电大复变函数形成性考核册参考答案

1、一、单项选择题1、假设Zi=(a,b),Z2=(c,d),那么Zi-乙=(C)A(ac+bd,a)B(ac-bd,b)C(ac-bd,ac+bd)D(ac+bd,bc-ad)2、假设R0,贝UN(s,R)=z:(D)A|z|RB0|z|RCR|z|R3、假设z=x+iy,那么y=(D)A博(/底1-D三二22T7：2i2i(4小)(1i)2i2i4、假设A=,那么|A|=(C)A3B0C1D2二、填空题1、假设z=x+iy,w=z2=u+iv,贝Uv=(2xy)2、复平面上满足Rez=4的点集为(z=x+iy|x=4)3、(设E为点集,假设它是开集,且是连通的,那么E)称为区域.4、设zo=x

2、o+iyo,zn=xn+iyn(n=1,2,),那么zn以z.为极限的充分必要条件是xn=X0,且-yn=yo.三、计算题1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角.解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-1(-1)(-1)-22、写出复数3T的三十式.-i=cosisin二22-1-i在第二象限ary(-1,-i)二二arctan|尸二-14的代数式.3、写出复数解：1-ii(1i)(1-i)i1-ii-(1-i)(1i)ii1 11 -i-12 23 1.-i224、求根式V-27的值解：327=3arg(-27)=奠.z-27的三次根的值为Wo二：=3e3=3(cosisin)33

3、i(二2二)=3e3i(一)二3e3=3(cos二isin二)5.5、=3(cos二isin一二)33四、证实题1、证实假设3xyi二abi,那么a2+b2=1.证实:=abiIabi|=|x-yixyixyi1abi|=a2b2而a2ba2b23、证实：x-yi二1xyi=z1二1Zz2Z22Re(zZ2)、2-证实：ZHZ2=(乙+Z2)(Zi+Z2)=(Z1+Z2)(Zi+Z2)fZZ2Z24Z2Z2Z122_=Zi+Z2+Z1Z2+Z2Z1设乙=a+旧那么名=abiz2=xyMz2;x-yiz1Z2z2Z1;(abi)(x-2yi)(xyi)(a-bi):axby(bx-ay)iaxb

4、y-(bx-ay)i=2(axby)=2Re(z1z2)第2章解析函数一、单项选择题1.假设f(z)=x2-y2+2xyi,那么2、假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A上二色且二二JVB；:xfy；:xfy.:uFvuAC丁=一丁且丁=n-一y二x二xDxf(z)=(D)那么柯西一黎曼条件为(D)ju.:uv：:v=lL=.x.；y.；x.fy一cu_仅且心u_cv：:x.:x3、假设f(z)=z+1,那么f(z)在复平面上(C)A仅在点z=0解析B无处解析C处处解析D在z=0不解析且在zw0解析4、假设f(z)在复平面解析,g(z)在复平面上连续,那么f(z)+g(z)在复平面上(

5、C)A解析B可导C连续D不连续二、填空题1、假设f(z)在点a不解析,那么称a为f(z)的奇点.2、假设f(z)在点z=1的邻域可导,那么f(z)在点z=1解析3、假设f(z)=z2+2z+1,那么f,(z)=2z+24、假设f2,那么f(1)=不存在.(z-i)(z-2)三、计算题：f(0-)-f(0)hm-1、设f(z)=zRe(z),求空解:limf(.=-f.z0.limezJ0二=l.im.Re(口)2、设f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv；：ux二=ecosyjx

6、2y：uV_xj.二=esiny:yjyf(z)=excosyie.f(z)在复平面解析,且f,=e)xcosy+iexsiny3、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数,且满足u=x3-3xy2,f(i)=0,试求f(z).解：依C-R条件有Vy=ux=313y2v=(3x2-3y2)dy=3x2y-y3Q(x)Vx二6xyQ(x);-uy=6xyQ(x);c那么V(x1y)=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic,为使f(i)=0,当x=0,y=1时,f(i)=0,有f(0)=-i+ic=

7、0.c=1f(z)=Z3+i4、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数,且满足u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求f(z).解：依C-R条件有Vy=ux=2y-V=12y的2+中仪).Vx=(x)=-uy=-2x+z(x)=(-2x2)dx=一x22xcV=y2-x2+2x+c(c为常数)f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2y=0时,f(2)=ci=-i.c=-1=-(z-1)i四、证实题1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性.解：令f(z)=u+ivz=x+iy贝Uiz=i(x+iy)=y+ixu=yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy

8、=0ux、uy、vx在复平面内处处连接又Ux=VyUy=-Vx.f(z)=iz在复平面解析.2、试证：假设函数f(z)在区域G内为解析函数,且满足条件f(z)=0,zG那么f(z)在G内为常数.证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在G内解析,Ux=Vy,Uy=-Vx又f(z)=0,f(z)=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U为实常数C,V也为实常数C2,f(z)=C1+iC2=Zf(z)在G内为常数.一、单项选择题1. z=(A)是根式函数W=UZ的支点.(A)0(B)1(C)二(D)i2. z=(D)是函数w=Inz的支点.(A)i(B)2i(C)-

9、1(D)03. ei=(B).(A)e-1+e(B)cos1+isin1(C)sinl(D)cosl4. sin1=(A)ei-e-1(A)2i(B)ei,e2i(C)je-e2(D)二、填空题1. cosi=2. e=e(cos1+isin1)二.1.一.二.iLn2i(一2k：；.)3.lni=24.ln(1+i)=24k为整数.三、计算题z21. 设z=x+iy,计算e.2222_解:z=(xiy)=xy2xyie=e-y2i2xy22exp(x-y)cos(2xy)isin(2xy)z2ex2-y2=eexp(z2)=ex2T212.设z=x+iy,计算Re(e)解：:z=x+iy11

10、x.y-I.2222.zxiyxyxyezxy22(COs2-2入xyxye.y、isin22)xy1x-22Re(e2)=ecos2xyy23.求方程21nz=m的解.解：:Inz=in/2由对数函数的定义有i一72e=cosisin=iZ=22所给方程的解为z=i4.求方程ez=1+/3i的解.右ez=1、-3i=2(cosisin解：:3Ln2e(cosisin)=33根据指数函数的定义有：z=n2+in/3或z=n(1+石)四、证实题1.试证：sin2z=2sinzcosz.证实：根据正弦函数及余弦正数定义有:2iz-2ize-esin2z二2iiz.iz.iz2sin2ie-izee

11、zcosz=22iz2ize-e2isin2z=2sinzcoszsinxsin2x-,sinnx=一一n1sinx22.证实:xsin2_一nsinx2证实:令A=1cosxcos2x4cosnxB=sinx+sin2x+sinnxABi=1eixei2xeinx.izn1i(n：H)x1-ex1-e2ix1-ei2x1-e22isin一xe2n1/丁x.n112sinx,2.x2isine2.一xsin一2sinxsin2/n.n、(cos-xisinx)sinsinxsin2xsinx=xsin2_一nsinx2第4章解析函数的积分理论、单项选择题2dz=1.c为起点在0,终点在1+i的

12、直线段.(A)0(B)1(C)2i(D)2(1+i)sinzdz=(A)2. zl4i1(A)0(B)10二i(C)i(D)25dz=(B)3. zz(A)i(B)10二i(C)10i(D)02sinz4.途(z.|)2=(A).4cos3(A)2(B)4二i(C)2二i(D)-2-i二、填空题1.假设f(z)与g(x)沿曲线c可积,那么f(z)g(z)dz=f(z)dzg(z)dzccc2.设L为曲线c的长度,假设f(z)沿c可积,且在c上满足f(z)-Mff(z)dzMLc.3.17zdz=7.i-4.i二20coszdz=e-e三、计算题Imzdz1 .计算积分c,其中c为自0到2+i的

13、直线段.解:c的方程为：z=z(t)=(zi)t(0MtM1)其次由x+yi=2=4)=(2+)得Imz=tdz=z(t)dt=(2i)dt1.Imzdz=0(2十i)tdt1=(2i)0tdtezsinz,-dz2 .计算积分人2z-10z+12ezsinz一2一解：“z-10z12ezsinzdzdz二2(z-2)(z-3)作区域D:z1积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内,所以被积函数在D内解析.由定理4.2得:ezsinz,-dz闰*-10z12=03.计算积分；亿2一1,一11dz,c:z=4解：c(z2-1)(z3-1)dz丁奇点z=1和z=-1不在区域D,Z1内i

14、k2二z3-1=0的三个根Zk=e31kn0,1,2也不在D内由定理4.2得c(z2-1)(z3-1)dz=0z八告dz二4.计算积分cz,c：z=5解：由定理4.6得二i=22四、证实题1dz1.计算积分lzZ+2,并由此证实05,4cosi1、一一f(z)二证实：)z+2在圆域|z|1内解析zUdz1dz=03z2另一方面,在圆|z|=1(cos9+isin9)(z9E2)1,dz1zmz2=一九cossin二2d(cos二isin二)(实部和虚部为0)黑一sin?icosl一：di二一一二cos二sin2dic0s艰2cos,的川di(2cos?)isin(2cos二)一isin司JT-

15、2sin二i(2cos?1)一二44cos二cos二sin二d.2-2sin【i(12cos)w54cos?dz鼠一2sinr-54cosi二12cosu,.-di飞4cos111dzz+z2=0-d=0/.-54cos二0s2dl*54cos二12cos而5+4cos6为偶函数二12cosu一cH0=为54cosi二12cos1一ch054cosu二12cos%二0)54cos1复变函数课程作业参考解答3第5章解析函数的哥级数表示一、单项选择题一zn一人1 .哥级数n卫的收敛半径等于(B)(A)0(B)1(C)2(D)32 .点z=-1是f(z)=5Z+10Z+5r(B)级零点.(A)1(B

16、)2(C)3(D)5QOzn3 .级数n3的收敛圆为(D).(A)|z-1|3(B)|z|1(D)|z|14 .设f(z)在点a解析,点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点,于-.、cn(z-a)n是,使f(z)=nm成立的收敛圆的半径等于(C).(A)a+b+1(B)b-a+1(C)|a-b|(D)|a+b|二、填空题2n巳巳的收敛圆R=+c.即整个复平面.1 .级数1+z+2!n!2 .假设f(z)=ksinz(k为常数),那么z=m(m=0,-1,-2)为f(z)的1级零点.oO一n!zn一一一3 .哥有数n/的收敛半径等于0.4 .z=0是f(z)=ez-1的1级零点.三、计算题1.将

17、函数f(z)=z-1I-,Iz+3_l_(z1)1-(z-0)-l】在点z=0展开哥级数.z-1z1z-1f(z)=1-z32z3nz03nz06nz0Izn一13nz06z：二12.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成哥级数.解:JJ/f(z)=(1z)=11z)I而(1-z)-1=1zn=0=C(zn)cnznn=0n=0-bo二(n1)znn=03.将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成哥级数.解：f(z)=(z+2)2z3z-1-1月3mz-134.将函数f(z)=ez在点z=1展开成哥级数.解：f(z)=ezf=*f(n)1=ezLff(z)=e=n=0(n)n!(

18、z-1)n二e：犷一1)四、证实题.证实：1-elz=-2isinze证:elz=cosz+isinz,e-iz=cos-isinz二elz-e-iz=2isinz-2isinz=-(eiz-e-iz)=eiz-e-iz-2isinzeiz=(e-iz-eiz)eiz=e-e2iz=1-e2iz2.试用解析函数的唯一性定理证实等式：cos2z=cos.函数f(z)=z2-3z+2在点z=2的去心邻域(D)内可展成罗朗级数.(A)0z3(B)0zV5(C)1z-13(D)0Z-2.设点为f(z)的孤立奇点,假设h嗯M任叫,那么点为f(z)的(C).(A)本性奇点(B)极点(C)可去奇点(D)解析

19、点z-sin2z证fi(z)=cos2z,那么fi(z)复平面G解析设f2(z)=coszsin2z,那么f2(z)也在整个复平面G解析取E=K为实数轴,那么E在G内有聚点.当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即fi(z)=f2(z),由解析函数唯一性定理,由以上三条知fi(z)=f2(z)2成立22一即cos2z=cosz-sinzzG第6章解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题必要条件是(D).(A)1%f(z)=c(丰8)(B)zimf(z)=心(C)limlim_z：f(z)=c(=二)(D)z：f(z)=二4.假设点a为函数f(z)的孤立奇点,那么点a为f(z)的本性奇点的X)(B)绥f(z)不存在(C)充要条件是(B).(A)zmf(z)=c(zmf(z)=c(.8)(D)lim八z：f(Z)=:二、填空题.1、Cn(Z-：)nCXZ-a)1 .设n为函数f(z)在点口的罗朗级数,称门口为该级数的主要局部2 .设点口为函数f(z)的奇点,假设f(z)在点的某个某个去心邻域*内解析,那么称点a为f(z)的孤立奇点.3 .假设f(z)=1+占,那么点z=0为f(z)的0级极点.不是极点,假设f(z)=1+ez