微分几何第一章第一节向量函数

1、前前 言言 数学是研究现实世界的空间形式和数量数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学关系的一门科学. 几何学几何学（初等几何）（初等几何）解析几何解析几何仿射几何仿射几何射影几何射影几何微分几何微分几何计算几何计算几何代数几何代数几何欧氏几何欧氏几何 一、什么是微分几何一、什么是微分几何 微分几何是以数学分析为工具研究空间形式微分几何是以数学分析为工具研究空间形式（或几何图形）性质的一门数学分科（或几何图形）性质的一门数学分科. 研究方法：研究方法：研究对象：研究对象： 光滑曲线和光滑曲面光滑曲线和光滑曲面研究工具研究工具: : 数学分析数学分析向量分析法、向量分析法、张量分析法、张

2、量分析法、活动标架法活动标架法 整体微分几何整体微分几何局部微分几何局部微分几何二、微分几何的分类二、微分几何的分类 经经典典微微分分几几何何高维空间微分几何高维空间微分几何克莱因的爱尔兰根纲领克莱因的爱尔兰根纲领变换群变换群几何学几何学不不变变性性与与不不变变量量运动变换群运动变换群欧氏几何欧氏几何仿射变换群仿射变换群仿射几何仿射几何射影变换群射影变换群射影几何射影几何局部微分几何局部微分几何 局部欧氏微分几何局部欧氏微分几何局部仿射微分几何局部仿射微分几何局部射影微分几何局部射影微分几何 三、微分几何的发展三、微分几何的发展2 2、黎曼几何、黎曼几何3 3、现代微分几何、现代微分几何 四、

3、本课程的主要内容四、本课程的主要内容1.1.教材：教材：微分几何微分几何（第四版），梅向明、黄敬之（第四版），梅向明、黄敬之编编1 1、经典微分几何、经典微分几何局部欧氏微分几何局部欧氏微分几何 （经典微分几何）（经典微分几何）两论两论曲线论、曲面论曲线论、曲面论2 2、参考书：、参考书： (1) (1) 苏步青编，苏步青编，微分几何微分几何. .(2) (2) 吴大任编，吴大任编，微分几何讲义微分几何讲义. .老师联系电话：老师联系电话：1307533325113075333251；邮箱：邮箱：ss_；答疑时间：周四下午答疑时间：周四下午2 2：30305 5：0000；答疑地点：答疑地点：

4、7 7教教C304C304。1 向量函数1.1.向量函数的极限；向量函数的极限；2.2.向量函数的连续；向量函数的连续；3.3.向量函数的微商；向量函数的微商；4.4.向量函数的积分向量函数的积分. .定义定义（向量函数）（向量函数）是一个集合，是一个集合，设设G，如果对如果对Gx 和和它它对对应应，都都有有唯唯一一确确定定的的向向量量 r，上上给给定定了了一一个个向向量量函函数数则则称称在在G.),(Gxxrr 记作：记作：例如：例如：,baG 设设.,),(battrr 则则得得一一元元向向量量函函数数ab Ott ,是是一一个个平平面面区区域域设设GOuv),(vu.G则则得得二二元元向

5、向量量函函数数),(vurr .),(Gvu ,是是一一个个空空间间区区域域设设GOyzxG),(zyx则则得得三三元元向向量量函函数数),(zyxrr .),(Gzyx 下，下，在空间标架在空间标架,;321eeeO321)()()()(etzetyetxtrr );(),(),(tztytx 321),(),(),(),(evuzevuyevuxvurr ),(),(),(vuzvuyvux 下，下，在空间标架在空间标架,;321eeeO一个向量函数一个向量函数三个实函数三个实函数)(trr );(),(),(tzztyytxx ),(vurr ),(),(),(vuzzvuyyvuxx

6、1.1 向量函数的极限向量函数的极限定义定义atrtt )(lim0.)(,0 , 0, 00 atrtt命题命题，设设)(),(),()(tztytxtr ，,321aaaa 则则atrtt )(lim0.)(lim)(lim)(lim321000 atzatyatxtttttt极限极限极限的分量等于分量的极限的分量等于分量的即即证：证：，若若atrtt )(lim0.)(,0 , 0, 00 atrtt则则.)()()(232221 atzatyatx即即.)()(1 atratx.)()(2 atraty.)()(2 atratz.)(lim)(lim)(lim321000 atzaty

7、atxtttttt,)(lim,)(lim,)(lim321000atzatyatxtttttt 若若, 0, 01 则则,3)(,0110 atxtt时时当当,3)(,0220 atytt时时当当,3)(,0330 atztt时时当当, 0,min321 令令.)(,0 , 00 atrtt则则.)(lim0atrtt , 02 , 03 命题命题1 1,)(lim0atrtt 若若,)(lim0btstt .)(lim0 ttt.)()(lim)1(0batstrtt 则则.)()(lim)2(0atrttt .)()(lim)3(0batstrtt .)()(lim)4(0batstrt

8、t .)(lim)5(0atrtt 证：证：),(),(),()(),(),(),()(222111tztytxtstztytxtr 设设，,321aaaa ,321bbbb )()()()()()(lim)()(lim)3(21212100tztztytytxtxtstrtttt 332211bababa .ba 1.2 向量函数的连续性向量函数的连续性定义定义),()(lim00trtrtt 若若.)(0连续连续在点在点则称则称ttr上每一点都连续，上每一点都连续，在区间在区间若若,)(21tttr.,)(21上连续上连续在区间在区间则称则称tttr注注连续连续)(),(),()(tzty

9、txtr .)(),(),(均连续均连续tztytx命题命题2 2),(tr若若),(ts都连续，都连续，在点在点0)(tt ，则则)()(tstr ，)()(trt ，)()(tstr .)()(0都连续都连续在点在点ttstr 例例，且且处连续处连续在点在点若若0)(,),()(00 trbattrr. 0)(,),(),(),(00000 trtttbattt时时使得当使得当，的一个充分小邻域的一个充分小邻域则一定存在则一定存在 证：证：, 0)(),(),()(0000 tztytxtr. 0)(),(),(000不全为不全为tztytx. 0)(0 tz不妨设不妨设,)(0处连续处连

10、续在点在点ttrr ,)(0处也连续处也连续在点在点ttzz . 0)(,),(),(),(00000 tztttbattt时时使得当使得当，的一个充分小邻域的一个充分小邻域故一定存在故一定存在 . 0)( tr1.3 向量函数的微商向量函数的微商定义定义)(0tr 内每一点都有微商，内每一点都有微商，在开区间在开区间若若),()(21tttr.),()(21内可微内可微在开区间在开区间则称则称tttrttrttrt )()(lim000.0ttdtrd ),(trt 的微商记作的微商记作在任意一点在任意一点.)( 的导向量函数的导向量函数也叫做也叫做tr注注可微可微）（)(),(),()(1

11、tztytxtr .)(),(),(均可微均可微tztytx.)(),(),()(且且tztytxtr 微商微商微商的分量等于分量的微商的分量等于分量的即即事事实实上上，ttrttr )()( ttzttzttyttyttxttx)()(,)()(,)()(.2不一定可微不一定可微）可微必连续，但连续）可微必连续，但连续（如如：处连续，处连续，在在03 ,sin,)(31 tttttr.0,cos, 1)(32处不存在处不存在在在但但 ttttr为常向量，为常向量，从而若从而若C. 0 C则则命题命题3 3),(tr若若),(ts都可微，都可微，)(t ，则则)()(tstr ，)()(trt

12、 ，)()(tstr ),()(tstr ),(tu.)(),(),(都可微都可微tutstr并且并且,)()1(srsr ,)()2(rrr ,)()3(srsrsr ,)()4(srsrsr ).,(),(),(),()5(usrusrusrusr 证：证：，设设)(),(),()(),(),(),()(321321tststststrtrtrtr 212113133232,)(ssrrssrrssrrsr则则 212121211313131332323232,ssrrssrrssrrssrrssrrssrr 212113133232212113133232,ssrrssrrssrrssr

13、rssrrssrr.srsr 定义定义的二阶微商；的二阶微商；称为称为)()(trtr )(类函数类函数kC的三阶微商；的三阶微商；称为称为)()(trtr .)( 的高阶微商的高阶微商叫叫二阶及二阶以上的微商二阶及二阶以上的微商tr.,21类函数类函数阶连续微商的函数称为阶连续微商的函数称为上有直至上有直至在区间在区间kCktt.0类函数类函数连续函数称为连续函数称为C.类函数类函数无限可微的函数称为无限可微的函数称为 C.类函数类函数解析函数称为解析函数称为 C命题命题4 4,)(),(),()(21ttCtztytxtrk .,)(),(),(21ttCtztytxk 证：证：,)()(

14、)()(321etzetyetxtr ,)()(1etrtx ,)(21ttCtrk 为常向量，为常向量，1e;,)(21ttCtxk .,)(),(21ttCtztyk 同理同理对于二元向量函数，对于二元向量函数，.分等概念分等概念也可定义偏微商、全微也可定义偏微商、全微定义定义),(vurr 对于二元向量函数对于二元向量函数uvurvuurruu ),(),(lim0.ur vvurvvurrvv ),(),(lim0.vr 注注,),(),(),(),(若若vuzvuyvuxvur ,则则uuuuzyxr .,vvvvzyxr 定义定义上的二元函数，上的二元函数，是定义在平面区域是定义在

15、平面区域设设Dvuzvuyvuxvur),(),(),(),( 上可微，上可微，在在若若Dvuzvuyvux),(),(),(上可微，上可微，在在则称则称Dvur),(.),(的全微分的全微分为为且称且称vurrdvrdurrdvu 1.4 向量函数的泰勒公式向量函数的泰勒公式定理定理,)(001tttCtrn 设设公式：公式：则有以下则有以下Taylor),()()!1()()(!)()(! 2)()()()(00)1(10)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn . 0),(,00 ttt 时时其中其中特别地，特别地，,)(时时当当 Ctr )(!)()(! 2)

16、()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnn.上述级数是收敛的上述级数是收敛的,)(时时当当 Ctr 1.5 向量函数的积分向量函数的积分定义定义)(不定积分不定积分,),()(battrtR 若若.)()(的一个原函数的一个原函数为为则称则称trtRR .)()(的不定积分的不定积分做做的所有原函数的集合叫的所有原函数的集合叫trtr.)( dttr记作记作易易知知，trtR的一个原函数的一个原函数为为若若)()(.)()(CtRdttr 则则命题命题),(),(),()(tztytxtr 若若),(ts都连续，都连续，)(tf ;)(,)(,)()(1 dttzdtt

17、ydttxdttr）（ dttrdttr)()(2 ）（；为常数为常数)( ;)()()()(3 dttsdttrdttstr）（ dttrmdttrm)()(4）（；为常向量为常向量)(m.)()()()(5 dttsdttrdttstr）（定义定义)(定积分定积分 badttr)( niiiTltr10)()(lim 注注可积可积)(),(),()()1(tztytxtr .)(),(),(可积可积tztytx可积，可积，若若)(),(),()()2(tztytxtr .)(,)(,)()(则则 babababadttzdttydttxdttr积分积分积分的分量等于分量的积分的分量等于分量

18、的即即命题命题5 5上可积，上可积，在在上连续，则上连续，则在在若若,)(,)(batrbatrr bccabadttrdttrdttr)()()(1）（；为常数为常数)(m；为常向量为常向量)(m而且而且 babadttrmdttrm)()(2）（ babadttrmdttrm)()(3）（ babadttrmdttrm)()(；为常向量为常向量)(m).()(4xrdttrdxdxa ）（注注.分析中来分析中来所有结果都平移到向量所有结果都平移到向量并不能把数学分析中的并不能把数学分析中的.),()()()(:一般不成立一般不成立微分中值定理微分中值定理例如例如baabrarbr ),(,0 ,sin,cos)(: ttttr设向量函数设向量函数如如，取取)