大学课件 线性代数 行列式的定义

1、第一章第一章 行列式行列式一一n阶行列式阶行列式n n定义定义1:个数排成n行n列并记为如下形式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称其为n阶行列式（阶行列式（determinant)。D 通常用大写字母D来表示行列式。第一节第一节 行列式的概念行列式的概念111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa称数为行列式D的位于第i行第j列的元素元素ija 称为行列式的 第第i 行；行； 12(,)iiiinraaa12(,)iiiinraaa2r 为行列式的第第j 列列 njjjjaaac 21n阶行列式阶行列式111312121D例例23a312a2(2,1, 3)3

2、c 131主对角线主对角线副对角线副对角线定义定义2:所在的第i行和第j列划去后，把ija为留下的n-1阶行列式,称为ija的余子式的余子式, 记为.ijM记称( 1)ijijijAM 的代数余子式代数余子式.对于行列式来说，最为重要的是它代表一个数，这个ijAija注：注：2 行列式的余子式阶比原行列式小1.3 注意余子式与代数余子式的区别与联系。为此需要引入余子式余子式、代数余子式代数余子式的概念。数称为行列式的值，行列式的值，1对行列式我们主问题就是求其值，行列式代表数（行列式的值）行列式的值）怎样规定两个行列式相等指它们的值等；111312121D例例12M231133M122112A

3、 1 2121M2311 33A 3 3331M1221二二 行列式的值行列式的值定义定义3行列式按如下方式定义的数称为11122122aaDaa11221221a aa a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1111121211nna Aa Aa A即第一行的元素与对于的代数余子式值的乘积再求和。（Vandermonde）行列式的值行列式的值。111312121D例例11 111求行列式的值。11A 311 13 212A 121231123 513A 1312111213 故111112121313Da Aa Aa A1 225 1 35 例例2 主对角线以上的元素全是零

4、的行列式称为下三角行列式下三角行列式求其值。11212212000nnnnnaaaDaaa2232331123000nnnnaaaAaaa解1111121211nnnDa Aa Aa A111112100na AAA 1111a A其中1n为方便记号记11A为1nD111na D11212212000nnnnnnaaaDaaa223233123000nnnnnaaaDaaa其中111nnDa D1nD111112121111nna Aa AaA2211121100na AAA 2211a A而设1ia与1iA第1行第i1nD分别是列的元素和代数余子式。则331 1113201nnnnaAaa

5、2nD111nnDa D11222na a D1122nna aa1021020200410001D例例 计算下三角行列式的值等于主对角线元素乘积下三角行列式的值等于主对角线元素乘积81241计算行列式的值是行列式最重要的课题之一。计算行列式的值是行列式最重要的课题之一。三三 行列式的值的一个等价定义行列式的值的一个等价定义111213212223313233aaaaaaaaa22231 1113233( 1)aaaaa21221 3133132( 1)aaaaa21231 2123133( 1)aaaaa1122 3323 32()a a aa a1221 3323 31()a a aa a

6、1321 3222 31()a a aa a11 22 3311 23 3212 23 3112 21 3313 21 3213 22 31a a aa a aa a aa a aa a aa a a三阶行列式的值是取自不同行不同列的元素（3个）作作积积后， 这样的积共3！个（因有3！取法）然后作加或减。加或减。三阶行列式的值其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式.112233122331132132a a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa112332122133132231

7、a a aa a aa a a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa一般的1111121211nna Aa Aa A取自不同行不同列的元素（n个）作作依次展开其结果是：积积后，这样的积共n ！个（因有n ！取法）然后作加或减。加或减。问题是什么时候加或减加或减？需要以下概念。1排列与逆序数排列与逆序数通常把1, 2, ,n组成的一个有序数组称为一个排列排列，每一个数在排列中仅出现一次.在一个排列中，如果有一对数的前后位置是大数排在小数之前，则称这一对数构成一个逆序逆序,总数，称为该排列的逆序数逆序数， 记为)(21njjj逆序数为奇的排列称为奇排列奇排列， 逆序数为偶的排列称为

8、偶排列偶排列一个排列中逆序的2 逆序数的性质逆序数的性质 定理定理: 交换一个排列中的两个数，称为一个对换对换，对换改变排列逆序数的奇偶性.定理定理1 1 用则n阶行列式可以表示为3 行列式的等价定义行列式的等价定义njjj21表示对1,2,，n所组成的所有排列求和，111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa 例例2 用定理计算用定理计算下三角行列式下三角行列式nnnnaaaaaa212221110及对角行及对角行列式112200aa例例3 设有阶行列式241321252543124xxxxxxxD问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系数 注注111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa1 21 21 12 21 2()()( 1)nnn nniiij jji ji ji jj jja aa1 2niii1 2nj jj 其中 与 均是1,2,n 排列。 例例23 143241