结构位移计算李廉锟结构力学学习教案

1、会计学1结构结构(jigu)位移计算李廉锟位移计算李廉锟 结构结构(jigu)力学力学第一页，共105页。1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它因素(yn s)作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。 思考：变形(bin xng)与位移的差别？6-1 第1页/共105页第二页，共105页。AAAAAxAyPAxAy2. 位移(wiy)的分类6-1 概述(i sh)第2页/共105页第三页，共105页。ABDCCDVCDDVCV 截面(jimin)C、D 的相对竖向线位移为 :VVVDCCDDC CD 截面(jimin)C、D 的相对角位移为:

2、 AB CDDCC D6-1 概述(i sh)第3页/共105页第四页，共105页。AAAPAxAyt 3.位移(wiy)产生的原因6-1 第4页/共105页第五页，共105页。铁路工程(gngchng)技术规范规定: 二、计算(j sun)位移的目的(1) 刚度(n d)要求在工程上，吊车梁允许的挠度1/600 跨度；桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700 和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000 高度。 最大层间位移1/800 层高。6-1 第5页/共105页第六页，共105页。(2) 超静定结构、动力和稳定(wndng)计算的基础(3）施工(sh gng)要求 超静

3、定(jn dn)结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。 在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。6-1 第6页/共105页第七页，共105页。（3）理想(lxing)联结 (Ideal Constraint)。(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),6-1 第7页/共105页第八页，共105页。本章只讨论(toln)应用虚功原理求解结构位移。2. 功能(gngnng)法虚功原理应变(yngbin)能(卡氏定理) 研究变形和位移

4、的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。1.几何法 6-1 第8页/共105页第九页，共105页。 一、基本概念0dFWl AOFFFBd F实功： 力在其本身引起(ynq)的位移上所作的功。位移(wiy)是由外力F引起的，F 做的功可表示为: 1.外力(wil)的实功6-2 变形体系的虚功原理第9页/共105页第十页，共105页。 实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实功是外力的非线形函数(hnsh)，计算外力实功不能应用叠加原理。kFFkkW22121220d所以(suy) 设线弹性(tnxng)材料的弹性(tnxng)系数为k，则kF

5、 l AOFFFBd F6-2 变形体系的虚功原理第10页/共105页第十一页，共105页。2.外力(wil)的虚功 虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立(dl)无关的。tFW 虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。 虚功中的力与位移两者相互(xingh)独立，计算外力虚功可应用叠加原理。 lFOtFABFtt6-2 变形体系的虚功原理第11页/共105页第十二页，共105页。力F1在力F2引起的位移(wiy)12上作的功为虚功为121FW 例 F1力在其引起(ynq)的位移11 上作的功为实功为 11121FW F1121211FF121121221212

6、6-2 变形(bin xng)体系的虚功原理第12页/共105页第十三页，共105页。 结构产生的各种( zhn)位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。 3.广义(gungy)位移和广义(gungy)力广义(gungy)位移 与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。 广义力6-2 变形体系的虚功原理第13页/共105页第十四页，共105页。4.内力(nil)功 定义：从杆上

7、截取一微段,作用在该微段上的内力(nil)在该微段的变形上做的功定义为该内力(nil)做的功。该微段上相应(xingyng)的变形为轴向变形 sdd剪力变形 sdd弯曲变形 skdd1FNFNsdsd +dddsSFSddsMM6-2 变形体系的虚功原理第14页/共105页第十五页，共105页。 如果变形就是(jish)由此内力引起的，则此微段上内力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和：d21d21d21dSNMnFFw因为(yn wi)sskssd1ddddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律(h k dn l)有： EIMGAFEAF1,SN故 sEIMsGAFs

8、EAFwd21d21d21d22S2N实功数值上就等于微段的应变能。 所以内力实功6-2 变形体系的虚功原理第15页/共105页第十六页，共105页。 若变形与内力彼此无关(wgun)，则此微段上的内力功是虚功，其为ddddSNiMFFw对于整根杆的内力虚功(x n)，则可对整根杆积分求得： dddSNiMFFWsss原因而定。 , 和 的具体表达式要视引起这个变形的具体ddd内力(nil)虚功6-2 变形体系的虚功原理第16页/共105页第十七页，共105页。回顾(hug)（1）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要(byo)和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1

9、m2mfi ri=0 对于任何可能的虚位移，作用(zuyng)于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即6-2 变形体系的虚功原理第17页/共105页第十八页，共105页。（2）刚体系(tx)的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要(byo)和充分条件是： 对于(duy)任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPAxFBFAyFPB-FP P +FB B=06-2 变形体系的虚功原理第18页/共105页第十九页，共105页。二、虚功原理 1. 变形体的虚功原理 设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条

10、件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和We，等于变形体的内力(nil)在变形上做的虚功的总和Wi，即， ieWW 这就是虚功方程(fngchng)。 （证明略）需注意： 外力(wil)系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；6-2 变形体系的虚功原理第19页/共105页第二十页，共105页。 位移(wiy)必须满足虚位移(wiy)的条件满足约束条件的非常微小的连续位移(wiy)； 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功(zugng)之和(外力虚功)等于力状态的内力在位移状

11、态的变形上做功(zugng)之和(内力虚功)。 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以(ky)虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以(ky)求解不同的问题。 6-2 变形体系的虚功原理第20页/共105页第二十一页，共105页。位移(wiy)状态FPFP /2FP /2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）（虚）位移状态q（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件,力状态应满足平衡条件。 （1）属同一体系；6-2 变形体系的虚功原理第21页/共105页第二十二页，共105页。2.杆系结构(jigu)虚功方程 希望能很好理解(

12、lji)，尽可能达到掌握！dddSNiMFFWssseiWW6-2 变形体系的虚功原理第22页/共105页第二十三页，共105页。虚位移原理(yunl) 令实际的力状态在虚设(xsh)的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。 虚力原理(yunl) 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称为余虚功原理)。 一个力系平衡的充分必要条件是：对任意协调位移，虚功方程成立。 一个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立。3. 虚功原理的

13、两种应用6-2 变形体系的虚功原理第23页/共105页第二十四页，共105页。 注意(zh y): 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：应用(yngyng)虚位移原理求支座C的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即 FFC45故 撤除与FC相应的约束(yush),将FC变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚位移。列出虚功方程： 6-2 变形体系的虚功原理第24页/共105页第二十五页，共105页。 注意(zh y)：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，可用

14、于求解几何问题。 例：当A支座向上(xingshng)移动一个已知位移c1，求点B产生的竖向位移。ACBc1Aba在拟求线位移(wiy)的方向加单位力 由平衡条件 abFyAACBFyA1 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程011 yAFc)()(111 cababcFcyA求得与单位力方向相同。6-2 变形体系的虚功原理第25页/共105页第二十六页，共105页。单位荷载(hzi)法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。图示结构(jigu)，要求 KK=?实

15、际状态(zhungti) 位移状态(zhungti)虚拟状态 力状态6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法第26页/共105页第二十七页，共105页。112233KKWFRCR CR C 外NsWF duMdF rds内KNsF duMdF rdsRC 用虚功(x n)原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功(x n)正好等于所求位移，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位荷载法。外力(wil)虚功: 内力(nil)虚功:由虚功方程：此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明 在 上做正功，这表明的实际方向与方向相同。若结果为负，说明 在

16、 上做负功，这表明的实际方向与方向相反。 K1KF 1KF K6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法第27页/共105页第二十八页，共105页。几点说明(shumng)：(1) 所建立(jinl)的虚功方程 ，实质上是几何方程。(2) 虚设的力状态与实际(shj)位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点: 是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法的虚功方程 平衡方程单位荷载法的虚功方程 几何方程总的来讲：6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法第28页/共105页第二十九页，共105页。2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合(zh)结构； 静

17、定和超静定结构；1. 位移原因：荷载、温度改变(gibin)、支座移动等；3. 材料(cilio)性质：线性、非线性；4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。一般公式的普遍性表现在：6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法第29页/共105页第三十页，共105页。BA?AB(b)试确定指定广义(gungy)位移对应的单位广义(gungy)力A?A(a)F=1F=1F=16-3 位移计算的一般(ybn)公式 单位荷载法第30页/共105页第三十一页，共105页。F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=16-3 位移(wiy)计

18、算的一般公式 单位荷载法第31页/共105页第三十二页，共105页。ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd 外6-3 位移计算(j sun)的一般公式 单位荷载法第32页/共105页第三十三页，共105页。AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 位移计算(j sun)的一般公式 单位荷载法第33页/共105页第三十四页，共105页。由虚功原理有：W= WiNdddissssWFuMFs cFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力(wil)虚功 变形(bin xng)虚功 荷载作用引起的位

19、移(wiy)计算KP 等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状态的变形上做的内力虚功之和。6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算第34页/共105页第三十五页，共105页。对于直杆，则可用dx代替(dit)ds。计算位移的公式为NPSPPNSKP000dddlllFFMFxFxMxEAGAEI 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。MFF、SN 实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的弹性模量和剪力弹性模量. A、I 杆件的横截面面积和横截面惯性矩. 剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面=1.2。

20、6-4 静定结构在荷载作用下的位移(wiy)计算第35页/共105页第三十六页，共105页。（1）梁、刚架：只考虑(kol)弯矩Mp引起的位移。 （2）桁架(hngji)：只有轴力。 桁架(hngji)各杆均为等截面直杆则xEIMMdPxEAFFdNPNEAlFFNPN6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算第36页/共105页第三十七页，共105页。 拱坝一类的厚度较大(jio d)的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。 (4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响(yngxing)相当，剪力的影响(yngxing)不计，位移计算公式为 sEI

21、MMsEAFFssddPNPN6-4 静定结构在荷载作用下的位移(wiy)计算（3）组合结构EAlFFsEIMMNPNPd1第37页/共105页第三十八页，共105页。 例6-1 图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面(jimin)惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。qaaACBxEI=常数 解: (1) 作出荷载(hzi)作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁(hn lin)BC 2P21)(qxxM)0(ax 竖柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算第38页/共105页第三十九页，共105页

22、。(2)求B 点的竖向位移(wiy)BVACaBMa1 写出各杆单位(dnwi)力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图横梁(hn lin)BC 竖柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算第39页/共105页第四十页，共105页。(3) 求B点的水平(shupng)位移BU 在B点加单位水平(shupng)力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程 BCM=a xxAaa-x1横梁(hn lin)BC 0)(xM竖柱CA xxM)(aBxE

23、IMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反。 )0(ax )0(ax 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算（4）求B点的线位移B 2U2VBBBEIqa4829第40页/共105页第四十一页，共105页。 例6-2 一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁矩形截面(jimin)的弯曲刚度为EI ，半径为r ，圆弧AB 的圆心角0 及荷载 q 均为已知，试求截面(jimin)B 的竖向及水平向位移BV和BU。 qOr0BACdyx 解: 当曲梁的半径(bnjng)较大截面比较薄时，可忽略轴力和剪力的影响。 (1) 列出曲梁在荷载(h

24、zi)作用下的弯矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉为正弯矩。 取B点为座标原点，任意截面C 的横座标为x，该截面的弯矩：2P21qxM6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算第41页/共105页第四十二页，共105页。 (2) 求BV ，在B点加一竖向单位力，单位竖向力引起(ynq)的弯方程为 xM1dsin2d)sin()sin21(100034022EIqrrrqrEI采用(ciyng)极坐标表示dd,cos,sinrsrryrx22Psin21qrMsinrM由于 000030203cos31cosdsin)cos1(dsin所以 )cos31cos32(20304EIqrBC dxMMEIBP

25、V1030cos31cos32Ox1BA0rddCs6-4 静定(jn dn)结构在荷载作用下的位移计算第42页/共105页第四十三页，共105页。 (3) 求BU，在B点作用(zuyng)一单位向水平力，列出此水平向单位力引起的弯矩方程)cos1 (. 1ryMsMMEIBd1PUdcossin2110022rrrqrEId)cos1(sin20024EIqr030004sin3121sincos212EIqrOy1BA0rddCs6-4 静定结构在荷载(hzi)作用下的位移计算第43页/共105页第四十四页，共105页。 例6-3 平面桁架(hngji)如图，已知各杆截面积均为A=0.41

26、0-2m2弹性横量E=200GPa，试求B点和D点的竖向位移。4m4m3m3m24kNABC解: (1) 求出实际(shj)荷载状态下各杆的内力。 (2) 求BV4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 静定结构在荷载作用(zuyng)下的位移计算第44页/共105页第四十五页，共105页。 在B点加一向下的单位(dnwi)力,求此单位(dnwi)力引起的各杆轴力FN 。EAlFFPBNNV4)32()333. 1( 2540667. 1299104 . 01020016)224)(1(71080/144)341.25(666.8m1014.

27、4-4BCFN001-1.333-1.333-11.6671.6674m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCF00NP6-4 静定结构在荷载作用下的位移(wiy)计算第45页/共105页第四十六页，共105页。(3) 求DV 在D点加一向下(xin xi)单位力，求出此虚设状态ABCFN10.8330001-0.5-0.833EAlFFBNPNV29104 . 01020016)24()5 . 0(540833. 071080/ )726 .166(m1098. 24 各杆的轴力FN 。4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNA

28、BCFNP006-4 静定结构在荷载作用下的位移(wiy)计算第46页/共105页第四十七页，共105页。 在杆件数量多的情况下,不方便. 下面(xi mian)介绍计算位移的图乘法。 EIsMMPiPd6-5 图乘法(chngf) (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 静定结构的内力(nil)计算；2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；3. 刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式, 即:已有基础：第47页/共105页第四十八页，共105页。sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyE

29、IxEI 1tan(对于(duy)等截面杆)(对于(duy)直杆) xMMEIPd1)tan( xM 图乘法(chngf)求位移公式为:EIycip图乘法的适用条件是什么?图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。6-5 图乘法 第48页/共105页第四十九页，共105页。例.试求图示梁B端转角(zhunjio)。解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?6-5 图乘法(chngf) 第49页/共105页第五十页，共105页。6-5 图乘

30、法(chngf) 几种常见图形的面积(min j)和形心位置的确定方法第50页/共105页第五十一页，共105页。图乘法(chngf)小结：1. 图乘法(chngf)的应用条件（1）等截面(jimin)直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。cy2.若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。6-5 图乘法 第51页/共105页第五十二页，共105页。(1) 曲-折组合(zh)jjKiyyyyxMM 332211d图形(txng)分解6-5 图乘法(chngf) 第52页/共105页第五十三页，共105页。(2)

31、 梯-梯同侧组合(zh)122211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 图乘法(chngf) 第53页/共105页第五十四页，共105页。(3) 梯-梯异侧组合(zh)1 1y2 2yABCDabcdKM图M图b c取负值(f zh)2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 图乘法(chngf) 第54页/共105页第五十五页，共105页。复杂(fz)图形的处理：+=+=6-5 图乘法(chngf) 第55页/共105页第五十六页，共105页。B求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq

32、42ql8/2qlq8/2ql6-5 图乘法(chngf) 第56页/共105页第五十七页，共105页。(4) 阶梯形截面(jimin)杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d6-5 图乘法(chngf) 第57页/共105页第五十八页，共105页。例 1. 已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移 。CD 应用(yngyng)举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图6-5 图乘法(chngf) 第58页/共105页第五十九页，共105页。 例 2.

33、图示梁EI 为常数(chngsh)，求C点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc6-5 图乘法(chngf) 第59页/共105页第六十页，共105页。32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 图乘法(chngf) 第60页/共

34、105页第六十一页，共105页。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 图乘法(chngf) 第61页/共105页第六十二页，共105页。例3. 试求图示结构(jigu)B点竖向位移。解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll6-5 图乘法(chngf) 第62页/共105页第六十三页，共105页。例4.已知 EI为

35、常数，求铰C 两侧截面相对转角 。C解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql6-5 图乘法(chngf) 第63页/共105页第六十四页，共105页。 例5.已知 EI 为常数(chngsh)，求A点竖向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l6-5 图乘法(chn

36、gf) 第64页/共105页第六十五页，共105页。6. 求B点水平(shupng)位移。解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意:各杆刚度可能(knng)不同iMl6-5 图乘法 第65页/共105页第六十六页，共105页。 7.已知EI为常数，求B截面(jimin)转角。MP解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB6-5 图乘法(chngf) 第66页/共10

37、5页第六十七页，共105页。)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图8. 求B点水平(shupng)位移,EI=常数。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl6-5 图乘法(chngf) 第67页/共105页第六十八页，共105页。解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB9. 求C、D 两点相对水平(shupng)位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iM

38、ll6-5 图乘法(chngf) 第68页/共105页第六十九页，共105页。解：作荷载(hzi)弯矩图和单位荷载(hzi)弯矩图)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB10.求A点竖向位移(wiy), EI=常数 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k6-5 图乘法(chngf) 第69页/共105页第七十页，共105页。AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY11.图示结构(jigu) EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)

39、相对转角 。iMMP11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB对称(duchn)弯矩图反对(fndu)称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.1111iM6-5 图乘法 第70页/共105页第七十一页，共105页。PPPl1111绘制变形(bin xng)图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：6-5 图乘法(chngf) 第71页/共105页第七十二页，共105页。由温度变化引起(ynq)的位移计算 (1)每根杆受的温度是均匀作用(zuyng)的，即每杆上各截面的温度是相同的。 (2)杆件的两侧的温度可以是不同(b tn)的，但从高温一侧到

40、低温一侧温度是按直线变化的。 (3)由于假定温度沿杆长均匀分布,不可能出现剪切变形, 只有轴向变形dut 和截面转角d。假定： 6-6 静定结构温度变化时的位移计算第72页/共105页第七十三页，共105页。温度引起的纤维轴向变形为：t 其中材料(cilio)的线膨胀系数，即温度升高1时杆的应变。 设微段 ds 的 温度(wnd)变化为：ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 静定结构温度变化时的位移(wiy)计算第73页/共105页第七十四页，共105页。梁段上侧、下侧和中心轴处纤维(xinwi)伸长分别为studd11tstudd22tstudd00t由于截面内的温度(

41、wnd)呈直线变化，有 11012htthtt得： hhthtt21120shthststdddd12其中t= t2 t1 ，为杆两侧的温度(wnd)变化之差。 ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 静定结构温度变化时的位移计算第74页/共105页第七十五页，共105页。 令虚设(xsh)的力状态在结构的实际位移状态下做功。在拟求位移的截面虚设(xsh)一单位力，则外力在位移上做的功应等于内力在温度引起的变形上做的功之和，即 dd1NFM sFtsMhtddN0式中 对结构(jigu)中各杆求和。 MdAsM单位(dnwi)力弯矩图中该杆弯矩图的面积。 NNdAsF单位力

42、轴力图中该杆轴力图的面积。 所以 N0MAtAht6-6 静定结构温度变化时的位移计算第75页/共105页第七十六页，共105页。 正负(zhn f)符号取决于虚功是正功还是负功。若杆的轴心处的温度t0 是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正号，反之取负号。 若温度(wnd)变化t使杆弯曲而某侧受拉，而单位力弯矩图中该杆的弯矩也使该侧受拉，则虚内力做正功取正号，反之为负号。6-6 静定结构温度变化(binhu)时的位移计算第76页/共105页第七十七页，共105页。 例6-5 图示刚架，各杆均为矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2处。l=4m设

43、刚架内部(nib)温度上升10外部下降20。线膨胀系数=110-5，试求D点的竖向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解 (1) 在D点作用一向上的单位力F=1，作弯矩图 和轴力图 MNF14m4mM 图111FN图2214124442144NMAA6-6 静定结构温度(wnd)变化时的位移计算第77页/共105页第七十八页，共105页。(2)计算(j sun) D点的竖向位移。CCCCC052)20(104 . 02 . 0)20(301000000.t两侧(lin c)的温度差为 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(

44、m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有杆轴线(zhu xin)处的温升值为6-6 静定结构温度变化时的位移计算第78页/共105页第七十九页，共105页。 例6-6 图示桁架，受日照均匀(jnyn)温升30。求C点竖向位移。 A2mCB30 解：在C点作单位力并求出各杆轴力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各杆 t0= 30,t = 0故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040056-6 静定结构温度变化时的位移(wiy)计算第79页/共105页第八十页，共105页。制造误差(wch)引起的位移计算：)(

45、.)(mmA272348118每个上弦(shngxin)杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/6-6 静定(jn dn)结构温度变化时的位移计算第80页/共105页第八十一页，共105页。由支座移动引起(ynq)的位移计算 求由支座移动引起的结点某点的位移只是一个单纯的几何问题。可以用力学方法(fngf)刚体的虚力原理来求解。 01 cRcR 式中 是由单位力F所引起的支座反力；c 是与反力 相应(xingyng)的已知的支座位移。当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 在要求位移的点上沿位移的方向加一单位力F，求出在此单位力作用

46、下的支座反力R 。所有外力虚功之和应为零有：R6-7 静定结构支座移动时的位移计算R第81页/共105页第八十二页，共105页。由平面杆件结构位移(wiy)计算的一般公式： cFRKcdsFdMduFcFSNRK对于静定结构，支座(zh zu)移动不引起内力，材料不变形，因此du、d和ds为零，上式简化为: 负号系原来移项(y xin)所得，不可漏掉！6-7 静定结构支座移动时的位移计算第82页/共105页第八十三页，共105页。 例6-7 三铰刚架如图所示，若支座A下沉(xi chn)C，求BD柱的转角。 BCDaAcaaBD解：(1) 在BD柱上作用(zuyng)单位力矩M =1，求支座反

47、力。 ADEBM=1a1a1a1a1(2) 代入公式(gngsh)计算得： acaccRBD)1( 结果得正值表示柱的转角方向与所假定的单位力矩的方向相同。 6-7 静定结构支座移动时的位移计算第83页/共105页第八十四页，共105页。 例6-8 图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。试求由此引起(ynq)的A端转角A)211(xyRABhBlcF（顺时针方向）radhBlBxy0075. 08204. 01206. 026-7 静定(jn dn)结构支座移动时的位移计算Bx=4cmBx=4cm第84页/共105页第八

48、十五页，共105页。 1. 功的互等定理(dngl) F1作用下产生的内力和变形(bin xng)称为第一状态，F2作用下产生的内力和变形(bin xng)称为第二状态。 先加F1然后加F2的情况(qngkung)，整个加载过中系统做的总功为 121212122211112121FFFW表示由编号为j 的力引起i点的位移。 ij先加F2后加F1，整个过程中系统做的总功为 12122211122121FFFW6-8 线弹性结构的互等定理 第85页/共105页第八十六页，共105页。1212221112121222111121212121FFFWFFFW因为线弹性(tnxng)体系做功与加荷的次序

49、无关，有 故得 212121FF 虚功互等定理(dngl)：状态的力在状态的位移上做功等于状态的力在状态的位移上做功。2112WW6-8 线弹性结构(jigu)的互等定理 第86页/共105页第八十七页，共105页。由功的互等定理(dngl) 可推出位移互等定理(dngl)2. 位移(wiy)互等定理 令功的互等定理(dngl)中的力F1=F2=1 ,则有 2112112112 位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应的位移21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1相应的位移12。这里用小写的字母表示单位力引起的位移。 在一般情况下位移互等定理可写成： jiij 212121F

50、F6-8 线弹性结构的互等定理 第87页/共105页第八十八页，共105页。注意：位移(wiy)互等定理适用于广义力及其对应的广义位移(wiy)。 上图表示了两个状态(zhungti)的线位移12 与21互等。 上图表示(biosh)了线位移12数值上等于角位移21。F =212状态 121F =1121121状态1 22F=1221=21状态 11112 12状态 22= M=2216-8 线弹性结构的互等定理 第88页/共105页第八十九页，共105页。 3. 反力互等定理(dngl) 第状态，支座1产生单位位移(wiy) 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第状态，支座2产生(

51、chnshng)单位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22 k12n1k2221k111n1k2126-8 线弹性结构的互等定理 第89页/共105页第九十页，共105页。 由功的互等定理，第状态的力在第状态的位移上做虚功 ，等于第状态的力在第状态的位移上做虚功 。故有21W12W011022122111kkkk即 1221kk一般(ybn)情况下可写成 jiijkkk111n1k212k1212n1k226-8 线弹性(tnxng)结构的互等定理 第90页/共105页第九十一页，共105页。 支座i由于支座j发生单位位移所引起(ynq)的支座反力kij，等于支座j由于支座i发生单位位移

52、而引起(ynq)的支座反力kji。注意(zh y)：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。 例： k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是(zhsh)数值上互等。 121k1221k11 k216-8 线弹性结构的互等定理 第91页/共105页第九十二页，共105页。4. 反力位移(wiy)互等定理 2112 r6-8 线弹性(tnxng)结构的互等定理 第92页/共105页第九十三页，共105页。 小 结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移。在应用虚功原理时要涉及两个量

53、：力系和位移。这两者是彼此无关(wgun)的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移两者彼此无关(wgun)，因此可以虚设一组力系(虚力原理)，让它在实际的结构位移上做功, 列出虚功方程，从中求出未知位移。 cRsMFFd)(SN 这就是(jish)虚力原理表达的虚功方程。也就是(jish)位移计算的一般公式最基本的形式。小结(xioji)第93页/共105页第九十四页，共105页。 位移和变形(bin xng)( )是结构在给定条件下所具有的. 是实际的位移状态。力系( )则是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。 c;,;RMFFF;,;1SN 变形(, )是泛指的，若是荷载引起的则代入公式 即导出公式）。若是温度(wnd)引起的，则代入公式、 和即导出温度(wnd)变化引起的位移计算公式。 若计算支座移动引起的位移，则因静定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚体位移, 这时=0 。公式等号右边前一项为零，只剩后一项. 这就是公式(。小结(xioji)第94页/共105页第九十五页，共105页。 虚功原理本身适用(shyng)于任何变形体，但在本章推导位移计算公式时引入了弹性规律，故公式() 只适用(shyng)于线弹性体系。 图乘法是具体的运