3.2.5 量化过程9三、采样定理三、采样定理 采样定理【香农(Shannon)采样定理】：若连续信号是有限带宽的，且最高频率分量为max，则当采样频率s2max时，采样信号可以不失真地表征原来的连续信号，或者说可以从采样信号不失真地恢复原来的连续信号。 这个频率2max一般称为奈奎斯特率（Nyquist rate），而max一般称为奈奎斯特频率。 理论上： 进行采样，则采样信号就能无失真地恢复原信号。 在实际应用中： 只有采样频率足够高，即采样时刻很密集的时候，采集的信号才接近原来的连续模拟信号。 采样定理，给出了采样信号唯一不失真地恢复原信号的条件（即最低采样频率）。ma

6、x2ffs max)105(ffs 10四、采样保持器四、采样保持器 采样时原则上不需要保持操作，但加入保持器可以提高采样的精度。 在A/D转换期间，如果输入信号变化较大，就会引起误差。所以，一般情况下，采样信号都不直接送至A/D转换器进行转换。 要求输入到A/D转换器的模拟量在整个转换过程中保持不变，但在转换之后，又要求A/D转换器的输出信号能够跟随模拟量变化。能够完成这个任务的器件称为采样保持器（Sample/Hold，简写为S/H）。111 1、孔径时间和孔径误差（即转换时间和最大转换误差）、孔径时间和孔径误差（即转换时间和最大转换误差）（1）孔径时间：指的是在模拟量输入通道中，A/D转

7、换器将模拟信号转换成数字量信号总需要一定的时间，完成A/D转换所需的时间。（2）孔径误差：指的是对于随时变化的模拟信号来说，孔径时间决定了每一个采样时刻的最大转换误差。图3.2.6 由孔径时间引起的误差则其可能的最大误差: ftUum2sinftfUdtdum2cos2设: fUtum2在横坐标交点上：12 一个10位的A/D转换器，量化精度为0.1%，孔径时间为10s。如果要求转换误差在转换精度内，则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为： 从误差的百分数的公式可得知，对于一定的转换时间tA/D，误差的百分数和信号频率成正比。 为了确保A/D转换的精度，不得不限制信号的频率范围。Hz 1610

8、0101020.11002 6-/DAtf（3）孔径误差消除：采用带有保持电路的采样器（即采样保持器）。 这样做可提高模拟量输入信号的频率范围，以适应某些随时间变化较快的信号的要求，消除孔径误差。误差百分数为：1002 1002100/DADAmtfftUu取t=tA/D,则横坐标交点处转换的不确定电压误差为：A/DmftUu213（2）基本组成电路 采样保持器的基本组成电路一般是由输入输出缓冲器、采样开关、保持电容组成。其工作原理为： 采样：K闭合，VIN通过输入缓冲器对Ch快速充电，VOUT跟随VIN 保持：K断开，VOUT保持VC 采样保持器一旦进入保持期，便立即启动A/D转换器，保证A

9、/D转换期间输入恒定。（1）工作方式 采样保持器的两种工作方式：采样和保持。 在采样方式中，采样保持器的输出跟随模拟量输入电压变化。 在保持状态时，采样保持器的输出将保持命令发出时刻的模拟量输入值，直到保持命令撤销为止（即再次接到采样命令时）。2 2、采样保持器的原理、采样保持器的原理图3.2.7 采样保持器的组成14 （1）保持采样信号不变，以便完成A/D转换； （2）提高模拟量输入信号的频率范围，适应某些随时间变化较快的信号的要求，消除转换误差； （3）同时采样几个模拟量，以便进行数据处理与测量； （4）减少D/A输出器的输出毛刺，消除输出电压的峰值及缩短稳定输出值的建立时间。3 3、采样

10、保持器的主要作用、采样保持器的主要作用 常用的集成采样保持器有LF198/298/398、AD582/585/346/389等。4 4、常用的集成采样保持器、常用的集成采样保持器15五、采样过程的数学描述五、采样过程的数学描述2、调制后的采样信号可表示为：T0( )()TnttnT*TTT00( )( )( )( )()( )()nne te tte ttnTe ttnT1 1、理想脉冲序列可表示为：、理想脉冲序列可表示为：也表示为：*T0( )()()ne te nTtnT3、量化单位定义为：maxmin21neeqemax和emin分别为模拟信号的最大值和最小值；n为二进制数码的字长。 4

11、、A/D转换器的输出信号： *( )( )int0.5ete kq量化过程实际上是一个取整的过程，有“向上取整、向下取整”和“四舍五入取整”，大部分A/D转换器采用的是“四舍五入取整”。16六、信号保持六、信号保持 连续信号经过采样器后转换成离散信号，经脉冲控制器处理后，其输出仍然是离散信号，而采样控制系统的被控对象一般只能接收连续信号，因此需要保持器将离散信号转换成连续信号。工程上应用最广且为最简单的保持器就是零阶保持器。 零阶保持器：是一种采用恒值外推规律的保持器，在一个采样周期内将信号保持为常数，形成阶梯的连续模拟信号。主要功能是完成信号恢复。其传递函数为：图3.2.8 零阶保持器的输入

12、和输出信号1( )TseH ss返回本章目录返回本章目录173.3 Z3.3 Z变换理论变换理论一、一、Z变换的导出变换的导出（1）序列的傅立叶变换定义为： 式中，ej是的复函数，变量是实数； ej也可看成是复数变量j的函数，此时的ej就是复变函数。（2）序列的傅立叶变换存在的充分条件为：1、由序列的傅立叶变换导出Z变换 nnjnnjjenfenfeF nnf 由此可见，绝对可和的条件限制了某些序列的傅立叶变换的存在。 为使更多的函数存在傅立叶变换，则引入一个衰减因子e-n，让其与 f (n)相乘，于是绝对可和的条件就很容易满足。则有： jnnjnjnneFenfeenfDTFT令令z=e+j

13、, ,则由上式可得到序列的则由上式可得到序列的Z变换式为：变换式为： nnznfzF双边双边Z变换变换当0n时， 0nnznfzF单边单边Z变换变换18（2）连续函数 f (t) 的拉氏变换为：-( )( )( )stF sL f tf t edt（1）连续信号f (t) 经采样开关后得到的采样信号f *(t) 为：*-( )( )( )= ( )()=() ()Tnnftf ttf ttnTf nTtnT 2、由采样信号的拉氏变换导出Z变换19其中：s=+j，引入复变量z，令 （3）采样信号f *(t)的拉氏变换为：*-( )*( )() () () () ()() ()nstnstnnTs

14、nF sL ftLf nTtnTf nTtnTedtf nTtnT edtf nT e Tsze则：-*( )()()()( )TsnnnnFsf nT ef nT zF z 0)()(nnznfzF当0n时，得单边Z变换：单边Z变换（4）则采样信号f *(t)的Z变换定义为：（5）从广义上讲，T=1，则( )( )nnF zf n z双边Z变换-*( ) ( )()( )nnF zZ f tffZnTtz 203 3、从离散时间序列直接导出、从离散时间序列直接导出Z变换 设f (n)为离散序列，f (n)=f (0)，f (1)， f (n) ，则f (n)的单边单边Z变换定义为：变换定义为

15、： 0210)(210)(nnznfzfzfzfnxZzF 双边双边Z变换定义为：变换定义为： nnznfnfZzF)()(f二、Z平面与S平面的映射关系 对于连续系统,在S平面上，当复变量s的实部为0时(s=j)，即在虚轴j上，拉氏变换就是连续时间傅立叶变换。 对于离散系统,在Z平面上，当复变量z的模为1时，即在半径为1的单位圆上，Z变换就是离散时间傅立叶变换。S平面平面Z平面平面0 0 0 :为为常常数数 1 zr1 zr1 zr 0:为为常常数数r左半平面左半平面虚轴虚轴 j右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大22三、三、Z Z

16、变换的定义、收敛域及典型序列的变换的定义、收敛域及典型序列的Z Z变换变换1 1、Z变换的定义变换的定义 离散序列 f (n) 的Z变换（单边）的定义为： 0nnznfnfZzF离散序列 f (n) 的Z变换（双边）的定义为： -nnznfnfZzFz是一个复变量，z=e+j=rej，r=|z|=e。232 2、Z变换的收敛域变换的收敛域 根据级数理论，对于任意有界离散序列 f (n)，使其Z变换式（即级数 ）绝对收敛或者是F(z)存在的充要条件是：满足幂级数绝对可和，即： -nnznf 0lim-nnnnznfznf或或只有级数绝对收敛时，Z变换才有意义。因为 ( )( )nnnnx n z

17、x nz 为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一定范围的限制。这个范围一般可表示为： 由此可见Z变换的收敛域为Z平面上是一个以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。RxjImzRezRxxxRzR243、典型序列的、典型序列的Z变换变换典型序列的Z变换及其收敛域时间序列Z变换及其收敛域整个z平面 n nu nnu nuan nuncos nunsin1,111zz1,)1 (211zzzazaz,1111,cos21cos1211zzzz1,cos21sin211zzzz 常用函数的拉氏变换和Z变换表见教材P186的附录A。25四、四、Z变换的性质和定理变换的性质和定理26(1

18、) 线性性质 若x1nX1(z)，ROC=R1 x2nX2(z)，ROC=R2 则 ax1n+bx1naX1(z)+bX2(z)，ROC包括R1R2 a、b为任意复常数对于具有有理Z变换的序列，aX1(z)+bX2(z)的极点由X1(z)和X2(z)的全部极点构成，即没有出现零极点抵消现象，则线性组合的收敛域是各个收敛域的重叠部分。如果在线性组合后，出现零极点相互抵消，那么收敛域可能会扩大。27n例： 1110111111nnnnnnnn-n=za u n zaz-aa u na u nza z =az=aza = zaza， l线性组合后，anun-anun-1=n1，此时收敛域扩大到整个Z

19、平面。28 若xnX(z)，ROC=R 则 xn-n0z-n0X(z),(2) 时移性质 ROC=R，原点或无限远点可能去除或加上。 001-00( )nnkk=nzx kx nXzz 时移后的收敛域可能发生变化。这是因为多乘了z-n0这个因子。若n00时，则在z=0处的引入极点，会把X(z)在z=0处的零点抵消。此时，z-n0X(z)的ROC为时移前X(z)的ROC去除原点（即z0）。若n01。 由时移性质得， 由线性性质得， 1zX z =z-1-kzu n-kzz- 11111111-k-k-kzzu n -u n-k - zz-z-z -zz-z =z-z ， 30 若xnX(z)，R

20、OC=R 则 anxnX(z/a), ROC=|a|R，a为任意复常数。(3) 频移性质 l频移性质表明：在时域中离散序列xn乘以指数序列an，则在Z平面上像函数在尺度上就压缩a倍，因此该性质也称为Z域尺度变换。收敛域也在原收敛域的基础上做尺度变换为|a|R。 000jjja=e ex nXezROC =R当当时时，频频移移性性质质可可表表示示为为：，31 若xnX(z)，ROC=R 则 x-nX(1/z), ROC=1/R(4) 时间反折性质 l利用时间反折性质，可分别求出奇偶对称信号的Z变换关系式。 对于奇对称信号x-n = -xn，利用时间反折性质，可得到 X(1/z) = -X(z)

21、对于偶对称信号x-n = xn，利用时间反折性质，可得到 X(1/z) = X(z)(5) 共轭性质 若xnX(z)，ROC=R 则 x*nX*(z)*, ROC=R 当xn是实序列的时，则有X*(z)*=X(z)32 若x1nX1(z)，ROC=R1 x2nX2(z)，ROC=R2 则 x1n*x2nX1(z)X2(z), ROC包括R1R2(6) 卷积性质 lX1(z)X2(z)的收敛域包括R1和R2的重叠部分，如果在乘积中发生零极点抵消现象，收敛域可能会扩大。l由Z变换的表达式可知，离散序列xn的Z变换X(z)就是复变量z-1的无穷幂级数，其系数就是相应的xn的值。所以卷积性质表明：当两

22、个多项式或幂级数X1(z)和X2(z)相乘时，代表该乘积的多项式的系数就是在多项式X1(z)和X2(z)中的系数的卷积。33(7) Z域微分性质 x nXz ROC=Rzx ndXnzdz , ROC=R 若若，则则22321211111122n nn u nu nzu n zzz zddzn u n=-z-z=dzdzzzn nnu n=u n例例：利利用用Z Z域域微微分分性性质质求求下下列列序序列列的的Z Z变变换换。（1 1）， （2 2）解解：Z Z， 由由Z Z域域微微分分性性质质，可可得得（1 1）Z Z（2 2）Z ZZ ZZ Z322321212111nu nz zz =zz

23、z = zz，(8) Z域积分性质 10mmzx nXz ROC=Rx nXzdz , ROC=Rn+mmn+m若若，则则为为整整数数，且且 2111111111ln1 ln1zzzu nx n =nzu n = zzu n = zd = zdn = z-d =zz-z = 例例：利利用用Z Z域域积积分分性性质质，求求序序列列的的Z Z变变换换。解解：Z Z，由由Z Z域域积积分分性性质质，可可得得Z Zln11z z ，34(9) 初值定理 1200,00lim0120,0lim0n=zznX z =x n z=xxzxz n x n zX z =x nX z xxnx n=X z证证明明

24、：根根据据Z Z变变换换的的定定义义，可可得得 ，当当时时，上上式式两两端端取取，则则有有则则极极限限若若且且l初值定理表明：对于因果序列，如果xn有限，则 有限。 即：将X(z)写成两个多项式之比，分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次，或 零点个数不能多于极点的个数。l利用初值定理可很方便地检查Z变换的结果是否是正确的。 通常x0是已知的，通过求解 并与x0进行比较，就可判断Z变换结果是否正确。 limzX z limzX z35 117632111111767632327nnnnnnx n =u nu nzu n= zzz =u nu n=u nu n = 例例：求求解解下下列列离离散

25、散序序列列的的Z Z变变换换，并并利利用用初初值值定定理理，验验证证其其Z Z变变换换结结果果是是否否正正确确。 解解：Z Z， X XZ ZZ ZZ Z 32611113232076132limlim111320limzzzz zzz -zzzzxz z z =zzxz X XX X，满满足足初初值值定定理理，Z Z变变换换的的结结果果正正确确。3610、终值定理 10,01limlimnzx nX z nx nzx=x n =X zz若若且且则则l利用终值定理可很方便地从X(z)求出当n时xn的特性。对研究系统的稳态特性有帮助。 112010.520limlim110.51limlim1limzznzzz zz =xxzzz zx=z =zzz x=x n =zzz =例例：已已知知某某离离散散序序列列的的Z Z变变换换为为X X，分分别别求求出出该该序序列列的的初初值值和和终终值值。解