西工大计算方法4

1、第四章第四章 函数插值函数插值4.1 引言引言4.2 Lagrange插值插值4.3 Newton插值插值4.4 等距节点插值等距节点插值4.5 Hermite插值插值4.6 分段插值分段插值4.7 三次样条插值三次样条插值v1 1 函数表达式过于复杂不便于计算函数表达式过于复杂不便于计算, , 而又需而又需要计算许多点处的函数值要计算许多点处的函数值v2 2 仅有几个采样点处的函数值仅有几个采样点处的函数值, , 而又需要知而又需要知道非采样点处的函数值道非采样点处的函数值 vv上述问题的一种上述问题的一种解决思路解决思路：建立复杂函数或：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式者

2、未知函数的一个便于计算的近似表达式. .v解决方法解决方法插值法插值法 4.1 4.1 引言引言一、问题提出一、问题提出二、插值问题定义二、插值问题定义求插值函数求插值函数 ( (x x) )的问题称为的问题称为插值问题插值问题。三、几何意义、内插法、外插法三、几何意义、内插法、外插法内插外插niixM0maxniixm0min,Mmx,Mmxbutbax四、多项式插值问题四、多项式插值问题F对于不同的函数族对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题的选择，得到不同的插值问题 当当为一些三角函数的多项式集合时为一些三角函数的多项式集合时: :三角插值三角插值; ; 当当为一些有理分式集合时：有

3、理插值；为一些有理分式集合时：有理插值； 当当为一些多项式集合时：多项式插值（代数插为一些多项式集合时：多项式插值（代数插值）值） 五、插值多项式的存在唯一性五、插值多项式的存在唯一性F分析分析 对于多项式插值问题，插值条件（对于多项式插值问题，插值条件（1 1）等价）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组)()()()(111210210212110200nnnnnnnnxfxfxfxfaaaaxxxxxxxxx 定理定理4.1 (存在唯一性存在唯一性) 满足插值条件满足插值条件(1)(1)的不的不超过超过n n次的插值多项式是存在唯一的

4、。次的插值多项式是存在唯一的。定理证明：定理证明： 多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项式的系数式的系数a a0 0，a a1 1，a a2 2，a an n的的n n1 1阶线性方程组，阶线性方程组，其系数矩阵的行列式其系数矩阵的行列式V Vn n( (x x0 0, ,x x1 1, , ,x xn n) )称为范德蒙称为范德蒙( (VandermondeVandermonde) )行列式。利用行列式的性质可以求行列式。利用行列式的性质可以求得得nijjinnxxxxxV010)(),( 由于假设由于假设i i j j时，时，x xi i x x

5、j j，故所有因子，故所有因子x xi i- -x xj j 0 0，于是于是V Vn n( (x x0 0, ,x x1 1, , ,x xn n) ) 0 0。因此方程组的解存在且唯。因此方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯一的。一，从而插值多项式是存在唯一的。证毕证毕六、插值余项六、插值余项F引理引理 已知函数已知函数f(xf(x) )在在 a,ba,b 上具有上具有m m-1-1阶连续导阶连续导函数，且在（函数，且在（a,ba,b）上存在）上存在m m阶导数。阶导数。 若它在该区若它在该区间上有间上有m m+1+1个零点，则它的个零点，则它的m m阶导函数在阶导函数在( (a,

6、ba,b) )内至内至少存在一个零点。少存在一个零点。 )( )()()()(23012101210 xfxfxfxxxxxxfmmmmmmm F分析：分析：nixxfxRiii, 2 , 1 , 0, 0)()()()()()()()()()()(1011nnnxxxxxxxxxkxxfxR)()()()()(1txkttftgn)!1()()(0)()()!1()()()1()1()1()1(nfxkgxkntftgnnnn七、插值方法七、插值方法 由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断方法构造出的插值多

7、项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。误差也都相同。本章我们要讨论的插值方法有本章我们要讨论的插值方法有：LagrangeLagrange插值法插值法NewtonNewton插值法插值法等距节点等距节点插值公式插值公式带导数的带导数的插值问题插值问题线性插值线性插值 x0 x1(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(x)f(x) 可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直线。两点的直线。)(001010 xxxxyyyy直线方程为直线方程为:4.2 4.2 Lagrange插值插值等价变形为等价变形为:10100101yxxxxyxxxxy记为

8、记为:)(1xL一、插值基函数一、插值基函数引入记号引入记号:,)(1010 xxxxxl0101)(xxxxxl则则:11001)()()(yxlyxlxL分析两个基函数有分析两个基函数有:0)(1)(1000 xlxl1011()0( )1l xl x对于三个点对于三个点,类似有类似有:2211002)()()()(yxlyxlyxlxL称为插值基函数称为插值基函数0)(0)(1)(201000 xlxlxl0)(1)(0)(211101xlxlxl1)(0)(0)(221202xlxlxlx0 x1x2p2(x) f(x)f(x)二次插值二次插值 将以上思路推广到将以上思路推广到n+1n

9、+1个节点情形，即可得到类个节点情形，即可得到类似的插值基函数和插值多项式表示形式。似的插值基函数和插值多项式表示形式。1.1.插值基函数定义：插值基函数定义：若若n n次多项式次多项式l lk k( (x x)()(k k=0,1,=0,1,n),n)在在n n+1+1个插值节点个插值节点x x0 0 x x1 1 x xn n上满足插值条件：上满足插值条件：), 1 , 0,()(0)(1)(nkikikixlikik则称这则称这n n1 1个个n n次多项式次多项式l l0 0( (x x),),l l1 1( (x x),), ,l ln n( (x x) )为插值为插值节点节点x x

10、0 0, ,x x1 1, , ,x xn n上的上的n n次次插值基函数插值基函数。RemarkRemark：容易验证，：容易验证，n n次插值基函数的线性组合在插次插值基函数的线性组合在插值节点值节点x x0 0, ,x x1 1, , ,x xn n上满足插值条件，从而可以利用插上满足插值条件，从而可以利用插值基函数来构造插值多项式。值基函数来构造插值多项式。), 1 , 0()()()()()()()(11101110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkkkkkkknkkk)()()()(11knknkxxxxxl2.2.插值基函数的构造插值基函数的构造 由于由于i i

11、 k k时，时，l lk k( (x xi i) )=0=0，故，故x x0 0, ,x x1 1, , ,x xk k-1-1, ,x xk k+1+1, , ,x xn n为为l lk k( (x x) )的零点，从而可以设的零点，从而可以设)()()()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl由由l lk k( (x xk k) )1 1可得可得)()()(11110nkkkkkkkkxxxxxxxxxxA故故若记若记 ，则有，则有 ，从而从而niinxxx01)()(nkiiikknxxx, 01)()(二、二、LagrangeLagrange型插值公式型插值公式niininin

12、iiinxxxxxfxlxfxL0110)()()()()()()( 上式是不超过上式是不超过n n次的多项式，且满足所有的插值次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为为LagrangeLagrange插值多项式。插值多项式。当当n n1 1时，有时，有101001011)(yxxxxyxxxxxL当当n n2 2时，有时，有2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn三

13、、三、LagrangeLagrange插值多项式的余项插值多项式的余项 设设f f( (x x) )为定义在为定义在 a a, ,b b 上的被插值函数，上的被插值函数，L Ln n( (x x) )为为f f( (x x) )的的n n次次LagrangeLagrange插值多项式，其插值余项为：插值多项式，其插值余项为：R Rn n( (x x)=)=f f( (x x) )-L-Ln n( (x x) )定理：定理：如果如果f f ( (n n) )( (x x) )在区间在区间 a a, ,b b 上连续，上连续，f f ( (n n1)1)( (x x) )在在( (a a, ,b

14、b) )内存在，内存在，L Ln n( (x x) )为在节点为在节点a a x x0 0 x x1 1 x xn n b b上上满足插值条件的满足插值条件的n n次次LagrangeLagrange插值多项式，则对任一插值多项式，则对任一x x ( (a a, ,b b),),其插值余项为：其插值余项为： 其中其中 ( (a a, ,b b) )且依赖于且依赖于x x。上式给出的余项通。上式给出的余项通常称为常称为LagrangeLagrange型余项。型余项。)(max)!1()()()(11xnMxLxfxRnbxannnRemarkRemark 一般情况下，余项表达式中的一般情况下，余

15、项表达式中的 ( (a a, ,b b) )的具体数值的具体数值无法知道。但是，如果能够求出无法知道。但是，如果能够求出，则可以得出插值多项式的截断误差限为：，则可以得出插值多项式的截断误差限为：1)1()(maxnnbxaMxf由此可以看出，误差大小除了与由此可以看出，误差大小除了与M Mn n+1+1有关外，还有关外，还与插值节点有密切关系。当给定与插值节点有密切关系。当给定m m个点处的函数个点处的函数值，但仅选用其中值，但仅选用其中n n1 1（n n1m1m）个作为插值条）个作为插值条件而求某个点件而求某个点 处函数值时，处函数值时， n n1 1个节点的个节点的选取应尽可能接近选取

16、应尽可能接近 ，以使使得所计算的函数值，以使使得所计算的函数值的误差限尽可能小。的误差限尽可能小。xx例题例题3/4)5 . 0(3)5 . 0(2)5 . 0(1)5 . 0()5 . 0(2102lllLf#四、反插值法四、反插值法分析分析问题求解问题求解 )()()()()()(302010321013yyyyyyyyyyyyyfyL )()()()()(31210132011yyyyyyyyyyyyyf )()()()()(32120231021yyyyyyyyyyyyyf )()()()()(23130321031yyyyyyyyyyyyyf 3201302. 003125. 032

17、71. 0675. 1yyy 于是有 675. 1)0()0(31*Lfx #FLagrangeLagrange 插值公式的特点：插值公式的特点： 形式对称形式对称 通常用于理论分析通常用于理论分析 当增加插值节点时，在计算实践中不方便当增加插值节点时，在计算实践中不方便4.3 Newton4.3 Newton插值插值问题问题：想要构造一个更加方便灵活的插值格式，：想要构造一个更加方便灵活的插值格式，当增加插值节点时，只需在原有格式的基础上再当增加插值节点时，只需在原有格式的基础上再增加一些即可。增加一些即可。解决方法解决方法：NewtonNewton插值（考虑多项式之间的关系）插值（考虑多项

18、式之间的关系）LagrangeLagrange插值多项式间的关系插值多项式间的关系10)()(0)()(1kixfxLkixfxLiikiik)()(1xLxLkk)()(110kxxxxxxA)()()()()()()()()()(111011100kiiiiiiikiiikiiikxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlxlxfxL)()()()(1100kiiiiiiikixxxxxxxxxfA)()(10ikikixxf注：注：A A是是L Lk k( (x x) )的首项系数。的首项系数。)(xAk一、差商的定义及性质一、差商的定义及性质jixxxfxfxxfjijiji)()(

19、,kjixxxxfxxfxxxfkikjjikji,kkkkxxxxxfxxxfxxxf02111010,一般地，一般地，K K阶差商阶差商为：为：定义定义：给定函数：给定函数f f( (x x) )在互异节点在互异节点x x0 0 x x1 1 x xn n处处的函数值的函数值f f( (x x0 0), ), f f( (x x1 1),), , f f( (x xn n) )，称，称为函数为函数f f( (x x) )在节点在节点x xi i，x xj j处的处的一阶差商一阶差商。称为函数为函数f f( (x x) )在节点在节点x xi i，x xj j，x xk k处的处的二阶差商二

20、阶差商。即即f f( (x x) )的的k k-1-1阶差商的差商称为阶差商的差商称为k k阶差商（均差）。阶差商（均差）。差商的性质差商的性质由于由于,lim)()(lim)(jixxjijixxjxxfxxxfxfxfjiji性质1：故差商是微商的离散形式。故差商是微商的离散形式。性质性质2 2：k k阶差商阶差商f f x x0 0 , ,x x1 1, , ,x xk k 可以表示为函数值可以表示为函数值f f( (x x0 0), ), f f( (x x1 1),), , f f( (x xk k) )的线性组合，即的线性组合，即,10kxxxf)()(10ikikixxfk=1,

21、2,n性质性质3 3：差商与插值节点的排列次序无关。差商与插值节点的排列次序无关。,ijjixxfxxf.,jikkijkjixxxfxxxfxxxf)(,)()(101xxxxfxLxLkkkk)()(,1010ikikikxxfxxxf)()()(110kkxxxxxxx)(,)()(11001xxxfxLxL)(,)(1100 xxxfxf)(,)()(221012xxxxfxLxL)(,)(,)(22101100 xxxxfxxxfxf)(,)()(101xxxxfxLxLnnnn)(, )(,)(,)(1022101100 xxxxfxxxxfxxxfxfnn二、二、NewtonNe

22、wton插值多项式插值多项式)()()(, )(,)(,)()(, )(,)(,)()(110101021001001022101100 xNxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxfxfxLnnnnnn,10kxxxf)()(10ikikixxfk=1,2,nRemark:Remark:递推关系递推关系)(,)()(11101xxxxxfxNxNnnnnn 差商的计算差商的计算 根据插值多项式的存在唯一性知，如果根据插值多项式的存在唯一性知，如果f f( (x x) )充充分光滑，则有估计分光滑，则有估计)()!1()()()()(1)1(xnfxNxfx

23、Rnnnn)()!1()()()(11xnMxNxfxRnnnn不足：不足：对函数的光滑性要求高；对函数的光滑性要求高；需估计导函数的最值；需估计导函数的最值；偏保守。偏保守。导数型误差导数型误差估计估计三、三、NewtonNewton插值余项插值余项)()(1xfxNn)(,)()(1101txxxxftNtNnnnn)(,)()(110 xxxxxfxNxfnnn)()()(xNxfxRnn)(,110 xxxxxfnn 差商型误差估计差商型误差估计导数和差商的关系导数和差商的关系!)(,)(10kfxxxfkk差商型误差估计特点差商型误差估计特点：对被插值函数光滑性要求：对被插值函数光滑

24、性要求不高；但不适用于实际计算。不高；但不适用于实际计算。四、例题四、例题解解 1 1）建立差商表）建立差商表1.01.52.00.84150.99750.9093 0.312-0.1764-0.4884973884. 0)5 . 18 . 1 ()0 . 18 . 1 (4884. 0)0 . 18 . 1 (312. 08415. 0)8 . 1 (2N2 2）插值）插值 Newton Newton插值多项式适用于节点任意分布插值多项式适用于节点任意分布的情形。但当节点等距分布时，可以简化的情形。但当节点等距分布时，可以简化NewtonNewton插值公式。插值公式。4.4 4.4 等距节

25、点插值等距节点插值 设设a a= =x x0 0 x x1 1 x xn n=b=b，y yi i= =f f( (x xi i) )为等距节为等距节点点x xi i=x=x0 0+ +h h( (i i=0,1,=0,1, ,n n) )上的函数值，其中上的函数值，其中h h=(=(b b- -a a)/)/n n称为称为步长步长。 在此基础上我们先定义差分，用差分在此基础上我们先定义差分，用差分表示表示NewtonNewton插值多项式，从而得到等距节插值多项式，从而得到等距节点的插值公式。点的插值公式。一、差分的定义与性质一、差分的定义与性质定义：称称 y yi i= =y yi i+1

26、+1- -y yi i( (i i=0,1,=0,1, ,n n-1)-1)为为f f( (x x) )在在x xi i处以处以h h为步长的一阶向前差分。为步长的一阶向前差分。 2 2y yi i y yi i1 1- - y yi i = =y yi i+2+2-2-2y yi i+1+1+ +y yi i ( (i i=0,1,=0,1, ,n n-2)-2)称称为为f f( (x x) )在在x xi i处以处以h h为步长的二阶向前差分。为步长的二阶向前差分。一般地，一般地， m my yi i m m-1-1y yi i1 1- - m m-1-1y yi i ( (i i=0,1

27、,=0,1, ,n n- -m m) )称称为为f f( (x x) )在在x xi i处以处以h h为步长的为步长的m m阶向前差分。阶向前差分。差分的性质差分的性质insinsnsinninnininyyCyCyCyy) 1() 1(2211性质性质1 1：各阶差分可用函数值线性表示，其计算各阶差分可用函数值线性表示，其计算公式为：公式为：其中性质性质2 2：差分与差商满足下述关系：差分与差商满足下述关系：nnnhnyxxxf!,010!) 1() 1(ssnnnCsn证明：证明：利用数学归纳法利用数学归纳法当k1时，有010110)()(,xxxfxfxxfhxfhyy1)(001即结论

28、成立。即结论成立。101110)!1(,mmmhmyxxxf设设k km-1m-1时结论成立，即时结论成立，即11121)!1(,mmmhmyxxxf则当则当k km m时，有时，有mmmmmmmmmhmymhhmyyxxxxxfxxxfxxxf!)!1(,010111021110110由数学归纳法知，结论成立。由数学归纳法知，结论成立。证毕),()(0)(0nnnnxxfhyRemark：类似地可以定义类似地可以定义向后差分向后差分与与中心差分中心差分：性质性质3 3：差分与导数满足关系：差分与导数满足关系：证明：证明：利用差商与导数、差分的关系，有：利用差商与导数、差分的关系，有：),(!

29、)(!,!0)(100nnnnnnxxnfhnxxxfhny证毕21211iiiiiiyyyyyy二、二、NewtonNewton向前向前插值公式插值公式 令令x x= =x x0 0+ +thth，由，由x xi i=x=x0 0+ih(i=0,1,+ih(i=0,1,n),n)得：得：x x- -x xi i=(=(t-it-i) )h h，则有，则有: :) 1() 1()()()(110kttthxxxxxxxkkk)(!)()()(,)()(0101010 xhkxfxfxxxxfxfxNkkknkkknkn 将差商与差分的关系式将差商与差分的关系式带入带入NewtonNewton插

30、值多项式，得插值多项式，得: :nnnhnyxxxf!,010).()(!.)(!2)()(110010202000nnnxxxxxxhnyxxxxhyxxhyxf00200100100!)1).(1(.!2)1()()(!)()()(ynntttyttytxfithhkxfxfthxNnkikkknkn) 1() 1(!)()(010ktttkxfxfknk)() 1()!1()()(,)(1) 1(1100nttthnfxxxxxfthxRnnnnn从而可得从而可得NewtonNewton向前插值多项式及其余项为：向前插值多项式及其余项为：三、差分表三、差分表x )(xf 一阶差分 二阶差

31、分 三阶差分 0 x 1x 2x 3x )(0 xf )(1xf )(2xf )(3xf )(0 xf )(1xf )(2xf )(02xf )(12xf )(03xf NewtonNewton向前插值公式向前插值公式，又称表初公式，它利用差分，又称表初公式，它利用差分表的最上面一个斜行的数值进行计算。表的最上面一个斜行的数值进行计算。四、例题四、例题4 . 00 x,1 . 0h,2351. 01 . 04 . 042351. 00hxxt 解解1)(0.23510.235120.004800.23510.090010.38942(0.42351)N0.42351)sin(241101. 0

32、#五、五、NewtonNewton向后插值公式向后插值公式 类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：关系：knkknnnhkxfxxxf!)(,1将插值节点从大到小排列，即将插值节点从大到小排列，即,2,021nhxxhxxhxxxnnnnnn 类似于向前插值公式，可得到类似于向前插值公式，可得到NewtonNewton向后插值向后插值公式公式，又称，又称表末公式表末公式，它利用差分表的最下面一个，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。斜行的数值进行计算。 同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，称

33、为称为贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）插值公式）插值公式。4.5 4.5 HermiteHermite插值插值一、问题一、问题 为在较大的范围内能更好的近似被插值函数，实际为在较大的范围内能更好的近似被插值函数，实际应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至更高阶的导数值也相同这类插值称为更高阶的导数值也相同这类插值称为HermiteHermite插值插值 nnnxxnxfxxxfxfxp)(!)()( )()(00)(000( )f

34、x0 xn)(xpn在在 附近，可用附近，可用 在在 处的处的 阶阶Taylor展开式展开式 ( )f x0 x来近似函数来近似函数( )f x显然它与显然它与0 x在在处具有相同的函数值，以及处具有相同的函数值，以及1 1到到n阶阶导数值，即有导数值，即有 ( )( )00( )( ) (0,1,2,)iinpxfxin 可将可将n阶阶Taylor公式视为在公式视为在 处满足上述条件的一种处满足上述条件的一种插值方法。插值方法。0 x)()()()()(10103xxfxxfxHiiiiii)(0 x012)(1)(10000000 xxBAxAxBAxx令1001021,12xxxBxxA

35、得到201210)( : )()( : )(xxxxxx；2101xxxx)(BAx分析分析（方法（方法1 1）：）：)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN)()()()(21023xxxxxxkxNxHkxfxH )()(003求得参数令)()(! 4)()()(2120)4(3xxxxxxfxHxf误差：误差：#方法方法2 2：（用带有重节点的差商表：（用带有重节点的差商表）2100 xxxx)()()()(2100 xfxfxfxf,211000 xxfxxfxxf)(0 xf ,210100 xxxfxxxf,2100 xxxxf)()(, )(,)

36、(,)()(10021000010000003xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxH#00000112 , , , ,f x xf x xf x xf x x000001012,f x x xf x x xf x x x0001,f x x x x240000000033000100001201( )(),(),(),(),() ()Hxf xf x xxxf x x xxxf x x x xxxf x x x x xxxxx00012xxxxx00012()()()()()f xf xf xf xf x0()fx0012,f x x x x0()2!fx00012,f x

37、x x x x 为了保证插值函数的逼近效果，需要较为了保证插值函数的逼近效果，需要较多的插值节点，导致较高的多项式次数。多的插值节点，导致较高的多项式次数。 然而在实际应用中然而在实际应用中, , 很少采用高次插值。很少采用高次插值。. .在两相邻插值节点间在两相邻插值节点间, , 插值函数未必能够很好地插值函数未必能够很好地近似被插值函数。近似被插值函数。. .对于等距节点的牛顿插值公式对于等距节点的牛顿插值公式, , 函数值的微小函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化扰动可能引起高阶差分有很大的变化. .4.6 4.6 分段插值分段插值 函数函数 在区间在区间-5,5-5,5上用上用

38、等距节点的插值问题是上世纪初等距节点的插值问题是上世纪初RungeRunge研究研究过的一个有名实例过的一个有名实例. . 在区间上分别采用在区间上分别采用1010次、次、1515次、次、2020次的等距节点插值多项式。次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高随着插值次数的提高, , 在在 范围内范围内的近似程度并没有变好的近似程度并没有变好, , 反而变坏反而变坏. . 高次高次插值并不一定带来更好的近似效果。插值并不一定带来更好的近似效果。 211)(xxf63.3x(a) (b) (c) 函数函数 的等距节点插值公式的等距节点插值公式 在区间在区间0, 5上的近似程度示意图上的近似程度

39、示意图 )/(211xy,55 x)(xpn设设 已知节点已知节点 上的函数值上的函数值 若若 满足满足 niix0niiy0)(xh., 1 , 0)(.niyxiih.)() 1, 1 , 0(,.1是低次多项式上，在xnixxhii则称则称 为分段插值函数。为分段插值函数。)(xh 是整体插值区间上的连续函数是整体插值区间上的连续函数, 随着子区间长随着子区间长度度 变小变小, 不提高子区间上的插值幂次便可以满足不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求给定的任意精度要求.但一般说来但一般说来, 在子区间的端点在子区间的端点处导数是不存在的处导数是不存在的. )(xhh 为了避

40、免高次插值的缺点，常采用分段插值，为了避免高次插值的缺点，常采用分段插值，即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。 一、一、分段分段LagrangeLagrange插值插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1 1阶多项式阶多项式 ( (直线直线) ) 逼近逼近 f f ( (x x) ): :,1 iixx11111( )( )iiiiiiiixxxxf xg xyyxxxx+-=+-, 1 iixxx失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。y yx xo oy=

41、 y= f(x(x) )y=y=g(xg(x) )分段线性插值分段线性插值分段分段二次二次插值插值分段分段HermiteHermite插值插值给定给定000,.,;,.,;,.,nnnxxyyyy在在 上利用两点的上利用两点的 y y 及及 y y 构造构造3 3次次HermiteHermite函数函数,1 iixx导数一般不易得到。导数一般不易得到。 分段插值法具有一致的收敛性分段插值法具有一致的收敛性, , 但它只保证插但它只保证插值函数整体的连续性值函数整体的连续性, , 但在连接处不一定光滑，不但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的能够满足精密机械设计（如

42、船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。外形曲线设计）对函数光滑性的要求。 早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为为样条（样条（SplineSpline），强迫它弯曲通过已知点。弹性），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的学上的三次样条插值曲线三次样条插值曲线。4.7 4.7 三次

43、样条插值三次样条插值1.1.三次样条插值函数的定义三次样条插值函数的定义 定义定义 三次样条插值函数三次样条插值函数 在每一个小区间上是在每一个小区间上是3次次的多项式的多项式, 在整个插值区间上有在整个插值区间上有4n个系数个系数. 且且有有4 4n-2-2个约束个约束: )(xs内节点内节点 1, 2 , 1) 0() 0() 0() 0()() 0() 0( nixsxsxsxsxfxsxsiiiiiii)() 0()() 0(00nnxfxsxfxs边界节点边界节点 要确定要确定4 4n n个系数，还需附加个系数，还需附加2 2个约束条件个约束条件. . 常常用的约束条件有以下三类：用的约束条件有以下三类：)()(0nxfxf此时一般有此时一般有 成立成立. . )0()0()0()0(00nnxsxsxsxs.周期性边界条件周期性边界条件 , 0)0(, 0)0(0 nxsxsnnMxsMxs )0(,)0(00.弯矩边界条件 特别的称 为自然边界条件.nnmxsmxs)0(,)0(00. .转角边界条件转角边界条件 2. 2. 三弯矩构造法三弯矩构造法记 , 基本步骤如下：), 2 , 1 , 0()(niMxsii .取 为待定参数，并用S(x)的插值条件写出 的表达式。) 1, 2 , 1(niMiiM.代入S(x)的表达式，得各个区间上的表达式。.用 在