第三章图像变换

1、 图像变换是一种简化图像处理过程和提高图图像变换是一种简化图像处理过程和提高图像处理效果的技术。像处理效果的技术。 相关基础知识线性系统的基本理论与运算相关基础知识线性系统的基本理论与运算.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 设系统的特性可表示成对输入图像进行设系统的特性可表示成对输入图像进行T T运算，运算，并令并令f f1 1(x,y)(x,y)与与TfTf1 1(x,y)(x,y)、f f2 2(x,y)(x,y)与与TfTf2 2(x,y)(x,y)分分别代表两对不同的输入和输出图像，则当系统满足：别代表两对不同的输入和输出图像，则当系统满足： TfTf1 1(x,

2、y)+f(x,y)+f2 2(x,y)=Tf(x,y)=Tf1 1(x,y)+Tf(x,y)+Tf2 2(x,y)(x,y) (3.1)(3.1)关系时，称系统具有叠加性。当系统满足：关系时，称系统具有叠加性。当系统满足： Tkf(x,yTkf(x,y)=)=kTf(x,ykTf(x,y) (3.2)(3.2)关系时，称系统具有齐次性。关系时，称系统具有齐次性。 .1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统。同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统。由于图像是二维的，所以这样的系统称为二维线性由于图像是二维的，所以这样的系统称为二维线性系统

3、，由式系统，由式(3.1)(3.1)和式和式(3.2)(3.2)定义的运算称为二维线定义的运算称为二维线性运算。显然，二维线性系统应一般地满足：性运算。显然，二维线性系统应一般地满足： TkTki if fi i(x,y(x,y)= )= k ki iTfTfi i(x,y(x,y) (3.3)(3.3)凡不满足叠加性和齐次性的系统都属于非线性系统。凡不满足叠加性和齐次性的系统都属于非线性系统。 .1.1 .1.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 .1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 二维二维函数函数定义为：定义为： ( (3.4)3.4)且且 (3.5)(3.5

4、).1.2 .1.2 冲击函数冲击函数 01),(),(dxdyyxdxdyyx其它00, 0),(yxyx 在其出现的在其出现的x=0 x=0，y=0y=0处为处为无限大，在其它位置上值为零，但它包含的体积为无限大，在其它位置上值为零，但它包含的体积为1 1。函数是一种广义函数，也称为分配函数。函数是一种广义函数，也称为分配函数。 .1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 在数学上，在数学上，函数可由矩形函数的极限而求得。函数可由矩形函数的极限而求得。二维矩形函数定义为：二维矩形函数定义为： (3.6)(3.6) 矩形函数可看作是边长为单位值的正方体，如图矩形函数可看作是边长

5、为单位值的正方体，如图3.1(a)3.1(a)所示。显然，其体积为所示。显然，其体积为1 1。 .1.2 .1.2 冲击函数冲击函数 其它时，当0|1),(2121yxyxrectrect(x,yrect(x,y) )1 1x x1/21/2y y1/21/2.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 一般地，对于如图一般地，对于如图3.1(b)3.1(b)所示的边长为所示的边长为|x|1/2n|x|1/2n和和|y|1/2n|y|1/2n，高为，高为n n2 2的二维矩形函数，有的二维矩形函数，有定义：定义： (3.7)(3.7) 显然，当显然，当x=x=时，有时，有(x,y)

6、=limrn(x,y) ,n=,n=。 .1.2 .1.2 冲击函数冲击函数 其它时，当0|),(21212nnnyxnyxr.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 函数具有如下的一些性质：函数具有如下的一些性质：（1 1）函数是偶函数函数是偶函数 （2 2）卷积性质（也称为位移性）卷积性质（也称为位移性） 上式说明，函数上式说明，函数f(x,yf(x,y) )与与(x,y(x,y) )的卷积结果仍的卷积结果仍为原函数为原函数f(x,yf(x,y) )，记为，记为 .1.2 .1.2 冲击函数冲击函数 ),(),(yxyx ddyxfyxf),(),(),(),(),(),(

7、yxyxfyxf.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算同理有同理有：（3）可分离性可分离性 （4 4）乘积性）乘积性 ddyxfyxf),(),(),(),(),(),(yxyxfyxf)()(),(yxyx),(),(),(),(yxfyxyxf.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算（5 5）筛选性）筛选性当当 时时 （6 6）指数函数）指数函数 ),(),(),(fdxdyyxyxf0 dxdyyxyxff),(),() 0 , 0(dudveyxvyuxj )(2),(.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算.1.3 .1.3 二维线性

8、移不变系统二维线性移不变系统 系统对单位脉冲函数系统对单位脉冲函数(x,y(x,y) )产生的输出称为脉冲产生的输出称为脉冲响应，并表示为响应，并表示为h(x,yh(x,y) )。 一般也将一般也将h(x,yh(x,y) )称为点扩展函数，且称为点扩展函数，且 （3.143.14） ),(),(yxhyxT.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算.1.3 .1.3 二维线性移不变系统二维线性移不变系统 当系统的单位脉冲输入为当系统的单位脉冲输入为(x(x- -,y-,y-) )，也即，也即输入的单位脉冲函数延迟了输入的单位脉冲函数延迟了、单位时，输出为单位时，输出为h(xh(x

9、- -,y-,y-) )，即输出结果性态不变，仅在位置上延，即输出结果性态不变，仅在位置上延迟了迟了、单位，则称这样的系统为移不变系统。单位，则称这样的系统为移不变系统。),(),(yxhyxT （3.153.15）.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 如果一个系统既是线性系统，又是移不变系统，如果一个系统既是线性系统，又是移不变系统，则该系统是线性移不变系统。则该系统是线性移不变系统。 ),(),(yxfTyxg),(),( ddyxfT（由式（由式3.9a） ),(),(ddyxfT（线性叠加原理）（线性叠加原理） ddyxTf),(),(齐次性齐次性; x,y为变量为

10、变量) ddyxhf),(),(移不变性移不变性 ,卷积表示卷积表示) ),(),(yxhyxf（3.16a） .1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算同理有：同理有： ddhyxfyxg),(),(),(),(),(yxfyxh（3.17a）),(),(),(),(yxhyxfyxfyxh(3.18).1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理论与运算 所以，二维线性移不变系统的输入、输出和运算所以，二维线性移不变系统的输入、输出和运算关系可描述为：关系可描述为： h(x,y),( yxf),(),(),(yxhyxfyxg.1.1线性系统的基本理论与运算线性系统的基本理

11、论与运算3.2 3.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT(DFT）描述了离散信号的时）描述了离散信号的时域表示与频域表示之间的关系，是线性系统分析域表示与频域表示之间的关系，是线性系统分析和信号处理中的一种最有效的数学工具，并在图和信号处理中的一种最有效的数学工具，并在图像处理领域获得了极为广泛的应用。像处理领域获得了极为广泛的应用。 3.2 3.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 设设f(xf(x) )是在时域上等距离采样得到的是在时域上等距离采样得到的N N点离散序列，点离散序列，x x是离散实变量，是离散实变量，u u为离散频率变量，则离散傅里叶变换为离散

12、频率变量，则离散傅里叶变换对定义为：对定义为： (3.19)(3.19) (3.20)(3.20)，F(uF(u) )为正变换，为正变换，f(xf(x) )= =F F-1-1F(u)F(u)为反变换；为反变换；是正变换核，是正变换核， 是反变换核。是反变换核。1, 1 , 0,2exp)(1)(10NuNxujxfNuFNx1, 1 , 0,2exp)(1)(10NxNuxjuFNxfNuxuNje/2uxNje/2 根据欧拉公式根据欧拉公式 有：有： （3.213.21），F(uF(u) )一般是复数，并可以写成一般是复数，并可以写成 （3.223.22）xixeixsincos uxju

13、xxuj2sin2cos)2exp()()()(ujIuRuF， （3.233.23） ， (3.24)(3.24)(exp| )(|)(ujuRuF)()(| )(|22uIuRuF)()(arctan)(uRuIu 根据欧拉公式根据欧拉公式 有：有： （3.213.21）所以，所以，F(uF(u) )一般是复数，并可以写成一般是复数，并可以写成 （3.223.22）xixeixsincosuxjuxxuj2sin2cos)2exp()()()(ujIuRuF 设设f(x,yf(x,y) )是在空间域上等间隔采样得到的是在空间域上等间隔采样得到的M MN N的二的二维离散信号，维离散信号，x

14、 x和和y y是离散实变量，是离散实变量，u u和和v v为离散频率变量为离散频率变量， (u=0,1,M-1；v=0,1,N-1) (3.26) (x=0,1,M-1；y=0,1,N-1) (3.27) 1010 )(2exp),(1),(MxNyNyvMxujyxfMNvuF1010 )(2exp),(1),(MuNvNvyMuxjvuFMNyxf 在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=NM=N，并，并考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶变换对定义为：变换对定义为： 1010)(2exp)

15、,(1),(NxNyNyvxujyxfNvuF1010)(2exp),(1),(NuNvNvyuxjvuFNyxf (3.28) (3.29) x,y,u,v=0,1,N-1； (3.31)(3.31),(),(| ),(|),(222vuIvuRvuFvuP 与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换的频与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换的频谱和相位角定义为：谱和相位角定义为： (3.30a) (3.30b) ),(),(| ),(|22vuIvuRvuF),(/ ),(arctan),(vuRvuIvu 简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复

16、杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。 对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空间域，从而可达到简化处理和分析的目的。间域，从而可达到简化处理和分析的目的。 某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如某些只能在频率域处

17、理的特定应用需求，比如在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。嵌入等。 由二维离散傅里叶反变换式（由二维离散傅里叶反变换式（3.293.29）：）：可知，可知，由于由于u u和和v v均有均有0,1,0,1,N-1,N-1的的N N个可能的取值，所个可能的取值，所以以f(x,yf(x,y) )由由N N2 2个频率分量组成，所以每个频率分量都与个频率分量组成，所以每个频率分量都与一个特定的一个特定的( (u,vu,v) )值相对应；且对于某个特定的值相对应；且对于某个特定的( (u,vu,v) )值值来说，当来说，当( (x,

18、yx,y) )取遍所有可能的值取遍所有可能的值(x=0(x=0，1 1，N-1N-1；y=0y=0，1 1，N-1N-1）时，就可得到对应于该特定的）时，就可得到对应于该特定的( (u,vu,v) )值的一幅基图像。基图像可表示为。值的一幅基图像。基图像可表示为。 1010)(2exp),(1),(NuNvNvyuxjvuFNyxf ) 1() 1(2exp)1) 1(2exp)0) 1(2exp) 1(1(2exp)11(2exp)01(2exp) 1(0(2exp)10(2exp)00(2exp1,NvNuNjNvuNjNvuNjNvNujNvujNvujNvNujNvujNvujNfvu

19、 显然，对应于不同（显然，对应于不同（u,vu,v）值的基图像共有）值的基图像共有N N2 2幅。幅。 式式(3.28)(3.28)和式和式(3.29)(3.29)的二维离散傅里叶变换对可写的二维离散傅里叶变换对可写成如下的分离形式：成如下的分离形式： (3.33)(3.33) (3.34) (3.34)1010)2exp),(2exp1),(NxNyNyvjyxfNxujNvuF1010) 2exp),(2exp1),(NuNvNvyjvuFNuxjNyxf (3.36) (3.36)102exp),(1),(NxNuxjvxFNvuF 以式以式(3.33)(3.33)：为例，可先沿为例，可

20、先沿y y轴方向进行一维的轴方向进行一维的( (列列) )变换而求得：变换而求得： (3.35)(3.35)1010)2exp),(2exp1),(NxNyNyvjyxfNxujNvuF102exp),(1),(NyNvyjyxfNvxF 一幅图像的灰度平均值可表示为：一幅图像的灰度平均值可表示为： (3.37)(3.37) 10102),(1NxNyyxfNf1010)(2exp),(1),(NxNyNyvxujyxfNvuF 1010),(1)0 ,0(NxNyyxfNF ： (3.38)(3.38) (3.39a) (3.39a)0,0(1FNf 对于对于M MN N的图像和二维离散傅里

21、叶变换对的一般定的图像和二维离散傅里叶变换对的一般定义式义式(3.26)(3.26)和和(3.27)(3.27)，F(u,vF(u,v) )的周期性定义为：的周期性定义为： ( (m,nm,n=0,=0,1, 1, 2,2,） (3.40)(3.40),(),(nNvmMuFvuF 设设f(x,yf(x,y) )为实函数，则其傅里叶变换为实函数，则其傅里叶变换F(u,vF(u,v) )具有共具有共轭对称性：轭对称性： (3.41) (3.41) (3.42) (3.42),(),(vuFvuF| ),(| ),(|vuFvuF 对于对于M MN N的图像的图像f(x,yf(x,y) )和二维离

22、散傅里叶变换对的和二维离散傅里叶变换对的一般定义式一般定义式(3.26)(3.26)和和(3.27)(3.27)，若设用符号，若设用符号 表示函数表示函数与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示为：示为： (3.43) (3.43) (3.44) (3.44),()(2exp),(0000vvuuFNyvMxujyxf),()(2exp),(0000yyxxfNvyMuxjvuF式式(3.43)(3.43)说明，给函数乘以一个指数项，就相当说明，给函数乘以一个指数项，就相当于把其变换后的傅里叶频谱在频率域进行平移。式于把其变换后的傅里叶

23、频谱在频率域进行平移。式(3.44)(3.44)说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。 设设f(x,yf(x,y) )是一幅大小为是一幅大小为M MN N的图像，根据离散傅立的图像，根据离散傅立叶变换的周期性公式叶变换的周期性公式(3.40)(3.40)： 有：有： (3.45) (3.45),(),(nNvmMuFvuF),(| ),(|NvMuFvuF| ),(| ),(|vuFvuF),(| ),(|vNuMFvuF 根据根据(3.46)(3.46)，对于，对于u

24、=0u=0：当当v=0v=0时：时：| ),(|) 0 , 0 (NMFF| ) 1,(|) 1 , 0 (NMFF| ) 2,(|) 2 , 0 (NMFF) 2/,() 2/, 0 (NMFNF0 0N/2N/2N NM MM/2M/2(M,N)(M,N)(M/2,N/2(M/2,N/2)A AB BC CD Dvu(M/2,N)(M/2,N)(M,N/2)(M,N/2) 同理，对于同理，对于v=0v=0：当当u=0u=0时：时：| ),(|) 0 , 0 (NMFF| ), 1(|) 0 , 1 (NMFF| ), 2(|) 0 , 2(NMFF), 2/() 0 , 2/(NMFMF0

25、 0N/2N/2N NM MM/2M/2(M,N)(M,N)(M/2,N/2(M/2,N/2)B BC Cvu(M/2,N)(M/2,N)(M,N/2)(M,N/2) 图图3.43.4和图和图3.53.5是原点坐标位于是原点坐标位于(0,0)(0,0)的图像的傅的图像的傅里叶变换频谱关于里叶变换频谱关于(M/2,N/2)(M/2,N/2)对称的两个例子。对称的两个例子。 图图3.4 / 3.4 / 图图3.5 3.5 关于关于(M/2,N/2)(M/2,N/2)对称示例对称示例1 / 1 / 示例示例2 2 (a) (a) 图像图像 (b)(b)图像的原频谱图图像的原频谱图 (a) (a) 图

26、像图像 (b)(b)图像的原频谱图像的原频谱图图 (0,0(0,0）(M/2,N/2(M/2,N/2）vuvu0 0N NM M(M,N(M,N）yx0 0N NM M(M,N(M,N）vu 对于式对于式(3.43):(3.43):当当u u0 0=M/2=M/2，v v0 0=N/2=N/2时，有时，有也即也即),()(2exp),(0000vvuuFNyvMxujyxf)22(2exp)(2exp00NyNMxMjNyvMxuj)()()(yxjyxjee)()() 1()sin(cosyxyxj) 2/, 2/() 1(),()(NvMuFyxfyx),() 1()(yxfyx 先用先用

27、(-1)(-1)(x+y)(x+y)乘以图像得乘以图像得(-1)(-1)(x+y)(x+y)f(x,y)f(x,y)；然后对；然后对其进行傅里叶正变换得到原点在其进行傅里叶正变换得到原点在(M/2,N/2)(M/2,N/2)之处的之处的F(u,vF(u,v) )；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；再将处理的结果进行傅里叶反变换；最后给反变换的结再将处理的结果进行傅里叶反变换；最后给反变换的结果再乘以果再乘以(-1)(-1)(x+y)(x+y)就可得到最

28、终的结果。就可得到最终的结果。 去除图像噪声、图像数据压缩、图去除图像噪声、图像数据压缩、图像识别、图像重构和图像描述等。像识别、图像重构和图像描述等。 3.3 3.3 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换-自学自学 3.4 3.4 离散余弦变换离散余弦变换 函数的偶对称性使函数的偶对称性使DCTDCT只有实数域变换结果，不只有实数域变换结果，不再涉及复数运算，运算简单，费时少；再涉及复数运算，运算简单，费时少； 与人类视觉系统特性相适应；与人类视觉系统特性相适应； 设设f(xf(x) )为一实数离散序列，如图为一实数离散序列，如图3.11(a)3.11(a)。F(xF(x) )0 1 2 2

29、 M-1x(a(a）-(M-1)-1/2-(M-1)-1/2 - -2-1/22-1/2 - -1-1/21-1/2 - -1/21/2 0 0 1/21/2 1+1/21+1/2 2+1/2 2+1/2 M-1+1/2M-1+1/2x(b(b） 将将(a)(a)延拓为偶对称序列，如图延拓为偶对称序列，如图3.11(b)3.11(b)。 则有：则有：-(M-1)-1/2-(M-1)-1/2 - -2-1/22-1/2 - -1-1/21-1/2 - -1/21/2 0 0 1/21/2 1+1/21+1/2 2+1/2 2+1/2 M-1+1/2M-1+1/2x(b(b）21212121212

30、11-1)21() 1( ,1 ,)21()(）（，对于对于MxxfMxxfxfs)22exp()(21)(2/ 112/ 1) 1(MxujxfMuFMMxss)22exp()(21)22exp()(212/ 112/ 12/ 12/ 1) 1(MxujxfMMxujxfMsMxMxs)exp()(21)exp()(21)(2/ 112/ 12/ 112/ 1MxujxfMMxujxfMuFMxsMxss)exp()(21)exp()(21)(2/ 112/ 12/ 112/ 1MxujxfMMxujxfMuFMxsMxss)sin()()(cos(21)(2/112/1MxuiMxuxfM

31、uFMxss)sin()cos()(212/ 112/ 1MxuiMxuxfMMxs)cos()(222/112/1MxuxfMMxs)(cos)21(2)(2/112/1MxuxfMuFMxs)(cos)21(2)(2/112/1MxuxfMuFMxs)2)12(cos)(2)(10MuxxfMuFMxs)2)12(cos)(2)(10MuxxfMuFMxs)2) 12(cos)()(2)(10MuxxfuKMuFMx1, 2 , 11021)(MuuuK 10)(1)0(MxxfMF)2) 12(cos)(2)(10MuxxfMuFMx)2) 12(cos()(2),(MuxuKMuxPM

32、MMMMMMMMMMMP2) 1)(12 (cos2) 1( 3cos2) 1(cos2) 12 (cos23cos2cos2121212IPPPPTT)2) 12(cos)()(2)(10MxuuFuKMxfMu1, 2 , 11021)(MuuuKfPFFPfT)3()2() 1 ()0(271. 0653. 0653. 0271. 0500. 0500. 0500. 0500. 0653. 0271. 0271. 0653. 0500. 0500. 0500. 0500. 0)3()2() 1 ()0(ffffFFFF)3()2() 1 ()0(271. 0500. 0653. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0271. 0500. 0271. 0500. 0653. 0500. 0)3()2() 1 ()0(FFFFffff Y Y N-1 N-1N N(0,0)(0,0)X XN-1N-1N N(-1,-1)(-1,-1)0, 0) 1, 1(0,) 1,(0, 0), 1(0, 0),(),(yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfyxfs 可见可见,2N,2N2N2N的新的新图像的对称中心位于图像的对称中心位于图像中红色的细十字