《随机信号分析》复习课第一章第四章

1、? ?随机信号分析随机信号分析? ?复习课第一复习课第一章章- -第四章第四章重点内容重点内容n绪论绪论 随机变量根底随机变量根底n重点：随机变量的函数重点：随机变量的函数n第二章第二章 随机过程的根本概念随机过程的根本概念n重点重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度，平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度，高斯过程高斯过程n第三章第三章 随机过程的线性变换随机过程的线性变换n重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法，白噪重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法，白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率分布声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率分布n第四章第四章 随机过程

2、的非线性变换随机过程的非线性变换n重点：直接分析法重点：直接分析法2022-5-232n1.2 随机变量的定义随机变量的定义( )F xP Xxn1.3 随机变量的分布函数与概率密随机变量的分布函数与概率密度度( )( )dF xf xdx0)(xf1)(dxxf211221()()( )xxP xXxF xF xf x dxn1.3 随机变量的分布函数与概率密随机变量的分布函数与概率密度度221()( )exp22xf x2( ,)XN -4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8221()( )exp22xXxFxdxn1.4 多维随机变量及分布多维随机变量

3、及分布( , ),F x yP Xx Yyn1.4 多维随机变量及分布多维随机变量及分布2( , )( , )F x yf x yx y 0),(yxfdyyxfxfX),()( )( , )Yfyf x y dx( , )( , )xyF x yf x y dxdy ( , )1f x y dxdy (, )( , )GPX YGf x y dxdy1.5 随机变量的数学特征随机变量的数学特征n 均值均值 数学期望数学期望n随机变量随机变量X的均值的均值n离散型随机变量离散型随机变量n性质性质n线性线性n nX,Y不相关不相关2022-5-2310()( )E Xxfx dxNiiipxXE

4、1)()()E cXcE X1212(.)= ()().()nnE XXXE XE XE X)()()(YEXEXYEn方差方差n定义：定义：n反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度n性质性质n n n独立随机变量独立随机变量 ：1.5 随机变量的数学特征随机变量的数学特征222()() ()()D XEXE XE XEX( )=0D c2()()D cXc D X12,nXXX)()()(11nnXDXDXXD1.5 随机变量的数学特征随机变量的数学特征n假设假设X是随机变量，是随机变量，a,b 是任意确定实数是任意确定实数，令，令 Y=aX+b，那么，

5、那么n n 2022-5-2312bXaEYE)()()()(2XDaYDn1.6 随机变量的函数随机变量的函数( )yg x)(XgY n一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布n假设假设 为单调连续上升函数，为单调连续上升函数，n求导，得求导，得 ，雅可，雅可Jacco比比n对于任意单调函数对于任意单调函数 ：n如果如果 不是单调函数：不是单调函数：n 其中其中 ,1.6 随机变量的函数随机变量的函数)(1ygx( )g x11( )= ()= ( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy( )( )YXdxfyfxdy( )g x1( )( )( )YXx gyfyfx

6、JdydxJ ( )g x11( )( )()YXXnnfyfxJfxJ)(11yhx )(yhxnn/kkJdxdyn多维随机变量的函数多维随机变量的函数n设有二维随机变量设有二维随机变量 ，其概率密度为，其概率密度为 ，二维随机变量，二维随机变量 ：n 当当 ， 单调时，单调时，1.6 随机变量的函数随机变量的函数),(),(21222111XXgYXXgY12(,)XX1212( ,)X Xfx x12( ,)Y Y1g2gJxxfyyfXXYY),(),(21221121111212221212(,)(,)xxyyxxJxxyyyyn1.6 随机变量的函数随机变量的函数)(XgY dx

7、xfxgdyyyfYEXY)()()()(22( ) ( )( ( ) ( )( )YXD YE g XE g Xg xmfx dxn一维正态随机变量一维正态随机变量n二维正态随机变量：二维正态随机变量：1.7 多维正态随机变量多维正态随机变量222exp21)(XXmxxf1212112211212222112222221( ,)21()2 ()()()1exp2(1)X XXXXXXXXXXXfx xrxmr xmxmxmr n二维联合正态概率密度二维联合正态概率密度其中其中协方差矩阵协方差矩阵行列式行列式1.7 多维多维正态随机变量正态随机变量1121122121222211222212

8、()()()()XXXXXXXXXXXXE XmE XmXmrE XmXmE Xmr K222222212121)1 ()(XXXXXXrrK11/211( )exp()()22TXfXxmKxmK12xxx12XXmmmn随机变量的定义随机变量的定义n随机变量的分布函数和概率密度：导数和随机变量的分布函数和概率密度：导数和积分积分n随机变量的数字特征：均值，方差，协方随机变量的数字特征：均值，方差，协方差，相关系数差，相关系数n随机变量的函数：反函数和雅可比随机变量的函数：反函数和雅可比n正态正态随机变量：分布，数字特征随机变量：分布，数字特征第一章第一章小结小结例题例题n设连续随机变量设连

9、续随机变量 X 的概率分布函数的概率分布函数为为 求系数求系数A解：解：2022-5-2320例题例题n平方律检波平方律检波的的输入输出输入输出的关系的关系为为 求求Y的概率密度。的概率密度。解：解： ， 2022-5-23210y 0y n随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程的统计描述随机过程的统计描述n平稳随机过程平稳随机过程n随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数n随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度n典型的随机过程典型的随机过程第二章第二章2.1 随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程定义随机过程定义n设随机试验设随机

10、试验 的样本空间为的样本空间为 ，对其，对其每一个元素每一个元素 都以某种法那么确都以某种法那么确定一个样本函数定一个样本函数 ，由全部元素，由全部元素 所所确定的一族样本函数确定的一族样本函数 称为随机过程，称为随机过程，简记为简记为 。n随机过程是一组样本函数的集合。随机过程是一组样本函数的集合。2022-5-2323E Se(1,2,.)ie i ( ,)ix t e e( , )X t e( )X t2.1 随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程定义二随机过程定义二n设有一个过程设有一个过程 ，假设对于每一个固定，假设对于每一个固定的时刻的时刻 n ， 是一个随机变

11、量，那么是一个随机变量，那么 称为称为 随机过程。随机过程。 n随机过程是一组随机变量的集合。随机过程是一组随机变量的集合。2022-5-2324( )X t(1,2,.)jtj( )jX t( )X t2.2.1 随机过程的概率分布随机过程的概率分布n随机过程的概率分布随机过程的概率分布n一维概率分布：一维概率分布：n假设假设 的一阶导数存在，定义一维概的一阶导数存在，定义一维概率密度：率密度：n随机序列：随机序列：2022-5-2325)(),(xtXPtxFX( , )XFx txtxFtxfXX),(),( , )( )XFx nP X nx( , )( , )XXFx nfx nx2

12、.2.1 随机过程的概率分布随机过程的概率分布n二维概率分布：二维概率分布： 及及 为同一随机过程上的随机变量为同一随机过程上的随机变量n二维概率密度：二维概率密度：2022-5-23261( )X t2( )X t12121122( , , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx21212121212( , , )( , , )XXFx x t tfx x t tx x n随机过程的数字特征随机过程的数字特征n均值：均值：n方差：方差：n随机过程的均值与方差都是时间的函数随机过程的均值与方差都是时间的函数n均值与方差的物理意义均值与方差的物理意义2.2.2 随机过程的数字特

13、征随机过程的数字特征dxtxxftXEtmXX),()()()()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX表示消耗在表示消耗在单位电阻上单位电阻上的总的平均的总的平均功率功率平均交平均交流功率流功率平均平均直流直流功率功率222( )( )( )XXE Xttmt n相关函数：相关函数：n反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征特征n举例：两个均值和方差大致相同的随机过程举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大，相关性差异很大2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 212121212121),()()(),(dxdxtt

14、xxfxxtXtXEttRX2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征n协方差函数协方差函数n也是相关性的描述也是相关性的描述n如果如果 ，那么称，那么称 和和 不相不相关。关。n如果如果 ，那么称，那么称 和和 相互相互正交。正交。n如果如果 ，那么，那么称随机过程在称随机过程在 和和 时刻是独立的。时刻是独立的。2022-5-2329)()()()(),(221121tmtXtmtXEttKXXX0),(21ttKX)(1tX)(2tX12( ,)0XRt t)(1tX)(2tX),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX1t2tn离散随机过程数字特征离散随机过程数

15、字特征n均值均值n方差方差n自相关函数自相关函数n协方差函数协方差函数2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征NiiiXtptxtm1)()()(NiiXiXtptmtxt122)()()()(NiNjijjiXttptxtxtXtXEttR1121212121),()()()()(),(NiNjijXjXiXttptmtxtmtxttK1121221121),()()()()(),(121122( , )( )( ),( )( )ijijp t tP X tx tX tx t2022-5-2331n1111( ,)( , ,)XNNXNNfxxtctcfxxtt)(),(xftxfX

16、X对于一维概率密度有：对于一维概率密度有：对于二维概率密度有：对于二维概率密度有：),(),(212121xxfttxxfXX21tt n2022-5-23321212( , )( ),XXRt tRttXXmtm)( 严格平稳严格平稳 广义平稳广义平稳当随机过程是当随机过程是正态分布正态分布时，两者等价。时，两者等价。一定（均值，自相关函数都存在）一定（均值，自相关函数都存在）不一定不一定2022-5-23331相关函数是偶函数相关函数是偶函数2 在在 时有最大值，即时有最大值，即3假设随机过程含有周期分量，那么自相关函假设随机过程含有周期分量，那么自相关函数也含有周期分量，例如数也含有周期

17、分量，例如)()(XXRR)(XR0)()0(XXRR)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR2022-5-23344假设随机过程不含周期分量，那么假设随机过程不含周期分量，那么5 2)(limXXmR22)0(XXXmR相关函数示意图相关函数示意图统计平统计平均功率均功率直流功率直流功率交流功率交流功率 2022-5-2335),.,.,(11NNXttxxF设随机过程设随机过程X(t) 的的N维分布函数为维分布函数为),.,.,(11MMYttyyFY(t) 的的M维分布函数为维分布函数为 )(,.)(,)(,.)(),.,.,.,.,(11111111MMNNMMN

18、NXYytYytYxtXxtXPttyyttxxF定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率分布函数为维联合概率分布函数为 2022-5-2336MNMMNNXYMNMMNNXYyyxxttyyttxxFttyyttxxf1111111111.),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(定义定义X(t) 和和Y(t) 的的N+M维联合概率密度为维联合概率密度为 ),.,.,(),.,.,(),.,.,.,.,(11111111MMYNNXMMNNXYttyyfttxxfttyyttxxf如果如果 那么称那么称X(t) 和和Y(t) 是相互独立的是相互独立的2022-5-2337),.

19、,.,.,.,(),.,.,.,.,(11111111ctctyyctctxxfttyyttxxfMMNNXYMMNNXY如果如果X(t) 和和Y(t) 的联合统计特性不随时间起的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称点的平移而变化，则称X(t) 和和Y(t) 是严格联是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关维联合概率密度与时间起点无关2022-5-2338dxdytytxxyftYtXEttRXYXY ),()()(),(212121互相关函数互相关函数)()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY

20、互协方差函数互协方差函数)()(),(),(212121tmtmttRttKYXXYXY0),(21ttRXYX(t)和和Y(t)相互正交相互正交0),(21ttKXYX(t)和和Y(t)不相关不相关2022-5-23392121 ),(),()()(ttRttRmtmmtmXYXYYYXX如果如果那么称那么称X(t)和和Y(t)是广义联合平稳的。是广义联合平稳的。2022-5-2340)()()()(YXXYYXXYKKRR（1）联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质2222|)(|)0()0()(2)0()0(|)(|YXXYYXXYYXXYKRRRRRR（2）202

21、2-5-2341)()()()()(YXXYYXZRRRRR（3）若）若X(t)和和Y(t)是联合平稳的，则是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质YXYXZmmRRR2)()()(如果如果X(t)和和Y(t)不相关，则不相关，则)()()(YXZRRR如果如果X(t)和和Y(t)相互正交，则相互正交，则2022-5-23422)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定义随机过程的功率谱密度为：定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，功率谱密

22、度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况2022-5-2343功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(维纳维纳-辛钦定理辛钦定理条件条件: : 功率谱密度、自相关函数有意义功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随

23、机过程定义本身不要求必须是平稳过程适用于任意随机过程定义本身不要求必须是平稳过程2022-5-2344性质：性质：对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；21( )lim( ) 02XTTGEXT( )( )jXXGRed ( )cos( )sinXXRdjRd 02( )cosXRd 2022-5-2345性质：性质：相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。平；相关性越强，功率谱越陡窄。1(0)( )2XXRGdP总的平均功率总的平均功率2022-5-23

24、46两个随机过程两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱的互功率谱)()(21lim)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTdtetYY)()(其中：其中：若若X(t)及及Y(t)联合平稳，联合平稳， 绝对可积，有绝对可积，有)()(XYXYGR)(XYR互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。2022-5-2347性质：性质：)()()(*YXYXXYGGG（1）互功率谱并非是非负的实偶函数互功率谱并非是非负的实偶函数)(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG与与是是 的奇函数；的奇函数；是是 的偶

25、函数；的偶函数；与与（2）（3）)()()(2YXXYGGG2022-5-2348平稳白噪声：随机过程平稳白噪声：随机过程X(t)均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为2)(0NGX)(2),(21021ttNttRX平稳白噪声功率谱密度：平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数白噪声的功率谱密度和自相关函数 n随机过程的根本概念及定义随机过程的根本概念及定义n随机过程的统计描述：概率分布、数字特征随机过程的统计描述：概率分布、数字特征n平稳随机过程平稳随机过程n平稳的概念及判断平稳的概念及判断n平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质n随机过程的联合分布和互相

26、关函数随机过程的联合分布和互相关函数n随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度n定义，维纳定义，维纳- -辛钦定理辛钦定理n功率谱的性质、计算功率谱的性质、计算n白噪声、正态随机过程白噪声、正态随机过程第二第二章小结章小结例题例题2022-5-2350n( )= cos()X tAt广义平稳广义平稳例题例题n设设X和和Y是是相互独立的平稳随机过程，他们的乘相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳积是否平稳？解：令解：令2022-5-2351广义平稳广义平稳例题例题2022-5-2352例题例题2022-5-2353第三章第三章 随机过程的线性变换随机过程的线性变换n3.1 变换的根本概念和根

27、本定理变换的根本概念和根本定理n3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n3.3 限带过程限带过程n3.5 最正确线性滤波器最正确线性滤波器n3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布543.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理n线性变换线性变换n设有任意两个随机变量设有任意两个随机变量A1和和A2及任意及任意两个随机过程两个随机过程X1(t)和和X2(t)，如果满足，如果满足n那么称那么称L是线性变换。是线性变换。n55 11221122 L A XtA XtA L XtA L Xt3.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和

28、根本定理n线性变换的两个根本定理线性变换的两个根本定理n定理定理1 设设Y(t)=LX(t)，其中，其中L是线性是线性变换，那么变换，那么n即随机过程经过线性变换后，其输出的数即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。后的结果。56 E Y tL E X t 3.1 变换的根本概念和根本定理变换的根本概念和根本定理5721212()(), ,XYtXRt tLRt t 112121212, , ()()() ,YtXYttXRt tLRt tLLRt t1tL2tL3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分

29、析n冲激响应法冲激响应法n输出输出n均值均值n假设假设X(t)平稳平稳58X(t)Y(t)( )() ( )( )( )Y tX thdh tX t h(t)( )( )( )() ( )YXXmth tmtmthd ( )( )(0)YXXXmm hdmhdm H 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n输入输出的互相关函数为输入输出的互相关函数为n输出的自相关函数为输出的自相关函数为综合二式得综合二式得同理可证同理可证5921212212( ,)( ,)( )( ,)XYtXXRt tLRt th tRt t11212112( ,)( ,)( )( ,)YtXYXYRt

30、tLRt th tRt t 121121212( ,)( )( ,)( )( )( ,)YXYXRt th tRt th th tRt t= =12112( ,)( )( ,)YXXRt th tRt t12212( ,)( )( ,)YXYRt th tRt t3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n平稳过程通过线性系统输入输出相关函数平稳过程通过线性系统输入输出相关函数的关系的关系60),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2 随机过程通过线性系统分析随机过

31、程通过线性系统分析n平稳随机过程通过线性系统输入输出相关平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系函数之间的关系613.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析n频谱法频谱法：利用系统的传递函数来分析输出：利用系统的传递函数来分析输出的统计特性的统计特性n n n n n 62( )*( )( )XYXGHG ( )( )( )YXYGHG 2( )*( )( )( ) |( )|( )YXXGHHGHG( )( )( )YXXGHG ( )*( )( )YYXGHG 3.3 限带过程限带过程n低通随机过程低通随机过程：随机过程的功率谱：随机过程的功率谱GX()在在|c 内

32、不为零，而在其外为零内不为零，而在其外为零n低通随机过程的自相关函数为低通随机过程的自相关函数为63图图3-1 低通随机过程的功率谱低通随机过程的功率谱1( )( )2ccjXXRGed 3.3 限带过程限带过程假设低随机过程在频带内功率谱密度为常数，即假设低随机过程在频带内功率谱密度为常数，即那么称那么称X(t)为理想低通随机过程或理想低通白噪为理想低通随机过程或理想低通白噪声声其自相关函数为其自相关函数为总的平均功率为总的平均功率为6400/ 2(|,)cNN 为为常常数数( )XG 0()其其他他0(0)2cXNR 0sin( )2ccXcNR 3.3 限带过程限带过程n带通随机过程带通

33、随机过程：随机过程：随机过程X(t)的功率谱的功率谱GX()集中在集中在0为中心的频带内为中心的频带内n理想带通随机过程理想带通随机过程：在频带内，功率谱密度为：在频带内，功率谱密度为常数常数65b理想带通随机过程理想带通随机过程a一般带通随机过程一般带通随机过程3.3 限带过程限带过程噪声等效通能带噪声等效矩形带宽：把白噪噪声等效通能带噪声等效矩形带宽：把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为等效通能带，记为等效通能带，记为fefe66图图3-4 噪声等效通能带噪声噪声等效通能带噪声等效矩形带宽示意图等效矩形带宽示意图00()( )YeYFFd 200200( )|( )|12()2|()|YeYFdHdfFH 输出信噪比最大的最正确线性滤波器输出信噪比最大的最正确线性滤波器n如下图线性系统，假定系统的传递函数为如下图线性系统，假定系统的传递函数为 ，输入波形为，输入波形为67( )H(3.5.1)X(t)Y(t)图图3.17 线性系统示意图线性系统示意图其中其中 是是确知信号确知信号， 是是零均值平稳随机过程，功率谱零均值平稳随机过程，功率谱