振动理论 第五讲 有阻尼自由振动

1、2012年年3月月15日日能量法能量法无阻尼无阻尼EUT常量常量式中式中T是动能是动能无能量耗散无能量耗散机械能守恒机械能守恒221xmT0)(UTdtd2021)(kxdkmgUxst势能势能=重力势能重力势能+弹簧势能弹簧势能势能势能 的变化的变化=力所作功的负值力所作功的负值0)2121(22kxxmdtd0)(xkxxm 0kxxm 0 x 静平衡条件静平衡条件当系统在平衡位置时，速度为最大，势能为零，动能当系统在平衡位置时，速度为最大，势能为零，动能具有最大值具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值

2、势能具有最大值Umax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 ,因而因而maxmaxUT可以作为基于能量法的固有频率计算公式可以作为基于能量法的固有频率计算公式 例、计及弹簧质量，试确定系统的固有频率例、计及弹簧质量，试确定系统的固有频率xldkmOxx 当系统具有位移当系统具有位移x 和速度和速度 时，时， 距离距离上端上端 处的位移为处的位移为 速度为速度为 。xlxl系统动能有两部分：系统动能有两部分：质量块质量块m的动能的动能2121xmT弹簧质量所具有的动能弹簧质量所具有的动能 2122022132132121xmxgrldxlgrTl系统的总动能为系统的总动能为系统的势能为系统

3、的势能为 2122121321321)3(21xmxgrlxmmTTT221kxU mkmmm133阻尼：阻尼：粘性阻尼粘性阻尼、库伦阻尼、库伦阻尼、干摩擦阻尼和结构阻尼等干摩擦阻尼和结构阻尼等第四节第四节 有阻尼自由振动有阻尼自由振动圆管层流时的运动微分方程（牛顿力学分析法）圆管层流时的运动微分方程（牛顿力学分析法）圆管层流圆管层流rdxdprdxdpprpr202)(22drduLpdxdprLpdrdu2 取长为dx 半径为r 的圆柱体，不计重力和惯性力，仅考虑压力和剪应力，则有根据牛顿粘性定律再考虑到则有速度分布规律与流量速度分布规律与流量crLpu2424RLpc)(422rRLpu

4、对上式作不定积分， 边界条件： r = R，u = 0；则可得定积分常数则圆管层流的速度和剪应力分布最大流速与平均流速最大流速与平均流速 )(422rRLpu由知，r=0时有最大流速 u max，且20max4)(RLpruur平均流速LpDU322UDLp232圆管内层流的摩擦系数圆管内层流的摩擦系数UDRfe6464一、粘性阻尼一、粘性阻尼vtdUtD2241)41(2vDdU2)(21UDLp232vDdLvDdDLp422216)(2132由于压差作用于活塞而造成的阻力为由于压差作用于活塞而造成的阻力为vvDdLpdFd4424444DdLc第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统第四

5、节第四节 有阻尼自由振动有阻尼自由振动二、粘性阻尼自由振动二、粘性阻尼自由振动 振动微分方程振动微分方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其中，其中， tx1为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 瞬态响应瞬态响应 tx2为方程的特解为方程的特解 稳态响应稳态响应或或零零初始条件初始条件的的解解 振动微分方程振动微分方程设设 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 mkmcmcs222, 142有有临界阻尼系数临界阻尼系数 kmc20阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc20定义定义12nn2, 1s讨论讨论 (1)0方程的解方

6、程的解 12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应）（tAtxncos)(2n020)/(xxA0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx讨论讨论 (2)12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应方程的解方程的解 10)(cose)(dntAtxt2d0n020 xxxA0tanarc0tanarc00d0n000d0n0 xxxxxxxx讨论讨论 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应1tstAAtx2e )(21)(e)(000tsxxxtxts00 xx）（00

7、 xx）（讨论讨论 (4)12nn2, 1s特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021tstsAAtx21ee)(2100 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 振动特性振动特性 无阻尼无阻尼 0 0： 简谐运动简谐运动弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰减运动衰减运动首先从形状可首先从形状可以判断其为弱以判断其为弱阻尼振动，因阻尼振动，因而有而有例、例、1 1 有一阻尼系统，质量为有一阻尼系统，质量为 m, m, 弹簧常数为弹簧常数为 k k，测得，测得其振动数据，试确定其阻尼大小。其振动数据，试确定其阻尼大小。)(cos

8、ednntntAxn)(cose1d11nntntAxndnntt1)(cosed)(1nntntAxdn小阻尼小阻尼对数衰减率对数衰减率 22112122)(exp)exp(lnlnnndndndnnnnnnttxx2224系统的无阻尼固有频率为系统的无阻尼固有频率为例、例、2 2 有一阻尼系统，质量有一阻尼系统，质量8 8千克千克, , 弹簧常数弹簧常数5N/mm5N/mm，c=0.2N.s/mmc=0.2N.s/mm。确定振动位移表达式。确定振动位移表达式。rad/s25810005mkn系统的临界阻尼系数为系统的临界阻尼系数为msNmcnc/.40025822系统的阻尼比为系统的阻尼比

9、为5 . 04 . 02 . 0ccc系统为弱阻尼系统，有阻尼固有频率为系统为弱阻尼系统，有阻尼固有频率为rad/s65.21255 . 012d系统自由振动的位移表达式为系统自由振动的位移表达式为5 .12255 . 0n)65.21sin()5 .12exp()(ttAtx由边界条件确定其他未知量由边界条件确定其他未知量例、例、3 3 确定使水准仪不发生振动的阻尼系数（确定使水准仪不发生振动的阻尼系数（4242页例页例3 3）mycgAxxm Llxy力矩平衡：力矩平衡：0LgAxLxmlyc 02LgAxLxmxLcl 0222gAxLxclLxm 临界阻尼：临界阻尼：)(4)(2222

10、gALmLlccgAmlLcc42gAmlLccc42三、结构阻尼三、结构阻尼由于材料受力变形而产生的内摩擦由于材料受力变形而产生的内摩擦力和变形之间产生了相位之后力和变形之间产生了相位之后迟滞曲线所包含的面积就是每一加载迟滞曲线所包含的面积就是每一加载循环中的能量耗散循环中的能量耗散FdxE实验表明：其与材料刚度成正比，与振幅实验表明：其与材料刚度成正比，与振幅平方成正比平方成正比2kAE等效阻尼系数等效阻尼系数)cos(tcAxcFd22AcdtxcdxxcE对于简谐振动，粘性阻尼力为对于简谐振动，粘性阻尼力为每一循环耗散的能量为每一循环耗散的能量为22AckAEkc ？四、受干摩擦阻力作用的振动四、受干摩擦阻力作用的振动)(sign xNFd0)(signkxxNxm N 为物块与界面间的压力为物块与界面间的压力0,0,xNkxxmxNkxxm 0,)sin(0,)sin(xkNtAxxkNtAx初始条件初始条件0)0(,)0(0 xxx0)cos()sin(0AxkNA初始时向左运动，速度方向为负初始时向左运动，速度方