第四节多元复合函数的求导法则

1、1复合函数的求导法则复合函数的求导法则全微分形式不变性全微分形式不变性第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则2一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)1.)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算: tzdd多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则具有连续偏导数具有连续偏导数, tuuzdd.ddtvvz

2、3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函数由于函数),(),(vuvufz在点在点 有有连续偏导数连续偏导数 vvzuuz,21vu ,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0, 0 vu tzt0lim tuuzddtvvzdd tzdd证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 4复合函数的复合函数的中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广 tzdduvwtz导数导数tzdd变量树图变量树图),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz

3、vz tudd wz tvdd twdd 称为称为多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 设设 求求xydd这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便

4、.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则7多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),

5、(vufz ),(vu应点应点则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量具有连续偏导数具有连续偏导数,2.的情形的情形.yvvzyuuzyz 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则),(),(yxyxfz 9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vex

6、veuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例 ,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求10中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形 xz yz类似地再推广类似地再推广,),(),(),(yxwyxvyxu 设设,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数复合函数),(),(),(yxyxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏导数存在的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量三个中间变量两个自变量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz y

7、vvzywwz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11例例 设设,1222wvuz xz 解解)()(23222wyvxuxwvu 自己画变量树自己画变量树uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则12),(),(yxuyxufz 其中其中即即,),(yxyxfz xz yz两者的区别两者的区别区别类似区别类似3.的情形的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把复合函数把复合函数,),(yxyxfz 中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数),(yxufz 把

8、把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13,xz yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图变量树图)sin(yxeu )sin(yxeu 例例多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x 求求而而,),sin(xyuyxezu )cos(yxeu 14 例例 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,22xu 求求.2txu 变量树图变量树图ursxtxssfxrrf 或记或记 sfxtrfx 2

9、2 u对中间变量对中间变量 r,s 的的偏导数偏导数 ),(22xttxfu 注注从而也是从而也是自变量自变量x, t 的复合函数的复合函数. 解解),(srf仍是仍是r, s 的函数的函数, 对抽象函数在求偏导数时对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则sr xu,1frf 2fsf ,rf sf 15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt变量树图变量树图,22xu 求求.2txu rs 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(22xt

10、txfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt变量树图变量树图 txu2,22xu 求求.2txu 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则)1x (rsf 2t 2 srf 217多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则解解具有二阶连

11、续偏导数具有二阶连续偏导数, 且满足且满足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研数学三年考研数学三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf18 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方程满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 为中间变量为中间变量, x, y

12、为自变量为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量引入中间变量,则则,22yxt 令令多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则19二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性),(vufz 设函数设函数具有连续偏导数具有连续偏导数, 则有则有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(时时当当yxvyxu 则有全微分则有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则

13、20解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通过全微分求所有一阶偏导数通过全微分求所有一阶偏导数,比链比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则211994年研究生考题年研究生考题,计算计算,3分分,),(),(均均连连续续可可微微设设gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx

14、 答案：答案：多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则221989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分,)(),()2(二二阶阶可可导导其其中中设设tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有连续二阶导数有连续二阶导数 解解,2yxt 设设 xz yxz20( vugyvvvuvtggxygxf 21 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y )1(2 tf多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则231990年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx

15、 cossin xfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 设设2 uf)1( 2 uuf)1( vuf多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则有连续的二阶导数有连续的二阶导数,),(),sin,2(vufxyyxfz其中其中设设 241992年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv

16、 设设yefxusin yefxuucos( 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则连续的二阶导数连续的二阶导数,有有其中其中设设),(),sin(22vufyxyefzx yefxvucos( 25) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在点在点(1,1)处可微处可微, ,且且设函数设函数,3)1 , 1( yf解解2 3)32(

17、2001年考研数学一年考研数学一, 6分分多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则由题设由题设1 x1 x 1 x26多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 (链导法则链导法则)全微分形式不变性全微分形式不变性(理解其实质理解其实质)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则三、小结三、小结(大体分三种情况大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导27思考题思考题即即次齐次函数次齐次函数是是设设,),(kzyxf),(),(zyxfttztytxfk 则结论则结论为某一常数为某一常数, );,()(zyxfkzfzyfyxfxA );,()(zyxfzfzyfyxfxBk );,()(zyxkfzfzyfyxfxC ).,()(zyxfzfzyfyxfxD C多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则正确的是正确的是( ).28思考题解答思考题解答),(),(zyxfttztytxfk 令令,txu ,tyv ,tzw 则则),(),(zyxfttztytxfk ),(),(zyxftwvufk 两边对两边对t求导求导,得得 tuuf tvvft