材料力学11-1

1、 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式112 卡氏定理卡氏定理113 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即WU 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。2.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122

2、 或21:u比能3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能5 变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。nnPPPWU2121212211即：克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式：细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。xEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222LxEAxQd2)( 2S剪切挠度因子SxEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222对于杆状构

3、件：7四、变形能的特点：四、变形能的特点：1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和。EAlPPU2)(221EAlPU2211EAlPU22222.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值。nnPPPWU2121212211互等定理： 9互等定理： 表明：第一组力第一组力在第二组力引起的位移上位移上所作的功的功，等于第二组力第二组力在第一组力引起的位移上位移上所作的功的功，这就是功的功的互等定理互等定理。10位移互等定理： 2111 如 则 11 例如：外伸梁，在C点的力FP单独作用下截面的转角为A= FPal

4、/ (6EI)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度。 又如： 为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度，如图所示。现仅有一个挠度计（千分表），且限定只能安装一次，试问该如何测定。MN 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）求内力sin)(:PRMT弯矩)cos1 ()(: PRMN扭矩APROQMTAAPNB TO外力功等于应变能变形能：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)( d2)( d2)( 22n202220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEI

5、RPGIRPP4433232UfPWA2EIPRGIPRfPA22333 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf15112 卡氏定理卡氏定理给Pn 以增量 dPn ，则：),.,(21nPPPUU nnPPUUUd11. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn ，则：)d()d(212nnPU一、定理证明一、定理证明 1P2P nnP

6、16再给物体加P1、 P2、Pn 个力，则：)d(21nnPUUUnnPU 1P2P nnPn nPU 第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 18471884)17二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当无与 对应的 Pn 时，先加一沿 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。1P2P nnP18三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：LLPLxEIxMxG

7、IxMxEAxNUd2)( d2)( d2)( 22n2LnLnnPLnnnxPxMEIxMxPxMGIxMxPxNEAxNPUd)()( d)()( d)()( n19 例例3 3 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系xPxPxMA)(EIPL33将内力对PA求偏导xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()( LxEIPx02dALPEIxO ( )20求转角 A求内力AMxPxM)(没有与A向相对应的力（广义力），加之。EIPL22 “负号”说明 A与所加广义力MA反向。( )EIPLA22 将内力对MA求偏导后，令M A=01)(0AMAMx

8、MLAAxMxMEIxMd)()( LxEIPx0d求变形（ 注意：M A=0）LxO APMA21 例例4 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx122变形（ 注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()( )(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP23求 fc ,A24变形解：画单位载荷图求内力 例例6

9、结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB1125113 虚功原理与虚功原理与单位力法单位力法(莫尔定理莫尔定理)一、虚功原理niiiFW1虚功 。 ddd)(dTQN1lllliniiMFMlFF27 二、单位力法ACfUUU10LxEIxMUd2)( 2LxEIxMUd2)( 200LCxEIxMxMUd2)()( 20LAxEIxMxMfd)()( 0求任意点A的位移f A 。莫尔定理定理证明另一方法：莫尔定理定理证明另一方法：aA图fAq(x)图c A0P =1q(x)fA图b A=1P0莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) )xEIxMxMfLAd)()(0三、使用莫尔定理的注意

10、事项：三、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 点，沿所求的方向加时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。30 四、单位力的施加四、单位力的施加 例例1 1 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。2)(2qxaqxxM)2( ; )2(2)0( ; 2)(0axaxaxaxxxM解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P =1x d)()(d)()(2000aaaCxEIxMxMxEIxMxMfaxEIxMxM00d)(

11、)(2对称性对称性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402变形BAaaC0P =1BAaaCqx( )求转角，重建坐标系（如图）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC axxM2)( 10 2)( :222qxqaxxMBCaxxM2)(20qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()( )()()(00)(00aBCaABxEIxMxMdxEIxMxMc=0 例例2 2 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移

12、。PxxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3 . 0)(13 . 0)(10 xMCAn解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P0PxxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3 . 0)(13 . 0)(10 xMCAnLLPnnBxEIxMxMxGIxMxMd)()( d)()( 011013 . 0025 . 001dd3 . 03 . 0 xEIPxxGIPPPACABABABGILPLLEIPL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22.

13、8变形( )36 AvB例例 3 如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的铅垂位移 和B截面转角 。37 例4 一桁架如图，各杆EA相同，节点B承受集中力F和2F作用，求杆BC的转角。38 1. 用摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角。比较卡氏定理、摩尔积分法两种方法的特点。已知EI为常数。 课堂练习课堂练习39 2. 试求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。EI为已知常数。 40 3. 试求图示刚架C点两侧截面的相对转角。EI已知。41 4. 由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设FP、a、E、A、I均为已知。试求C点的垂直位移。 42 5. 半圆形小曲率曲杆的A端固定，在

14、自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。 43 第十一章第十一章 练习题练习题 一、抗拉（压）刚度为一、抗拉（压）刚度为EIEI的等直杆，受力如图，的等直杆，受力如图，其变形能是否为：其变形能是否为： 二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。 三、刚架受力如图，已知三、刚架受力如图，已知EIEI为常数，试用莫尔为常数，试用莫尔定理求定理求A A、B B两点间的相对位移（忽略两点间的相对位移（忽略CDCD段的拉伸变段的拉伸变形）。形）。 ?22222121EALPEALPU44解：解： aaEIxMxMEIxMxMABdxdx02/0212