大学物理解题法期末复习题.

1、例：例：半径为半径为R的大圆静止不动，半径为的大圆静止不动，半径为r的小圆沿大圆的小圆沿大圆内侧做无滑滚动，小圆的角速度恒为内侧做无滑滚动，小圆的角速度恒为，求求：(1)小圆绕大圆一周所用的时间。小圆绕大圆一周所用的时间。解：解：无滑滚动无滑滚动 vc= rC点绕点绕O点一周点一周所用的时间所用的时间2()RrrOCA求：求：(2)C点相对点相对O点点的加速度的加速度解：解：C点相对点相对O点点做匀速圆周运动做匀速圆周运动22COraRr求：求：(3)接触点接触点A相对相对O点点的加速度的加速度AOACCOaaa由加速度变换公式：由加速度变换公式：2ACarO,C,A在同一直线在同一直线OA上

2、上两加速度方向相同两加速度方向相同标量相加标量相加2AOACCORraaaRr例：例：质量为质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下，设滑下，设容器质量为容器质量为M，半径为，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态，水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态，求：求：(1) 当小当小球沿内壁滑到容器底部的球沿内壁滑到容器底部的B点时，受到向上的支持力为多大？点时，受到向上的支持力为多大？由于小球相对于桌面轨迹较复杂，而由于小球相对于桌面轨迹较复杂，而相对于容器，小球的轨迹仍

3、为圆弧相对于容器，小球的轨迹仍为圆弧，取容器为参考系（非惯性系）取容器为参考系（非惯性系）RBA分析：分析：容器未固定，可以滑动容器未固定，可以滑动要求要求B点的支持力，先求点的支持力，先求B点的向心力点的向心力为求为求B点速率，注意到小球点速率，注意到小球+容器容器(+地球地球)组成的系统：组成的系统：桌面参考系中，桌面参考系中，水平方向上不受外力，动量守恒水平方向上不受外力，动量守恒支持力不做功（与相对位移方向垂直，一对支持力做功之和为支持力不做功（与相对位移方向垂直，一对支持力做功之和为0）只有重力做功，系统的机械能守恒只有重力做功，系统的机械能守恒要求要求B点的向心力，先求点的向心力，

4、先求B点的速率点的速率(相对于容器相对于容器)RBA解：解：根据水平方向系统动量守恒及下滑过程中系统机械能守恒根据水平方向系统动量守恒及下滑过程中系统机械能守恒0mMmvMv221122mMmvMvmgR以以B点为重力势能零点点为重力势能零点其中其中vm, vM分别表示小球到达分别表示小球到达B点时小球、容器相对桌面的速度点时小球、容器相对桌面的速度2mMgRvMm2MmMgRvMMm()mmMvvv 现在以容器为参考系，求在现在以容器为参考系，求在B点小球相对容器的速度点小球相对容器的速度vmmmMvvvMvmv2()gR MmMRBANFgm容器参考系中，小球圆周运动的向心力容器参考系中，

5、小球圆周运动的向心力2mnmvmaR 小球运动到容器底部这一特殊位置时，小球运动到容器底部这一特殊位置时，NFmg22(3)mNmvmFmgmgRM求：求：(2) 小球相对于桌面的运动轨迹在小球相对于桌面的运动轨迹在B点的曲率半径？点的曲率半径？对容器没有水平方向的作用力，从而容器参考系的加速度为对容器没有水平方向的作用力，从而容器参考系的加速度为0，则容器参考系中的惯性力也为，则容器参考系中的惯性力也为0。由于在由于在B点，容器参考系的加速度为点，容器参考系的加速度为0，小球在地面参考系中的，小球在地面参考系中的法向加速度法向加速度(小球速度水平向右小球速度水平向右)也为也为na2mBnva

6、 相对桌面相对桌面22()()mmvMRRvMmR例：例：轨道上的小车质量为轨道上的小车质量为M，它下面用长为，它下面用长为l 的绳子系一质量的绳子系一质量为为m的砂袋。现有一质量为的砂袋。现有一质量为m0的子弹水平地射入砂袋内，而与的子弹水平地射入砂袋内，而与砂袋一起运动，最大摆角为砂袋一起运动，最大摆角为。若不计小车与轨道间的摩擦。若不计小车与轨道间的摩擦。求：求：子弹射入时的速度子弹射入时的速度v000v,m0mmmlM解：解：子弹子弹+砂袋砂袋 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒动量守恒子弹子弹+砂袋砂袋+小车小车, 上摆过程上摆过程最高点处三者具有共同的最高点处三者具有共同的对地对

7、地速度速度0001()mmmvv0002()mmmMvv水平方向动量守恒水平方向动量守恒220102011()()()(1 cos )22mmmmMmm glvv只有重力做功只有重力做功 (拉力为一对内力拉力为一对内力) ，00002(1 cos )mmmmMglmmv三式联立，可得三式联立，可得机械能守恒机械能守恒例：例：如图所示，小车从如图所示，小车从A点自静止开始，沿路径点自静止开始，沿路径AEDBCE运动。运动。其中，半径为其中，半径为 r 的环形路径的环形路径EDBCE内的内的DBC段为一段为一缺口缺口，而，而BOC=BOD= ，不计摩擦，不计摩擦，问问：(1)当高度当高度h=?时，

8、小车才能越过缺口循上述路径运动？时，小车才能越过缺口循上述路径运动？ (2)要使要使h值为最小，角值为最小，角为几度？为几度？ xy解：解：小车越过小车越过DC时只受重力作用，时只受重力作用，故作故作斜斜抛运动。抛运动。如图建立坐标系，如图建立坐标系，其轨道方程其轨道方程v设设D点的速度为点的速度为v，要求要求D点抛出，点抛出，C点落回，即斜抛轨迹经过点落回，即斜抛轨迹经过C点点C点坐标：点坐标：x=2r sin y=0代人轨迹方程，得抛出速度为代人轨迹方程，得抛出速度为2/cosvgr低于此速度，小车落入圆内低于此速度，小车落入圆内高于此速度，小车飞到圆外高于此速度，小车飞到圆外当高度当高度

9、h=?时，小车到时，小车到D点的速度满足点的速度满足2/cosvgr由以上两式，解得：由以上两式，解得：小车从点小车从点A滑到点滑到点D的过程中，斜面和环壁对小车的支承力的过程中，斜面和环壁对小车的支承力N不不作功，则由小车与地球组成的系统，其机械能守恒。作功，则由小车与地球组成的系统，其机械能守恒。21(cos)2mghmvmg rr1(cossec1)2hr欲求欲求h值最小时的值最小时的角，即求极值角，即求极值21 sin( sin)(cos ) 02r0dh d即即解得：解得：思考：思考：小车在小车在D点所受的环壁压力点所受的环壁压力 2cosvNmgmr(seccos )sintanN

10、mgmgxyv临界问题临界问题mMxyOyO例：例：一质量为一质量为M，半径为，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑桌面上，的光滑均质半球，静置于光滑桌面上，在球顶有一质量为在球顶有一质量为m的质点，由静止沿球面下滑。的质点，由静止沿球面下滑。求：求：(1) m脱离脱离M前的轨迹，前的轨迹，(2) m绕球心绕球心O的角速度。的角速度。解：解：要求的是要求的是m相对桌面相对桌面的轨迹，的轨迹，以及以及m相对球心相对球心O的角速度的角速度(1) 以桌面为参考系，建立坐标系以桌面为参考系，建立坐标系Oxy，设设m在某时刻在某时刻t的坐标为的坐标为(x,y)设设O在在t时刻的坐标为时刻的坐标为X，脱离前

11、有：，脱离前有：222()xXyR由于桌面光滑，在水平方向上，由于桌面光滑，在水平方向上，m和和M系统动量守恒系统动量守恒设设m相对桌面的水平速度为相对桌面的水平速度为vx，M相对桌面的速度为相对桌面的速度为V0 xmvMVxdxvdtdXVdt即即mMxyOyO2222(1)mxyRM0dxdXmMdtdtmdxMdX22221()xyMRRMm结合初始条件：结合初始条件：t=0时，时，x=0，X=0，两边积分，两边积分mxMX00 xXmdxMdX 轨迹方程为轨迹方程为或写为或写为可见，其轨迹为一椭圆，半长轴在可见，其轨迹为一椭圆，半长轴在y轴上，半短轴在轴上，半短轴在x轴上。轴上。(2)

12、 m相对于相对于O作圆周运动，设其角速度为作圆周运动，设其角速度为，则其绝对速度，则其绝对速度cosxvRVsinyvR 0 xmvMVcosxvRVcosm RVmMcosxMRvmM解得：解得：mMxyOyO桌面参考系中，只有重力做功，机械能守恒！桌面参考系中，只有重力做功，机械能守恒！221 cos1cosgmRmM22211()cos22xymgRm vvMVmgR以桌面处为重力势能零点以桌面处为重力势能零点sinyvR 代入解得：代入解得：?V ?xyvv(3) 若若M=2.43m，求求：m在什么在什么位置处开始脱离半球？位置处开始脱离半球？mMxyOyOm开开始脱离半球的条件：始脱

13、离半球的条件：支持力为支持力为03cos3cos20mmM221 cos1cosgmRmM2cosmgmR惯性系中惯性系中以以M为参考系，是否仍然成立？为参考系，是否仍然成立？脱离的瞬时，脱离的瞬时，M的加速度的加速度= 0若若M=2.43m，解得：，解得：cos=0.7, -3.5, 2.8 (后两者大于后两者大于1舍去舍去) 在在=arccos0.7=45.57处，处，m开始脱离半球。开始脱离半球。 mMxyOyO3cos3cos20mmM这与这与M固定不动时的计算结果固定不动时的计算结果相同。即相当于相同。即相当于M不动。不动。讨论：讨论：若若Mm这表明，这表明，M一下子滑出，一下子滑出

14、，m竖直下落。竖直下落。若若MR)：2 4krdVr dr2404RVdVkrr drkR4204rkREer球体内球体内(rR)：200 () ()4rdqdErrdEerrr24322200000444RRrrrkrr drkkREdEer dr eerrr球体内球体内(rR)：其在距离球心为其在距离球心为r处产生的电场为：处产生的电场为：2320004rrrkkrEdEr dr eer无限大厚板，无限大厚板，=kx，k为常量，为常量，求求板内外的场强？板内外的场强？例：例：电荷体密度为电荷体密度为+ 的均匀带电球体，若保持电荷分的均匀带电球体，若保持电荷分布不变，在其中挖去一个小球体，小

15、球球心布不变，在其中挖去一个小球体，小球球心O相对相对O的位置矢量为的位置矢量为 ，证明：证明：腔内为匀强电场。腔内为匀强电场。 分析：分析：电荷电荷(电场电场)分布已不是球对称，分布已不是球对称，无法直接用高斯定理。无法直接用高斯定理。补偿法：补偿法：带正电大球带正电大球+带负电小球带负电小球解：解：考察腔内考察腔内任一点任一点P处，处，aOOP03bE大球0()3EEEbd总大球小球03dE小球POObad03a两球内两球内P处处与与P的位置无关的位置无关无限长空腔圆柱体，腔内为匀强电场无限长空腔圆柱体，腔内为匀强电场 02a设设OP=b，OP=d例：例：在在点电荷点电荷q的电场的电场中，

16、取一个半径为中，取一个半径为r的圆的圆平面平面，q位于其轴线上距离为位于其轴线上距离为d 处，处，求：求：通过圆平面的电通量。通过圆平面的电通量。rRq分析：分析：平面上各处与电场线夹角各平面上各处与电场线夹角各异，考虑以异，考虑以q处为球心，半径为处为球心，半径为R的的球冠面球冠面S的电通量。的电通量。解：解：由于球冠面上各处场强大小由于球冠面上各处场强大小相同，方向即相同，方向即dS 的法线方向的法线方向dO002sin2()RRdR Rd2Sr dl204qERe2220002()(1)(1)422qqdqdR RdRRrdedddSSSESE SESES球冠的面积球冠的面积 0 000

17、dqES球面内包围一点电荷球面内包围一点电荷q，由高斯定理，由高斯定理可知，可知，整个球面整个球面的电通量为的电通量为202()()42SR RdRdSRRe0220000()(1)(1)222SqRdqdqdSRRrd 穿过穿过球冠面的电通量球冠面的电通量(电场线条数电场线条数)为为球冠面积球冠面积S占整个球面积占整个球面积S0的比例为的比例为解解2：由于球面上电场线的疏密程度均匀由于球面上电场线的疏密程度均匀(E大小相同大小相同)，可由面积之比求出电通量之比。可由面积之比求出电通量之比。rRqdO 0 0电势的计算电势的计算 一些常见均匀带电体的电势一些常见均匀带电体的电势均匀均匀球面球面

18、内内(r R) 04QVR点电荷、点电荷、均匀均匀带电球面带电球面( (体体) )外外0 4QVr=面上电势，与面上电势，与r无关无关平行板电容器板间平行板电容器板间(匀强电场匀强电场)电势差电势差UEd无限长均匀无限长均匀带电直线、圆柱面带电直线、圆柱面(体体)外外00ln2rVr其中其中r0为电势零点到轴的距离为电势零点到轴的距离(注意不能选在无限远处注意不能选在无限远处)无限长无限长均匀均匀圆柱面圆柱面内内00ln2rVR=面上电势，与面上电势，与r无关无关例：例：在在Oxy面上倒扣着半径为面上倒扣着半径为R的半球面，其上电荷均的半球面，其上电荷均匀分布，电荷面密度为匀分布，电荷面密度为

19、，A点的坐标为点的坐标为(0, R/2)，B点点的坐标为的坐标为(3R/2, 0)，求：求：电势差电势差UAB分析：分析：由上下对称及电势叠加可由上下对称及电势叠加可知，半球面在知，半球面在Oxy平面上的电势平面上的电势就是完整球面的电势的一半。就是完整球面的电势的一半。解：解：将半球面扩展为完整球面将半球面扩展为完整球面则面内则面内(上上)A点电势为点电势为20044ARRVR A0001122236ABBRRRUVV面外面外B点电势为点电势为200424323BRRVR 半球半球面，电势差面，电势差20442RR 例：例：两个均匀带电的同心半球面如图相对放置，其半径两个均匀带电的同心半球面

20、如图相对放置，其半径分别为分别为R1与与R2，电荷面密度分别为，电荷面密度分别为 1和和 2， 求：求：大球底面直径大球底面直径AOB上的电势分布上的电势分布分析：分析：由对称性及电势叠加原理可知，半球面在由对称性及电势叠加原理可知，半球面在AOB平面上的电势等于完整球面产生的电势的一半。平面上的电势等于完整球面产生的电势的一半。解：解：由均匀带电球面的电势分布由均匀带电球面的电势分布OBA 2R2 1R1000200 ()4 ()4QRrRRVQRrRrr1110121110 ()2 ()2RrRVRrRr半个小球面在半个小球面在AOB上的电势上的电势可以看出，在与小球面的底面重合的可以看出

21、，在与小球面的底面重合的区域各点电势相等，而超出小球面底区域各点电势相等，而超出小球面底面的部分则与面的部分则与r有关。有关。11221001221122100+ ()22 + ()22RRrRVVVRRrRr22220 ()2RVrR则则AOB上的电势分布为上的电势分布为OBA 2R2 1R1半个大球面在半个大球面在AOB上的电势上的电势若若1111100 () (1) ()2rRVRRrRr1122RR 则则例：例：地面上有一固定点电荷地面上有一固定点电荷A，其正上方有一带电小球，其正上方有一带电小球B，在重，在重力和力和A的库仑的库仑斥斥力作用下，力作用下，B在在A的上方的上方H/2H之

22、间来回振动，之间来回振动，求：求：B运动的最大速率。运动的最大速率。分析：分析：由于重力及库仑力均为保守力，所以机械能守恒。而所由于重力及库仑力均为保守力，所以机械能守恒。而所谓速率最大，即振动的平衡位置，受力为零处。谓速率最大，即振动的平衡位置，受力为零处。设在高度设在高度h处受力平衡处受力平衡204Qqmgh2max0142Qqmghmvh解：解：设设A带电为带电为Q，B带同号电荷带同号电荷q，B质量为质量为m，平衡位置处机械能平衡位置处机械能运动范围为运动范围为H/2H，这两处，这两处B的动能为的动能为004QqmgHH2Hh 0242HQqmgH联立可得联立可得max(32 2)vgH

23、BGFA例：例：如图，如图，接地导体球附近有一点电荷接地导体球附近有一点电荷q, ,相距相距l求：求：导体上感应电荷的电量导体上感应电荷的电量接地接地U=0，解：解：设感应电量为设感应电量为q04qURRqql qRol球外没有其他带电体时球外没有其他带电体时004qUR感应电荷分布在球面上，但不均匀感应电荷分布在球面上，但不均匀04dqdUR球面在球心的球面在球心的电势电势10044dqqURR任取球面上一块电荷元任取球面上一块电荷元dq，其在球心处的，其在球心处的电势为电势为004ql0接地意味着导体电势为零，不意味着电荷为零接地意味着导体电势为零，不意味着电荷为零 球心球心的电势为的电势

24、为0等势体等势体球心总球心总电势电势0q 电介质的极化电介质的极化例：例：如图，均匀电介质如图，均匀电介质球球被均匀极化，极化强度为被均匀极化，极化强度为P，求：求：极化电荷极化电荷在球心产生的退极化场。在球心产生的退极化场。解：解：以球心以球心O为原点，选与为原点，选与P平行的平行的方向为方向为z轴，建立如图的极坐标系轴，建立如图的极坐标系电介质球表面上的某球面元电介质球表面上的某球面元dS处的束缚电荷面密度：处的束缚电荷面密度：cosP nP 其中其中n为介质球表面的外法线方向为介质球表面的外法线方向分析：分析：本题极化电荷分布在球面上，本题极化电荷分布在球面上，求求(非均匀非均匀)带电球

25、面在球心的场强，带电球面在球心的场强，已知极化强度已知极化强度P极化电荷面密度。极化电荷面密度。 当当 /2 为为负电荷负电荷 极化电荷分布关于极化电荷分布关于z轴对称轴对称22200coscossin44PdSPd dR 整个球面上在球心的场强整个球面上在球心的场强220000cossin43PPdd 2sinsindSRd RdRd d Rd Rrd cos()coszdEdEdE 204dSdER 方向如图方向如图图中球面元图中球面元dS在球心的场强在球心的场强由对称性可知，球心处的退极化场由对称性可知，球心处的退极化场的方向应该是的方向应该是水平向左水平向左cosP zEdE只需计算只

26、需计算z分量：分量：例：例：在无限大均匀电介质内，挖一个半径为在无限大均匀电介质内，挖一个半径为R的无限的无限长长圆柱圆柱形空腔，设形空腔，设腔外腔外电介质被均匀极化，极化强度电介质被均匀极化，极化强度P 沿沿y方向，方向，求：求：极化电荷在空腔轴线上产生的场强。极化电荷在空腔轴线上产生的场强。xzyOPcos()cosP nPP 分析：分析：此问题中极化电荷分布在圆柱面上，此问题中极化电荷分布在圆柱面上，求求(非均匀非均匀)带电圆柱面在其轴线上的场强，带电圆柱面在其轴线上的场强，解：解：如图，如图，将圆柱面分成许多无限长窄条，将圆柱面分成许多无限长窄条，已知极化强度已知极化强度P，则极化电荷

27、面密度可求。，则极化电荷面密度可求。考察与考察与y方向夹角方向夹角为为 ，角宽度为，角宽度为d 的窄条，的窄条，yxR d P nn为腔外介质表面的外法线方向为腔外介质表面的外法线方向-+介介质质介介质质介质介质分子分子极化电荷分布关于极化电荷分布关于yOz平面对称平面对称 /2 为正为正电荷电荷+xzyOPdE00|cos22dPdEdR 此线密度为此线密度为d 的无限长带电直线的无限长带电直线在轴线上的场强大小在轴线上的场强大小cosdRdPRd此窄条此窄条(直线直线)的极化电荷的极化电荷线线密度密度方向如下图方向如下图yxR d P-介介质质介介质质与与P同向，不是极化电荷在介质内的场强

28、。同向，不是极化电荷在介质内的场强。由于极化电荷分布关于由于极化电荷分布关于yOz平面对称，其平面对称，其在在空腔区域空腔区域轴线上的总场强沿轴线上的总场强沿y轴方向，轴方向， 22000cos22PPd cosEdE故只需对故只需对y轴方向的分量进行积分：轴方向的分量进行积分：02PE 是由极化电荷产生的，未包括是由极化电荷产生的，未包括导致介质极化的外电场；导致介质极化的外电场； 电容的计算电容的计算例：例：平行板电容器，极板面积为平行板电容器，极板面积为S，板间间距为，板间间距为d，现充有两种电容率分别现充有两种电容率分别为为 1和和 2，厚度分别为厚度分别为d1和和d2的均匀电介质。的

29、均匀电介质。1d2d求：求：此平行板电容器的电容。此平行板电容器的电容。解：解：设两极电荷面密度分别为设两极电荷面密度分别为+ 0和和- - 012取圆柱形高斯面，由高斯定理取圆柱形高斯面，由高斯定理00S0D SS0D101E202E两板间的电势差两板间的电势差dBAUEl1211021ddddddlElE0012r1r2oodd A B各层电介质中的电场强度不同各层电介质中的电场强度不同电容为电容为122121ddS0011022/SqCUddu相当于两个电容器的串联相当于两个电容器的串联121d2d1C2C111dSC222dSC12111CCC12121221121SddddSS 另一

30、种情况另一种情况1S2S1200SA B12由于极板为等势体由于极板为等势体12UUUUEd12EE/ED2211/11021122, ?SSSd112011122SEESS各层电介质中的电场强度相同各层电介质中的电场强度相同01122SSS11DS22D12两板间的电势差两板间的电势差101122SdUE dSS001122SqCSdUSSdSS2211u相当于两个电容器的并联相当于两个电容器的并联1S2S12dd1C2CdSC111dSC222112212SSCCCd现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的相互作用，认为两球的电荷各自

31、均匀分布在其球面上。相互作用，认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。例例：两个相距两个相距很远很远的导体球，半径分别为的导体球，半径分别为a、b(a)，每，每球各带有电荷球各带有电荷q，现用一根细长导线将两球联接，静电，现用一根细长导线将两球联接，静电平衡后忽略导线中所带电荷，平衡后忽略导线中所带电荷，求求:(1)电荷迁移方向及最电荷迁移方向及最终终两球上的两球上的电荷量，电荷量，(2)该导体组的电容。该导体组的电容。ab解解：(1)设联接后两球的电量最终设联接后两球的电量最终分别变为分别变为q1、q2，则由电荷守恒，则由电荷守恒122qqq两球电势分别为两球电势分别为120044aqqUal

32、10 4qlaa210044bqqUbl20 4qlbb其中其中l为两球心距离为两球心距离120044qqab联接联接两球等势两球等势 Ua=Ub，即，即12q bq aab12220044q aq bab12ab121222, ,44qqab面密度面密度1222, qaqbqqabab1212, , abqq电荷由小球电荷由小球b大球大球a或由联接前的电势高低来判断电荷的流向或由联接前的电势高低来判断电荷的流向04bqUb由电荷守恒由电荷守恒联接前大球电势联接前大球电势显然显然baUU04aqUa小球电势小球电势由高电势的小球由高电势的小球b流向低电势的大球流向低电势的大球a得得122qqq

33、104aaaqC UaU也可将此导体组看作是两个孤立导体球的也可将此导体组看作是两个孤立导体球的并联并联，或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。 对对(1)也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布04aCa204bbbqC UbU12 abUUqbq a04bCb12? ? qq(2)两球的总电量为两球的总电量为2q，电势均为，电势均为10042()abqqUUaab024()aqCabUab04()abCCCab122qqq例：例：一平行板空气电容器，极板面积为一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为，

34、极板间距为d，(1)充充电至两极板分别带电为电至两极板分别带电为+q和和-q后，断开电源，再把两板慢慢后，断开电源，再把两板慢慢拉开拉开至间距为至间距为2d ，(2)若保持与电源连接以维持电压为若保持与电源连接以维持电压为U，再把两极，再把两极板慢慢拉至板慢慢拉至2d，求：求：两种过程中外力克服电场力所做的功？两种过程中外力克服电场力所做的功？ 解：解：(1)断开电源后，移动过程中极板上的断开电源后，移动过程中极板上的电荷量将保持不变电荷量将保持不变从而板间的场强从而板间的场强也将保持不变也将保持不变000022qES板间的电场能量密度也不变板间的电场能量密度也不变22020122eqwES间

35、距从间距从d到到2d，电场力做负功，电场力做负功，202q dAFdS一个极板受到另一个极板的电场的吸引力一个极板受到另一个极板的电场的吸引力20022qFqS而外力的功而外力的功而电场能量的增量而电场能量的增量20(2)2eeq dWwdd SSA(2)保持电源连接，移动过程中极板间的保持电源连接，移动过程中极板间的电压将保持不变电压将保持不变而间距从而间距从d到到2d，电容减半，电容减半00122SCCd0则电场能量的改变量为则电场能量的改变量为22200111224eWCUC UC U 拉开极板的过程中拉开极板的过程中外力做负功？外力做负功？在此过程中除在此过程中除外力做正功外，由于极板

36、上电荷量的变化，还有外力做正功外，由于极板上电荷量的变化，还有电源在做负功电源在做负功(对电源做功对电源做功)，从而导致了电场能量的减少。，从而导致了电场能量的减少。过程中过程中极板上电量的改变量为极板上电量的改变量为000()/2qCC UC U 把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：20102C U 1AqU 外力做功为外力做功为21eAWA 222202000111()04244SUAC UC UC Ud 例：例：一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为S，极板间距为，极板间距为d，求：求：电容器能量的变化？电容器能量的变

37、化？ u充电后断开电源，保持其充电后断开电源，保持其电量电量q不变不变，将一块厚为将一块厚为b(0)，放在光滑的水平面上。环内外分布有垂直环面，放在光滑的水平面上。环内外分布有垂直环面向上的均匀磁场向上的均匀磁场B，若将圆环以角速度，若将圆环以角速度 绕着通过圆心的绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转，竖直轴匀速旋转，求：求：环上因转动而形成的环上因转动而形成的附加附加张力。张力。B 分析：分析：此带电圆环静止时，环上各处的此带电圆环静止时，环上各处的电荷之间会有电场力的作用，为维持平电荷之间会有电场力的作用，为维持平衡，环上已经有张力存在。衡，环上已经有张力存在。本题要求的是，当环旋转后，会形成圆本

38、题要求的是，当环旋转后，会形成圆电流，磁场对圆环就有安培力的作用，电流，磁场对圆环就有安培力的作用，环上又需要一个附加的张力环上又需要一个附加的张力: 抵消安培力、提供向心力抵消安培力、提供向心力dFIdlBdFBIdl径向向外径向向外dF其中电流强度其中电流强度QIT2T2Q2BQdFdldlRd2BQ RdFddF如俯视图示如俯视图示d BBR设设dl 两端的附加张力为两端的附加张力为T，TTd 2d 2sin22ddTT如图，如图，T与水平虚线夹角为与水平虚线夹角为12dT 沿俯视图中沿俯视图中“竖直竖直”方向的分量方向的分量为为由牛顿第二定律由牛顿第二定律222dTdFRdm2mdmd

39、222BQ RmTddRd()2RTmBQ若为通有电流若为通有电流I 的载流圆环的载流圆环202dTdFTBIR圆环不旋转，无向心力圆环不旋转，无向心力dFBIdlBIRd例：例：如图，空间分布着足够大的匀强磁场如图，空间分布着足够大的匀强磁场B，其方向垂，其方向垂直屏幕向里，磁场中有两点直屏幕向里，磁场中有两点a和和b，相距为，相距为l，ab连线水平连线水平且与且与B垂直，一质量为垂直，一质量为m，电量为，电量为q(0)的粒子从的粒子从a点以水点以水平初速平初速v0对着对着b点射出，考虑粒子的重力，点射出，考虑粒子的重力，问：问：要使粒子要使粒子能经过能经过b点，点，v0有哪些可能取值？有哪

40、些可能取值？B解：解：洛伦茨力与重力平衡时洛伦茨力与重力平衡时abm, q, v0匀速直线运动匀速直线运动0Bqvmg由于重力，也不会是圆周运动。由于重力，也不会是圆周运动。0mgvBq此解记为此解记为v01，还有没有其他可能？，还有没有其他可能？若若v0v01，上偏，上偏，若若v0v01，可将初速，可将初速v0分解为分解为若若v01，外半径为外半径为R2，求：求：(1)磁介质中任一点的磁介质中任一点的B，H，M；(2)磁介质内外表面的磁化电流密度。磁介质内外表面的磁化电流密度。解：解：(1)利用利用H的安培环路定理的安培环路定理三者同向且与三者同向且与I成右手螺旋成右手螺旋2H dlHrI2

41、IHr(1)(1)2rmrIMHHr002rrIBHr 1Rr2RIrH根据对称性，取半径为根据对称性，取半径为r的的逆时针逆时针圆形回路圆形回路沿环路沿环路H与与dl 同向同向与与H 同向同向r1，顺磁质，与，顺磁质，与H同向同向,磁化强度磁化强度1Rr2RIr(2) 磁化电流密度磁化电流密度1(1)2rIiR iMn tMM内表面内表面向上；向上；2(1)2rIiR 外表面外表面向下向下II(1)2rIMr利用利用B的安培环路定理的安培环路定理0d2()LBlBrII ()2IIBr0r2IBr rIII r(1) ,II包括了磁介质包括了磁介质内表面内表面上的磁化电流上的磁化电流I12I

42、iR 22IiR R1rR2与与I 同向同向外表面处，同为外表面处，同为I，但反向，但反向内表面处内表面处取与取与x轴夹角为轴夹角为，宽为，宽为Rd的环带，的环带，siniM nRrx例：例：半径为半径为R的介质球均匀磁化，其磁化强度为的介质球均匀磁化，其磁化强度为M，求：求：磁化电流在球心磁化电流在球心O点产生的磁场。点产生的磁场。解：解：要求磁场，首先要求磁化电流要求磁场，首先要求磁化电流介质表面磁化电流密度介质表面磁化电流密度iMn sinMRd xMO磁化电流强度磁化电流强度dIi Rd此磁化圆环电流在此磁化圆环电流在(距离距离环心环心为为x的的)球心球心O产生的磁场产生的磁场3000

43、2sin23MBdM 222sin , rRrxR2032222()r dIdBrx30sin2Md 整个球面在球心产生的磁场整个球面在球心产生的磁场这只是磁化电流的磁场，未包括外磁场。这只是磁化电流的磁场，未包括外磁场。与与M同向，同向，则其上的磁化电流密度为则其上的磁化电流密度为 感应电动势的计算感应电动势的计算例：例：在匀强磁场在匀强磁场B中，有长为中，有长为L的导体棒，与磁场方向的导体棒，与磁场方向夹角为夹角为 ，固定棒的，固定棒的O端，使其绕磁场方向作匀加速转端，使其绕磁场方向作匀加速转动，设转动过程中导体棒与磁场夹角始终为动，设转动过程中导体棒与磁场夹角始终为 ，要使棒要使棒两端的

44、电势差增加率为两端的电势差增加率为c，求：求：转动的角加速度转动的角加速度b b LOB电势差增加率电势差增加率动生电动势的增加率动生电动势的增加率解：解：导体棒转动时切割磁力线导体棒转动时切割磁力线动生电动势动生电动势如图在棒上如图在棒上l处取微元处取微元dl，vBvB/2/2对此微元对此微元cos(2)vBdl()dvBdlEsinvrl2sinBldl对整个棒对整个棒222001()sinsin2LLvBdlBldlBLE222211sinsin22ddcBLBLdtdtb E222sincBLbdlc例：例：如图，用长为如图，用长为L的细金属丝的细金属丝OP和绝缘摆球和绝缘摆球P构成一

45、个圆锥构成一个圆锥摆，摆，P作水平作水平匀速匀速圆周运动时金属丝与竖直线的夹角为圆周运动时金属丝与竖直线的夹角为 ，空，空间中存在向内的匀强磁场间中存在向内的匀强磁场B，问：问：在运动过程中，金属丝两端在运动过程中，金属丝两端电势电势差差的最小值与最大值？的最小值与最大值？解：解：金属丝切割磁力线金属丝切割磁力线动生电动势动生电动势B LOPdl设转动为逆时针，其角速度为设转动为逆时针，其角速度为在不同位置，在不同位置， 的大小会不同的大小会不同vBab在在a、b两处两处0vB0OPUE200()sincossincos2LLLvBdllBdlBEd而在而在c、d两处，两处，vB|sinvBv

46、BlBvBvB如图其方向或上、或下，与如图其方向或上、或下，与dl 的夹角总为的夹角总为 ，以以c处为例处为例cosTmg2cosgL2sinsinTmL1cossin2BL gLE此为最小值此为最小值例：例：一无限长圆柱，与轴平行地挖出一个圆柱空间，一无限长圆柱，与轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴的距离两圆柱轴的距离OO=d，如图，两圆柱，如图，两圆柱间间区域存在随时区域存在随时间线性增长的均匀磁场间线性增长的均匀磁场B=kt，k为常数。若在空腔中有为常数。若在空腔中有一与一与OO成成60角，长为角，长为L的金属杆的金属杆AOB，求：求：此此杆上的感生电动势。杆上的感生电动势。OOBA分析

47、：分析：感生电动势感生电动势感生电场感生电场变化磁场变化磁场带电带电无限长空无限长空腔圆柱体腔圆柱体腔内的腔内的02aE通有电流通有电流02Bj d?E 均均匀匀解：解：补偿法补偿法, 大圆柱大圆柱(B向内向内)+小圆柱小圆柱(B向外向外)取腔内任意一点取腔内任意一点P，设，设OP=r，OP=rPOOrdr大圆柱中向内的变化磁场在大圆柱中向内的变化磁场在P点产生的点产生的电场电场12r dBEdt22r dBEdt小圆柱中，小圆柱中，向外向外的变化的变化磁场在磁场在P点产生的点产生的电场电场POOrdr1E2EOOBAP点的总感生电场点的总感生电场2d dBEdt12EEE总方向如图方向如图(

48、左手左手)其大小其大小2212122cosEEEE E2222cosdrrrr222cos2rrdrrrr相似相似，方向与方向与d垂直垂直匀强匀强 BAO BAE dlE3cos3024d dBLkLddtEBkt12dBEddt 对感应电流的磁场力对感应电流的磁场力例：例：如图，一螺线管铅直放置，通有如图，一螺线管铅直放置，通有直流直流电，有一导体电，有一导体圆环沿螺线管轴线下落，下落过程环面恒保持水平，则圆环沿螺线管轴线下落，下落过程环面恒保持水平，则圆环经过图中圆环经过图中A、B、C三点时，加速度大小满足三点时，加速度大小满足 ( )E ElAlClB(A) aAaBaC(C) aCaA

49、aB(D) aBaAaC(B) aAaCvACACAFFaaC例：例：一半径为一半径为r的金质的金质圆环圆环竖立于两磁极间，设环下端竖立于两磁极间，设环下端因限制而不能在磁极上滑动，因限制而不能在磁极上滑动，现受到一扰动，使现受到一扰动，使环面环面偏偏离竖直面离竖直面0.1弧度弧度，并并开始倒下。已知磁场为开始倒下。已知磁场为B，环重为，环重为G，环的，环的截面半径截面半径为为b，金的电导率为，金的电导率为 ，设倒下过程中，设倒下过程中重力矩始终与磁力矩平衡，重力矩始终与磁力矩平衡，求：求：环倒下所需的时间。环倒下所需的时间。分析：分析：环倒下环倒下/2，建立，建立 t 关系关系B NS解：解

50、：当夹角为当夹角为 时的磁通量为时的磁通量为环倒下过程中，穿过环面的磁通量环倒下过程中，穿过环面的磁通量发生变化，产生感应电动势发生变化，产生感应电动势圆环圆环感应电流感应电流磁力矩磁力矩引起的感应电动势大小为引起的感应电动势大小为22( )cos(2)sinr Br B2cosddr BdtdtE21cosdIr BRRdtE221 22rrRbb 感应电流感应电流2cos2bdrBdt由电阻定律由电阻定律2|sin(2)cosmBISBI r B此圆电流在匀强磁场中受到的磁力矩大小为此圆电流在匀强磁场中受到的磁力矩大小为22 32222 22222 22/2/20.10.1coscos2s

51、in2sinbr Bbr Bbr BtddGrGG 22322cos2bdr Bdt倒下过程中，两力矩平衡倒下过程中，两力矩平衡方向与重力矩相反方向与重力矩相反NS22322cossin2bdr BGrdtB G例：例：匀强磁场匀强磁场B中，固定着两根足够长的平行金属导轨，中，固定着两根足够长的平行金属导轨，如图，导轨上横放着两根质量均为如图，导轨上横放着两根质量均为m，长度均为，长度均为l，电阻，电阻均为均为R的金属棒，它们与导轨构成矩形回路，忽略导轨的金属棒，它们与导轨构成矩形回路，忽略导轨上的电阻，设两棒可以在导轨上无摩擦的滑动，初始两上的电阻，设两棒可以在导轨上无摩擦的滑动，初始两棒相

52、距棒相距x0，左棒，左棒cd静止，右棒静止，右棒ab具有向右的初速度具有向右的初速度v0求：求：(1)之后两棒的运动速度随时间的变化关系；之后两棒的运动速度随时间的变化关系；l0vBabdc(2)两棒之间的最大距离。两棒之间的最大距离。x0分析：分析：右棒向右运动切割磁力线，右棒向右运动切割磁力线，产生向上产生向上(逆时针逆时针)的电流，的电流，I向左的安培向左的安培(阻阻)力力右棒减速右棒减速1F左棒中电流向下左棒中电流向下向右的安培力向右的安培力F2=BIlI2F左左棒中产生向上棒中产生向上(顺时针顺时针)的电动势的电动势左左棒向右运动棒向右运动=F1方向相反方向相反解：解：(1)设右棒设

53、右棒ab的速度为的速度为v1，左棒，左棒cd的速度的速度v2结合初始条件结合初始条件t=0时，时，v1=v0，v2=0对上式积分可得对上式积分可得每个棒受到的安培力为每个棒受到的安培力为感应感应电流电流回路中的总电动势回路中的总电动势l0vBabdcx0I1FI2F201vvv21dvdv 12BlvBlvE1222vvIBlRRE2 21122dvvvmB ldtR2 2122vvFBIlB lR对右棒安培力为阻力对右棒安培力为阻力2 22122dvvvmB ldtR对左棒对左棒比较两式，可得比较两式，可得对右棒对右棒2 21011()2vvvdvmB ldtR2 21002lnvvB lt

54、mRv积分积分102 2101022tvvdvB ldtmRvvl0vBabdcx0I1FI2F两棒的同速时，两棒的同速时，2 201(1)2B ltmRvve2 20201(1)2B ltmRvvvve右棒右棒左棒左棒(2)两棒间的最大距离两棒间的最大距离设共同速度为设共同速度为v由于由于F2=F1，两棒的合力为，两棒的合力为0，02vv 120120()txxxxvv dt 动量守恒，动量守恒，mv0=2mv此即上两式中当此即上两式中当t时的情况，最终两棒匀速时的情况，最终两棒匀速设某时刻设某时刻t 两棒位置分别为两棒位置分别为x1和和x21010txxv dt1222 22()mRvv

55、dtdvB l220txv dt2 22122dvvvmB ldtR00202 22 202vmRvmRxxdvxB lB l 两棒间的最大距离两棒间的最大距离 自感与互感自感与互感例：例：一截面为矩形的螺绕环，内外半径分别为一截面为矩形的螺绕环，内外半径分别为a和和b，高为高为h，匝数为，匝数为N，求求：(1)螺绕环的自感系数；螺绕环的自感系数；(2)在螺绕环轴线处放一无限长直导线，在螺绕环轴线处放一无限长直导线，当当螺绕环中通以螺绕环中通以交变电流交变电流I1=I0sin t时，时，求：求：长直导线中的长直导线中的感应电动势。感应电动势。解：解：(1)设通有一电流设通有一电流I，管内的总磁通量，管内的总磁通量20ln2N hbLIa200ln22baNIN hIbNNhdrra 螺绕环的自感系数螺绕环的自感系数(2)可认为无限长直导线在无限远处闭合，匝数为可认为无限长直导线在无限远处闭合，匝数为1通过螺绕环截面的磁通量通过螺绕环截面的磁通量 也就是通过直导线的磁通量也就是通过直导线的磁通量通电的通电的螺绕