2014创新设计(苏教版)第二章-第3讲-函数的奇偶性和周期性

1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲函数的奇偶性与周期性讲函数的奇偶性与周期性抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为A，如果对于任意的，如果对于任意的xA，都有，都有_，那么称函数，那么称函数yf(x)是偶函数是偶函数如果对于任意的如果对于任意的xA都有都有_，那么称函数，那么称函数yf(x)是奇函数是奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对轴对称称1奇、偶函数的概念奇、偶函数的概念f(x)f(x)f

2、(x)f(x)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反性，则其单调性恰恰相反(2)在公共定义域内在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数(3)若若f(x)为

3、偶函数，则为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(4)若奇函数若奇函数f(x)定义域中含有定义域中含有0，则必有，则必有f(0)0.f(0)0是是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件为奇函数的既不充分也不必要条件2函数奇偶性的性质函数奇偶性的性质抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(5)复合函数的奇偶性特点是：复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”(6)既奇又偶的函数有无穷多个既奇又偶的函数有无穷多个(如如f(x)0，定义域是关于，定义域是关于原点对称的任意一个区间原点对称的任意一个区间)(1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数yf

4、(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的任何值时，都有取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数那么就称函数yf(x)为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周为这个函数的周期期(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一的所有周期中存在一个个_的正数，那么这个最小正数就叫做的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周的最小正周期期3周期性周期性f(x)最小最小抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个命题规律一个命题规律函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质函数的奇偶性

5、、周期性常和函数其他性质(如单调性如单调性)综综合，奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决，周期性合，奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题型为主，一般为容易题对与三角函数相结合，以客观题型为主，一般为容易题对综合性解答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶综合性解答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等，全面了解函数图象的变化趋势，画出函数的示意性等，全面了解函数图象的变化趋势，画出函数的示意图，从而研究函数的最值、单调区间等，是解决函数最图，从而研究函数的最值、单调区间等，是解决函数最值、不等式恒成立等问题的基本思路值、不等式恒成立等问题的基本思路

6、【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析由由f(0)0，得，得b1，所以，所以f(1)f(1)(221)3.答案答案3考点自测考点自测1(2012海安中学海安中学)设设f(x)为定义在为定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)2x2xb(b为常数为常数)，则，则f(1)的值是的值是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析因为因为f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以，所以mf(2)f(1)f(1)2.答案答案(2，)2(2013泰州学情调查泰州学情调查)已知周期函数已知周期函数f(x)

7、是定义在是定义在R上的奇上的奇函数，且函数，且f(x)的最小正周期为的最小正周期为3，f(1)2，f(2)m，则，则m的取值范围为的取值范围为_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2012盐城检测盐城检测)设设f(x)是定义在是定义在(1,1)上的偶函数，在上的偶函数，在(0,1)上递增，若上递增，若f(a2)f(4a2)0，则，则a的取值范围的取值范围为为_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，那上的偶函数，那么么ab的值是的值是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个

8、考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2012苏州调研苏州调研)已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)和偶函数和偶函数g(x)满足满足f(x)g(x)axax2(a0，且，且a1)若若g(2)a，则则f(2)_.考向一考向一函数奇偶性及其应用函数奇偶性及其应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 奇偶函数的判断，要考虑定义域所在区间关于奇偶函数的判断，要考虑定义域所在区间关于原点对称对于奇偶函数的性质，要

9、善于逆用奇偶函数性原点对称对于奇偶函数的性质，要善于逆用奇偶函数性质以及奇偶函数的四则运算性质解题质以及奇偶函数的四则运算性质解题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练1】 (1)已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)x22x，若，若f(a22)f(a)0，则实数，则实数a的取值范围的取值范围是是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析(1)f(x)是奇函数，且在是奇函数，且在0，)上单调递增，所以上单调递增，所以f(x)在在R上单调递增于是由上单调递增于是由f(a22)f(a

10、)f(a)，得，得a22a，即，即a2a20，解得，解得2a0时，时，x0，由题意得，由题意得f(x)f(x)，x2xax2bx，从而，从而a1，b1，ab0.答案答案(1)(2,1)(2)0抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】 (1)已知奇函数已知奇函数f(x)的定义域为的定义域为2,2，且在区间，且在区间2，0内递减，则满足内递减，则满足f(1m)f(1m2)0的实数的实数m的取值范围是的取值范围是_；考向二考向二函数奇偶性与单调性的交汇问题函数奇偶性与单调性的交汇问题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考又又f(x)为奇

11、函数，且在为奇函数，且在2,0上递减，上递减，在在2,2上递上递减，减，f(1m)f(又因为又因为0，所以，所以0sin 1，于是由得于是由得mm21，即即2m1. 综合，可知综合，可知1mf(1m)f(m1)，得，得msin m1.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(1)1,1)(2)(，1)方法总结方法总结 (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反在关于

12、原点对称的区间上的单调性相反抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2是函数是函数f(x)的周期；的周期；函数函数f(x)在在(1,2)上是减函数，在上是减函数，在(2,3)上是增函数；上是增函数；函数函数f(x)的最大值是的最大值是1，最小值是，最小值是0；抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)试求试求f(0)的值并证明函数的值并证明函数yf(x)为奇函数；为奇函数；(2)若若f(m3x)f(3x9x)f(0)，又又f(x)在在R上是单调函数，上是单调函数，f

13、(x)在在R上是增函数，上是增函数，f(m3x)f(3x9x)3，可化为：可化为：f(m1)3x9xf(2)，(m1)3x9x0对任意对任意xR恒成立令恒成立令t3x，则，则t0，问题等价于：问题等价于：t2(m1)t20在在(0，)上恒成立，上恒成立，抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考

14、试，在命题时，常常将它们综合在一起合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题命制试题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练3】 设设f(x)是定义在是定义在R上的上的奇函数，且对任意实数奇函数，且对任意实数x，恒，恒有有f(x2)f(x)，当，当x0,2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)当当x2,4时，求时，求f(x)的解析式；的解析式；(3)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)思维启迪思维启迪(1)只需证明只需证明f(xT)f(x)，即可说明，即可说明f(x)是周是周期函数；期函

15、数；(2)由由f(x)在在0,2上的解析式求得上的解析式求得f(x)在在2,0上的解析式，上的解析式，进而求进而求f(x)在在2,4上的解析式；上的解析式；(3)由周期性求和由周期性求和抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)证明证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2) )解解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即即f(x)x26x8，x2,4(3)解解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又又f(x

16、)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考探究提高探究提高判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便便可证明函数是周期函数，且周期为可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题抓住抓住3个考点个考

17、点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 函数奇偶性问题在高考中至多考一道填空题，且可能函数奇偶性问题在高考中至多考一道填空题，且可能与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，除要用好定义，灵活运用奇偶函数的性质也会大大方便解除要用好定义，灵活运用奇偶函数的性质也会大大方便解题思维过程题思维过程热点突破热点突破6函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题与转化审题与转化 第一步第一步：奇偶函数运算性质满足奇：奇偶函数运算性质满足奇奇奇奇，奇奇，奇偶非奇非偶，偶偶非

18、奇非偶，偶偶偶偶偶第二步第二步：若：若f(x)是奇函数或偶函数，则是奇函数或偶函数，则|f(x)|是偶函数是偶函数一一、奇偶函数运算性质及其应用奇偶函数运算性质及其应用【示例示例】 (2011广东卷改编广东卷改编)设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的上的偶函数和奇函数，则下列结论：偶函数和奇函数，则下列结论：|f(x)|g(x)是奇函数；是奇函数；|f(x)|g(x)是偶函数；是偶函数；f(x)|g(x)|是奇函数；是奇函数；f(x)|g(x)|是偶函数，其中恒成立的是是偶函数，其中恒成立的是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考规范解答规范解答 第

19、三步第三步：因为：因为g(x)是奇函数，所以是奇函数，所以|g(x)|是偶是偶函数，又函数，又f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(x)|g(x)|是偶函数，所以仅是偶函数，所以仅恒成立恒成立反思与回顾反思与回顾 第四步第四步：函数：函数|f(x)|不一定具有奇偶性，但不一定具有奇偶性，但f(|x|)一定是偶函数另外，若一定是偶函数另外，若f(x)是偶函数，则必有是偶函数，则必有f(x)f(|x|)还有，本题要求结论恒成立，是为了排除还有，本题要求结论恒成立，是为了排除f(x)0，g(x)0这一特殊情况这一特殊情况抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题与转化审题与转化 第一步第一步：y|f(x)|图象关于图象关于y轴对称，可得轴对称，可得y|f(x)|是偶函数是偶函数第二步第二步：y|f(x)|是偶函数是偶函数|f(x)|f(x)|.规范解答规范解答 第三步第三步：若：若yf(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)f(x)，从而，从而|f(x)|f(x)|f(x)|，反之不成立，故填必，反之不成立，故填必要不充分要不充分二、探求函数二、探求函数f(x)是奇偶函数的充要条件是奇偶函数的充要条件【示例示例】 (2011山东卷改编山东卷改编)对于函数对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于的图象关于y轴