第三章几何元素的相对位置

1、 3-1 平行问题 3-2 相交问题 3-3 垂直问题 3-4 投影变换3-1 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包括包括一、一、 直线与平面平行直线与平面平行定理定理1： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。p53n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC.c b a m abcmn唯一解唯一解n

2、fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于给定平面不平行于给定平面定理定理2： 若一直线与某一投影面的垂直面若一直线与某一投影面的垂直面P平行，则该直线必有一个投影与平面平行，则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的投影平行。具有积聚性的投影平行。 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f

3、 b d e a abcdef例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试给定。试过点过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交一、一、 直线与平面相交的特殊情况直线与平面相交的特殊情况 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的交点是直线与平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面

4、的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。p55、直线与平面两者之一为特殊位置、直线与平面两者之一为特殊位置km(n)bm n c b a ac（1） 直线为特殊位置的直线为特殊位置的空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上

5、取点法用面上取点法（）平面为特殊位置的（）平面为特殊位置的abcmnc n b a m 例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。可利用积聚性投影或通过重影点判别可见性。可利用积聚性投影或通过重影点判别可见性。k 1 (2

6、 )作作 图图k21 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面交线是两平面的共有线，的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共交线上的点都是两平面的共有点。有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。二、一般位置平面与二、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点两个

7、共有点的问题的问题,由由于于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL平面与的交点平面与的交点判断平面的可见性判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL1(2)12可通过平面的积可通过平面的积聚性投影直观地聚性投影直观地进行判别。进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条

8、正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点

9、m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的正面投影，即为两个共有点的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def的外面，说明的外面，说明点点N位于位于DEF所确定所确定的平面内，但不位于的平面内，但不位于DEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m k

10、mk 互交互交bc与与de的的可见性可见性三、直线与一般位置平面相交三、直线与一般位置平面相交 求作交线的步骤：求作交线的步骤：1 1、含直线、含直线DE DE 作辅助平面作辅助平面 2 2、求辅助平面与平面、求辅助平面与平面ABC ABC 的的交线交线3 3、求交线与已知直线、求交线与已知直线DE DE 的的交点交点 为便于在投影图上求作交线为便于在投影图上求作交线 应选特殊位置辅助平面。应选特殊位置辅助平面。 以下分别为采用铅垂面以下分别为采用铅垂面和正垂面作辅助平面求交和正垂面作辅助平面求交点点以铅垂面为辅助平面作图 1、含直线DE 作辅助 平面P2、求辅助平面P 与平 面ABC 的交线

11、MN3、求交线MN 与已知 直线DE 的交点K以正垂面为辅助平面作图 1、含直线DE 作辅助 平面S2、求辅助平面S 与平 面ABC 的交线MN3、求交线MN 与已知 直线DE 的交点K判别可见性用直线与平面求交点的方法求两平面的交线中途返回请按“ESC”键四、求两平面的交线四、求两平面的交线1、用直线与平面求交点的方法求两平面的交线 两一般两一般位置平面相位置平面相交，求交线交，求交线步骤：步骤：1用求直线用求直线与平面交点与平面交点的方法，作的方法，作出两平面的出两平面的两个共有点两个共有点K、E。2连接两个连接两个共有点，画共有点，画出交线出交线KE。判别可见性例例 试过K点作一直线平行

12、于已知平面ABC，并与直线EF相交P分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H 。3连接KH，KH即为所求。用三面共点法求两平面的交线2、用三面共点法求两平面的交线 直线与平面垂直，则该直线必垂直于平面上的任何直线。 LK平面P 则： LK水平线AB LK正平线CD 第三节第三节 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直定理定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该

13、平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。的正平线的正面投影。定理定理2 若两直线中有一条直线平行于另一直线的法面若两直线中有一条直线平行于另一直线的法面,则此两条直则此两条直线交叉垂直。线交叉垂直。定理3（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。例例例 3-43-43-4例例例 3-33-33-3例例例 3-53-53-5例题例题9 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。efef二、两平面垂

14、直二、两平面垂直 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直例例例 3-63-63-6作业作业作业3-123-123-12作业作业作业3-133-133-13作业作业作业 3-173-173-17EQ分析 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK 重点掌握：重点掌握：一、两平面平行的条件一定是分别位于两平面一、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。二、直线与平面的交点及

15、平面与平面的交线是二、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性 尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于于另一个平面上的一对相交直线。另一个平面上的一对相交直线。二、相交问题二、相交问题 求直线与

16、平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出

17、交线的投影。的投影特性画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。km(n)bn b 1 (2 )k 21nn abcmc b a m k 1 (2 )k21h b c f a e abcefh1(2)mn 2 nm 1 e bcdfc f db a aem (n )nm 一般位置线面相交，其交点的投影可利用辅助平面求得一般位置线面相交，其交点的投影可利用辅助平面求得 （l l）求一般位置直线与一般位置平面的交点时）求一般位置直线与一般位置平面的交点时,