第八章粘性流体动力学基础

1、 纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 附面层的基本概念附面层的基本概念 附面层动量方程附面层动量方程曲面附面层的分离现象和卡门涡街曲面附面层的分离现象和卡门涡街8.4 8.4 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件 控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。粘性流体微团受到的力粘性流体微团受到的力: : 质量力质量力 法向力法向力切向力切向力 代表切向应力代表切向应力 fx、fy、fz代表质量力代表质量力 p代表法向应力代表法向应力BCDEGHMFAabcdefxyz2dxxppxxxx2dxxppxxxx2dzzzxzx2d

2、zzzxzx2dyyyxyx2dyyyxyxxyzx方向流体微团受到的力方向流体微团受到的力 法向力法向力 切向力切向力 质量力质量力dxdydzfxdydzdxxppdydzpxxxxxx)(dzdxdyydyydxdydzzdzzyxyxyxyxzxzxzxzx2222 惯性力惯性力dtdvdxdydzxx方向的方向的运动微分方程运动微分方程 应用牛顿第应用牛顿第二定律：二定律：dxdydzzydxdydzxpdxdydzfdtdvdxdydzzxyxxxxx)(11zyxpfdtdvzxyxxxxx以应力表示的粘性流体运动微分方程式以应力表示的粘性流体运动微分方程式: :)(11)(11

3、)(11yxzpfdtdvxzypfdtdvzyxpfdtdvyzxzzzzzyxzyyyyyzxyxxxxx一、一、切向应力切向应力 根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。 02)2(2)2(2)2(2)2(dxdydzdxdydzdxxdxdydzdxxdydxdzdyydydxdzdyyMyxxyxyxyxyxyyxyxyxyxyxxy同理同理xzzxzyyzyxxy1、切向应力之间的关系切向应力之间的关系 2dxxxyxy2dyyyxyxdydxM2dyyyxyx2dxxxyxy意义：意义：作用在两相互作用在两相互垂直平面上，且与该垂直平面上，且与该两

4、平面的交线相垂直两平面的交线相垂直的切应力大小都是相的切应力大小都是相等的。等的。一、一、切向应力切向应力( (续续) ) 2、切向应力的表示切向应力的表示 dtddydv牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律 )(yvxvxyyxxyXoyXoy面上速度梯度等于角变形速度面上速度梯度等于角变形速度 yvxvdtdxyz2)()()(xvzvzvyvyvxvzxxzzxyzzyyzxyyxxy同理同理代入得，代入得， xvyv12ddABCDBCDdyyvvxxdxxvvyy二、法向应力二、法向应力 ppppzzyyxx理想流体理想流体 zvppyvppxvppzzzyyyxxx222粘性流体粘性流体

5、)(31zzyyxxppppABCDCDdpnxxnE)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfdtdvzzzzzyyyyyxxxxx直角坐标直角坐标: : 将应力和变形速度的关系代入以应力表示的粘性流将应力和变形速度的关系代入以应力表示的粘性流体运动微分方程式体运动微分方程式, ,就可得到就可得到N NS S方程方程: :一、实际流体的一、实际流体的N-SN-S方程方程 代表应力，包括代表应力，包括切应力和附加压切应力和附加压应力应力 圆柱坐标圆柱坐标: :)11(1)211(1)211(12222222222

6、2222222222222222zvvrrvrrvzpfzvvvrvrvvtvzvvrvrrvrvrrvprfzvvrvvvrvrvvtvzvvrvrrvrvrrvrpfzvvrvvrvrvvtvzzzzzzzzzrzzrrrrrrrrrzrrrr 可将可将N NS S方程改写成为方程改写成为: :二、实际流体的运动微分方程的积分二、实际流体的运动微分方程的积分 )(2)2()(2)2()(2)2(222222yxxyzzFxzzxyyFzyyzxxFvvtvvvpzvvtvvvpyvvtvvvpx(1)(1)质量力是有势的质量力是有势的(2)(2)流体不可压缩，流体不可压缩， 流体是正压流体

7、流体是正压流体前提条件前提条件0)2(2222dzvdyvdxvvpdzyxF 方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个的三个轴向分量轴向分量dx, dy, dzdtvvvdzvvdzvdzvpzdtvvvdyvvdyvdyvpydtvvvdxvvdxvdxvpxzyxxyyxxyzFyxzzxxzzxyFxzyyzzyyzxF)(2)(2)2()(2)(2)2()(2)(2)2(222222三式相加三式相加 0)2(2wdhgvpzd表示切应力作表示切应力作功功二、实际流体的运动微分方程的积分二、实际流体的运动微分方程的积分 沿流线由点沿流线

8、由点1到点到点2积分积分whgvpzgvpz2222222111不可压缩均质实际流体恒定流的伯努利方程不可压缩均质实际流体恒定流的伯努利方程应用条件：应用条件： 1、不可压缩均质流体，密度为常数、不可压缩均质流体，密度为常数 2、质量力有势、质量力有势 3、恒定流、恒定流 4、限于、限于同一条流线同一条流线上各点的总机械能保持不变上各点的总机械能保持不变有分流和合流有分流和合流的能量方程的能量方程0)2(2wdhgvpzd令：令：21wwdhh0)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfdtdvzyx

9、zzzzzyyyyyxxxxx方程组方程组一、初始条件：一、初始条件：指方程组在初始时刻应满足的条件指方程组在初始时刻应满足的条件 zyxptzyxpzyxvtzyxvzyxvtzyxvzyxvtzyxvzozyoyxox,00000时，给出：在初始时刻0tt 如果是恒定流动，就不必给出初始条件。如果是恒定流动，就不必给出初始条件。二、边界条件：二、边界条件：指方程组在流场的边界上应满足的条件指方程组在流场的边界上应满足的条件 1、固体壁面：固壁无滑移条件、固体壁面：固壁无滑移条件wzyxfzyxvvvvvv,2、两种液体的分界面：分界面两侧液体的速度、压强保持连续、两种液体的分界面：分界面两

10、侧液体的速度、压强保持连续2121,ffffppvv3、自由液面：即液体与大气的分界面、自由液面：即液体与大气的分界面0,0pp4、管道的出入口：入口和出口断面的流速和压强分布、管道的出入口：入口和出口断面的流速和压强分布例：设实际流体在很长的水平圆管内作有压恒定均匀流（层例：设实际流体在很长的水平圆管内作有压恒定均匀流（层流）运动，已知管径为流）运动，已知管径为d d，流速，流速VxVx=V=V（y y，z z），），Vy= VzVy= Vz=0=0。试。试用用N-SN-S方程求解过流断面上速度分布。方程求解过流断面上速度分布。xyzOr解：列出方程组，根据题意简化方程组解：列出方程组，根据

11、题意简化方程组001)(101)(10)(1)(12222222222222222222222xvzvyvxvzpgzvyvxvzpfdtdvypzvyvxvypfdtdvyvxvxpzvyvxvxpfdtdvzyxzzzzzyyyyyxxxxx（1）（2）（3）（4）由（由（2）、（）、（3）式可知，测压管水头沿圆管断面为常数，只与）式可知，测压管水头沿圆管断面为常数，只与x有关。因有关。因此（此（1）式可改写为：）式可改写为：dxdpzvyv1)(2222lpdxdp常数为了便于积分，在为了便于积分，在oyz平面内引进极坐标（平面内引进极坐标（r，），如图所示。由于管流），如图所示。由于管

12、流的对称性，的对称性，0v rvzyv,极坐标下的极坐标下的N-S方程可改写为：方程可改写为：lpdrdvrdrdrdxdprvrrv或122122Clprdrdvr，得：当0, 0drdvr01Clprdrdvr22xyzOrlprdrdvr22rdrlpdv21224Clprv当当r=r0=d/2时，时，v=0,得得：lprC4202220202444rrlplprlprv一、附面层一、附面层附面层的基本概念附面层的基本概念1.1.附面层的概念附面层的概念 在大雷诺数下紧靠物体表面流速在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为级

13、的薄层称为边界层边界层。边界层 在实际应用中规定从固在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到体壁面沿外法线到速度达到势流速度的势流速度的99%99%处的距离为处的距离为边界层的厚度。边界层的厚度。2.2.附面层的厚度附面层的厚度一、附面层（续）一、附面层（续）3.3.附面层的特征附面层的特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层（1 1）与物体的长度相比，）与物体的长度相比， 附面层的厚度很小；附面层的厚度很小； （2 2）附面层附面层内沿边界层厚内沿边界层厚 度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3 3）附面层附面层沿着流体流动的方向逐渐增厚；沿着

14、流体流动的方向逐渐增厚； （4 4）附面层附面层中各截面上的压强等于同一截面上中各截面上的压强等于同一截面上附面层附面层外边界上的压强；外边界上的压强； （5 5）在）在附面层附面层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；内粘滞力和惯性力是同一数量级的； （6 6）附面层附面层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。附面层的基本概念附面层的基本概念一、附面层（续）一、附面层（续）4.4.判别附面层层流、紊流的准则数特征判别附面层层流、紊流的准则数特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层Rexvxx离物体前缘点的距离离物体前缘点的距离临界雷诺数临界雷诺数附面层的基

15、本概念附面层的基本概念5100 . 55 . 3Rek二、管流附面层二、管流附面层附面层的基本概念附面层的基本概念流体在圆形直管的进口段内流动时的边界层厚度为： )(Re0575. 00滞流边界层dx式中 ，u为管截面的平均流速。 duRe)(Re5 .618/7滞流内层db附面层的基本概念附面层的基本概念沿取出一个微小控制体沿取出一个微小控制体附面层动量方程附面层动量方程ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面流入的质面流入的质量和动量：量和动量： AC面流入的质面流入的质量和动量：量和动量：单位时间沿单位时间沿x方向经控方向经控制面的动量通量：制面的动量通量：CD面流

16、出的质面流出的质量和动量：量和动量：0dyvx02dyvx0202dyvxdxdyvxx00dyvxdxdyvxx0dyvxdxx002dyvxUdyvxdxxxdyvxUdxx0ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面上的面上的总压力：总压力： 沿沿x方向诸外方向诸外力之和为：力之和为：CD面面上的上的总压力总压力：AC面面上的上的总压力总压力：p()()ppdxdxBD面面上的上的切向力切向力：dxw附面层动量方程附面层动量方程dsdxxpp21dxxpdxddxxppddxxpppww21ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCA根据动量方程，得根据动

17、量方程，得附面层动量方程附面层动量方程dxxpdyvxUdyvxdxwxx002wxxxpdyvxUdyvx002wxxdxdpdyvdxdUdyvdxd002附面层的分离现象和卡门涡街附面层的分离现象和卡门涡街一、附面层的分离现象一、附面层的分离现象：边界层分离是减速增压边界层分离是减速增压( )( )和物体表面和物体表面粘性阻滞的共同作用的结果粘性阻滞的共同作用的结果. . 0 xp 如图所示，液体以均匀的流速垂直流过一无限长的圆柱体表面。由于流体具有粘性，在壁面上形成边界层，且其厚度随流过的距离而增加（AC）。 流体过C点后，其边界层脱离壁面且在点C的下游形成液体的涡流区。将这种现象称为

18、边界层分离。由于固体表面形状而造成边界层分离所引起的这部分能量损耗，称为形体阻力。Re0.50.5Re70 附面层的分离现象和卡门涡街附面层的分离现象和卡门涡街 二、卡门涡街二、卡门涡街 附面层的分离现象和卡门涡街附面层的分离现象和卡门涡街 1911年，匈牙利科学家卡门研究圆柱背后漩涡的运动规律，年，匈牙利科学家卡门研究圆柱背后漩涡的运动规律，实验结果为：当实验结果为：当Re40时粘性流体绕圆柱发生边界层分离后，时粘性流体绕圆柱发生边界层分离后，在圆柱体后产生一对不稳定的旋转方向相反的对称漩涡。在圆柱体后产生一对不稳定的旋转方向相反的对称漩涡。Re超超过过60后形成稳定、非对称、有规则、旋转方

19、向相反、上下交替后形成稳定、非对称、有规则、旋转方向相反、上下交替脱落、有一定的脱落频率的漩涡脱落、有一定的脱落频率的漩涡卡门涡街。卡门涡街。VD 二、卡门涡街二、卡门涡街 dvSrf 脱落频率：脱落频率：Sr斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数附面层的分离现象和卡门涡街附面层的分离现象和卡门涡街 美国著名的塔科马海峡大桥美国著名的塔科马海峡大桥1940年年11月月7号在八级号在八级大风中崩塌大风中崩塌,是卡门涡街造成巨大破坏的例子是卡门涡街造成巨大破坏的例子.卡门涡街的实际事例：卡门涡街的实际事例： 风吹电线。卡门涡街流量计。空气横向绕流换热风吹电线。卡门涡街流量计。空气横向绕流换热器管束等。器管束等。

20、附面层的分离现象和卡门涡街附面层的分离现象和卡门涡街 黏性流体绕物体流动时，物体一定受到流体的压强和切黏性流体绕物体流动时，物体一定受到流体的压强和切向应力的作用，这些力的合力一般可分解为与来流方向一致向应力的作用，这些力的合力一般可分解为与来流方向一致的作用力的作用力 和垂直于来流方向的升力和垂直于来流方向的升力 。由于。由于 与物体运动与物体运动方向相反，起着阻碍物体运动的作用，所以称为阻力。绕流方向相反，起着阻碍物体运动的作用，所以称为阻力。绕流物体的阻力由两部分组成：一部分是由于流体的黏性在物体物体的阻力由两部分组成：一部分是由于流体的黏性在物体表面上作用着切向应力，由此切向应力所形成

21、的表面上作用着切向应力，由此切向应力所形成的摩擦阻力摩擦阻力；另一部分是由于边界层分离，物体前后形成压强差而产生的另一部分是由于边界层分离，物体前后形成压强差而产生的压差阻力压差阻力。摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力。对于。摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力。对于圆柱体和球体等钝头体，压差阻力比摩擦阻力要大得多；而圆柱体和球体等钝头体，压差阻力比摩擦阻力要大得多；而流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力。虽然物体阻力的形流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力。虽然物体阻力的形成过程，从物理观点看完全清楚，但是要从理论上来确定一成过程，从物理观点看完全清楚，但是要从理论上来确定一个任意形状物体的阻

22、力，至今还是十分困难的，目前还只能个任意形状物体的阻力，至今还是十分困难的，目前还只能在风洞中用实验方法测得，这种实验称为风洞实验。在风洞中用实验方法测得，这种实验称为风洞实验。 DFDFLF绕流物体阻力的组成绕流物体阻力的组成粘性切应力在物体表面形成的粘性切应力在物体表面形成的摩擦阻力摩擦阻力边界层分离形成压差而形成的边界层分离形成压差而形成的形状阻力形状阻力绕流阻力的计算：风洞实验测得实验曲线查得绕流阻力的计算：风洞实验测得实验曲线查得AVCFDD221FD物体所受的绕流阻力物体所受的绕流阻力CD无量纲的阻力系数无量纲的阻力系数V来流速度来流速度A 物体在垂直于来流方向的截面积物体在垂直于

23、来流方向的截面积阻力系数：对于不同阻力系数：对于不同的不可压缩流体的几的不可压缩流体的几何相似的物体，如果何相似的物体，如果 雷诺数相同，则它们雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。的阻力系数也相同。 为了便于比较各种形状物体的阻力，工程上引用无因次为了便于比较各种形状物体的阻力，工程上引用无因次阻力系数阻力系数 来表达物体阻力的大小，其公式为来表达物体阻力的大小，其公式为 （5-145-14） 由实验得知，由实验得知，对于不同的不可压缩流体的几何相似的物对于不同的不可压缩流体的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。因此在不。因此在不可

24、压缩流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似可压缩流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体，其阻力系数只与雷诺数有关，即体，其阻力系数只与雷诺数有关，即 DCAVFCDD221 图图给出了无限长圆柱体以及其它形状物体的阻力系数与雷给出了无限长圆柱体以及其它形状物体的阻力系数与雷诺数的关系曲线。以无限长圆柱体为例，当诺数的关系曲线。以无限长圆柱体为例，当ReRe11时，时， 与与ReRe成成反比。在图上以直线表示之，这时边界层没有分离，只有摩擦反比。在图上以直线表示之，这时边界层没有分离，只有摩擦阻力。雷诺数从阻力。雷诺数从2 2增加到约增加到约4040时，边界层发生分离，压差阻力在时，边界层发生分