阶段复习课 第2章　平面向量

1、.第二课平面向量核心速填老师用书独具1常见的六种向量1单位向量：模为1的向量2零向量：模为0的向量3平行向量：方向一样或相反的向量4共线向量：方向一样或相反的向量5相等向量：模相等、方向一样的向量6相反向量：模相等、方向相反的向量2两个定理1共线向量的断定或性质定理：baba.a0，存在且唯一2平面向量根本定理：假设在同一平面内，e1与e2不共线，那么该平面内的任一向量aa1e1a2e2，且a1，a2唯一，当e1e2，且|e1|e2|1，那么axe1ye2，且x，y唯一3向量的线性运算和数量积运算1ab三角形法那么2ab三角形法那么3baa0，0a，b同向；0a，b反向；a0|.4ab|a|b

2、|cos .4向量的正射影1向量b在a方向上的正射影数量为|b|cos .2向量a在b方向上的正射影数量为|a|cos .5向量的坐标运算向量ax1，y1，bx2，y2和实数，那么abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2ax1，y2，abx1x2y1y2，|a|，a2xy|a|2，abx1y2x2y10.abx1x2y1y20.6向量的运算律1交换律：abba，abba.2结合律：abcabc，abcabc，ababab3分配律：aaa，abab，abcacbc.4重要公式：ababa2b2，ab2a22abb2.注意：向量的数量积运算的特点：1ab0a0或b0.2abacbc.3abc

3、abcbac体系构建题型探究平面向量的线性运算1向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法那么、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面2向量共线定理和平面向量根本定理是进展向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题3题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等如图21，在ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MHAF交BC于H.求证：.图21思路探究选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出、与即可证得证明设a，b，那么ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.综上

4、，得.跟踪训练1.如图22，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BMAB，点N在BC上，且BNBC，求证：M，N，D三点共线图22证明设e1，e2，那么e2，e2，e1，e2e1，又e2e133，向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考察向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度非零向量a，b满足ab2a

5、b，a2b2ab，求a，b的夹角的余弦值思路探究解由ab2ab，a2b2ab，得解得所以|a|b|ab，所以cos .跟踪训练2.如图23所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，那么_.图23【导学号：79402103】解析2，APBD，0.|cosBAP|2，2|22918.答案18向量的坐标运算1向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一2向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的详细表达3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平

6、行、垂直等问题向量4,3，3，1，点A1，21求线段BD的中点M的坐标；2假设点P2，y满足R，求y与的值思路探究1先求B，D点的坐标，再求M点坐标；2由向量相等转化为y与的方程求解解1设点B的坐标为x1，y14,3，A1，2，x11，y124,3，B3,1同理可得D4，3设线段BD的中点M的坐标为x2，y2，那么x2，y21，M.2由得3,12，y1,1y，4，33,17，4又，1,1y7，4，那么跟踪训练3ABC中，A2，1，B3,2，C3，1，BC边上的高为AD，求.【导学号：79402104】解设Dx，y，那么x2，y1，x3，y2，6，3，0，那么有6x23y10，那么有3x36y2

7、0，解由构成的方程组得那么D点坐标为1,1，所以1,2.平面向量的应用1向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法那么或三角形法那么，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、间隔 问题之间联络亲密，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：1BECF；2APAB.证明如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB2，那么A0,0，B2,0，C2,2，E1,2，F0,111,22,01,2，

8、0,12,22，112210，即BECF.2设Px，y，那么x，y1，2，1，x2y1，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.22242，|，即APAB.跟踪训练4三个点A2,1，B3,2，D1,41求证：ABAD；2要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值解1证明：A2,1，B3,2，D1,4，1,1，3,3，13130，即ABAD.2四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为x，y，那么1,1，x1，y4，解得C点的坐标为0,5从而2,4，4,2，|2，|2，8816.设与的夹角为，那么cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法那么、运算律的推导中都浸透了数形结合思想向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形严密地结合在一起运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段或射线、直线平行、垂直，夹角、间隔 、面积等问题如图24所示，以ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AMEF.图24思路探究要证AMEF，只需证明0.先将用，表示，将用，表示，然后通过向量运算得出0.证明因为M是BC的中点，所以，又，所以00|cos90BAC|cos90BAC0，所以，即AMEF.跟踪训练5a，b是单位向量，a