本构方程及NS方程学习教案

1、会计学1本构方程本构方程(fngchng)及及NS方程方程(fngchng)第一页，共71页。第1页/共71页第二页，共71页。第2页/共71页第三页，共71页。微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量(zn lin)两个组成部分。第3页/共71页第四页，共71页。微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。n线变形速度 单位时间(shjin)，单位长度的线变形称为线变形速度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：第4页/共71页第五页，共71页。)(21zuyuyzx)(21xuzuzxy)(21yuxuxyz； 角变形(bin xng

2、)速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的夹角的变形(bin xng)速度)(21zuyuyzx)(2xuzuyzxy)(21yuxuxyz第5页/共71页第六页，共71页。整理(zhngl)推广得第6页/共71页第七页，共71页。微元体内微元体内(t ni)的的质量变化率质量变化率输入输入(shr)微元体微元体的质量流量的质量流量直角坐标系中的直角坐标系中的连续性方程连续性方程输出微元体输出微元体的质量流量的质量流量y xz dzdxdyxv dydzxxvvdx dydzx第7页/共71页第八页，共71页。1 1、x x方向：方向：dtdt时间内沿从六面体时间内沿从六面体 x

3、 x 处与处与 x+dx x+dx 处输入与输出处输入与输出(shch)(shch)的质量差：的质量差：()()xxxxvvv dydzdtvdx dydzdtdxdydzdtxxdxdydzdtyvy )( dxdydzdtzvz )( Y Y方方向：向： ； Z Z方向：方向：2 2、dtdt时间时间(shjin)(shjin)内，整个六面体内输入与输出的质量差：内，整个六面体内输入与输出的质量差：()()()()()()yxzyxzvvvdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzvvvdxdydzdtxyz 第8页/共71页第九页，共71页。3 3、微元体内、微元体内(t n

4、i)(t ni)的质量变化：的质量变化：dxdydzdtt从而(cng r)有：()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt或：()()()0yxzvvvtxyz连续性方程连续性方程(fngchng)连续方程物理意义：连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。矢量形式：()0t（适用于层流、湍流、（适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体）牛顿、非牛顿流体）第9页/共71页第十页，共71页。0zvyvxvzyx上式表明，对于上式表明，对于(duy)

5、不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体恒定流或非恒定流；理想液体(yt)或实际液体或实际液体(yt)。连续性方程是流体流动微分方程最基本连续性方程是流体流动微分方程最基本(jbn)的的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。一维流动的连续方程一维流动的连续方程1122AA若流体不可压缩：若流体不可压缩：第10页/共71页第十一页，共71页。 理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的

6、重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以(jiy)推导。 l 受力分析受力分析(fnx)(fnx)：1 1、质量力：、质量力：2 2、表面力：、表面力：fxdxdydz切向应力切向应力0 0（理想流体）（理想流体）法向应力压强法向应力压强2dxxpp2dxxppx轴正方向轴正方向x轴正方向轴正方向x轴负方向轴负方向aF第11页/共71页第十二页，共71页。根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律(dngl)(dngl)得得x x轴方向的运动微分方程轴方向的运动微分方程dtduzyxzyxxppzyxxppzyxfxxddddd2ddd2dddddtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1理

7、想流体的运动理想流体的运动(yndng)(yndng)微分方程微分方程即欧拉运动微分方程即欧拉运动微分方程xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1第12页/共71页第十三页，共71页。称为物质导数或随体导数，它表示(biosh)流体微团的某性质时间的变化率。PFDtDVVVVVtDtDiixVttDtDV(1)(2)(3)第13页/共71页第十四页，共71页。应力应力(yngl)状态及切应力状态及切应力(yngl)互等定律互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzz

8、zzyxyzyzyzdyyyxyxdyy应力状态：应力状态：切应力互等定律切应力互等定律xyyxzyyzxzzx第14页/共71页第十五页，共71页。微元体表面微元体表面(biomin)力的力的总力分量总力分量X方向方向(fngxing)的表面力：的表面力：Y方向方向(fngxing)的表面力：的表面力：xyyyzydxdydzxyzZ方向的表面力：方向的表面力：yzxzzzdxdydzxyzdxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx第15页/共71页第十六页，共71页。动量动量(dngling)流量及动量流量及动量(dngling)变化率变化率y xz

9、dzdxdyxxv vx xx xv vv vdxxzxv vy xy xv vv vdyyz xz xv vv vdzzyxv v动量动量(dngling)流量流量 动量通量动量通量x流通面积流通面积图中标注的是动量的输入或输图中标注的是动量的输入或输出方向，而动量或其通量本身出方向，而动量或其通量本身的方向均指向的方向均指向x x方向，即分速方向，即分速度度v vx x的方向。的方向。第16页/共71页第十七页，共71页。x方向方向(fngxing)：2()()()yxxzxdxdydzxyz 输入输出微元体的动量输入输出微元体的动量(dngling)流量流量y方向方向(fngxing)：

10、z方向：方向：2()()()xyyzydxdydzxyz 2()()()yzxzzdxdydzxyz 微元体内的动量变化率微元体内的动量变化率x方向：方向：xdxdydzty方向：方向：ydxdydztz方向：方向：zdxdydzt流体的瞬时质量为流体的瞬时质量为dxdydzdxdydzvxX X方向的瞬时动量为方向的瞬时动量为第17页/共71页第十八页，共71页。x方向方向(fngxing)的运动方程：的运动方程：以应力以应力(yngl)表示的运动方程表示的运动方程()yxxxxxxxzxxyzxftxyzxyzy方向方向(fngxing)的运动方程：的运动方程：z方向的运动方程：方向的运动

11、方程：yyyyxyyyzyxyzyftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzftxyzxyz注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。第18页/共71页第十九页，共71页。方程方程(fngchng)的物理意义：的物理意义：方程方程(fngchng)(fngchng)左边是：任意时刻左边是：任意时刻t t通过考察点通过考察点A A的流体质点加速度的三个分量；的流体质点加速度的三个分量；方程右边是：作用方程右边是：作用(zuyng)(zuyng)在单位体积流体上的表面力和体积力在

12、各坐标上的分量。在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：方程可简略表示成：aF这就是以单位体积的流体质量为基准的这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律xxaDtDv/第19页/共71页第二十页，共71页。粘性流体运动粘性流体运动(yndng)(yndng)微分方微分方程程NavierNavierStokesStokes方程方程(fngchng)(fngchng)对一维流动问题：对一维流动问题：对粘性流体流动问题：对粘性流体流动问题：目的目的关键：关键：寻求流体寻求流体应力与变形速率应力与变形速率之间的关系之间的关系第20页/共71页第二十

13、一页，共71页。牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程(fngchng)引入的基本引入的基本(jbn)假设：假设：为了寻求流体应力为了寻求流体应力(yngl)(yngl)与变形速率之间的关系，与变形速率之间的关系，StokesStokes提出三个基本假设：提出三个基本假设：应力与变形速率成线性关系应力与变形速率成线性关系; ;应力与变形速率之间的关系各向同性；应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx第21页/共71页第二十二页，共71页。牛顿流体的本构方程牛顿流体的本构方程(fngchng)：223y

14、xxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz第22页/共71页第二十三页，共71页。本构方程本构方程(fngchng)的讨论：的讨论：正应力正应力(yngl)中的粘性应力中的粘性应力(yngl)：线变形率与流体流动：线变形率与流体流动：正应力与线变形速率：正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyz xx xxxxp 第23页/共71页第二十四页，共71页。正应力正应力(yngl)与压与压力：力：这说明：三个正压力在数值这说明：三个正压力在数值(shz)上一般不等于压力

15、，但它们的平均值却总是与压力大小相等。上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：切应力与角边形率：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。vppzzyyxxm3第24页/共71页第二十五页，共71页。流体运动微分方程流体运动微分方程(wi fn fn chn)NavierStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx适用适用(shyng)于于牛顿流体牛顿流体第25页/共71页

16、第二十六页，共71页。常见常见(chn jin)(chn jin)条件下条件下N NS S方程的表达方程的表达形式：形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用适用(shyng)于牛顿流体于牛顿流体常粘度条件常粘度条件(tiojin)下下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 第26页/共71页第二十七页，共71页。2222221xxxxxDvpfDtxxyz适用适用(shyng)于牛顿流体于牛顿流体不可压缩不可压缩(y su)流体的流体的NS方程

17、：方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量矢量(shling)(shling)形式：形式：21DvfpDt 第27页/共71页第二十八页，共71页。2222221xxxxxxxxyzxvvvvpvvvftxyzxxyz常粘度条件下不可常粘度条件下不可(bk)压缩流体的压缩流体的NS方方程：程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量矢量(shling)(shling)形形式：式：const21()vfpDt 非定常

18、项非定常项定常流动为定常流动为0静止静止(jngzh)流场为流场为0对流项对流项静止流场为静止流场为0蠕变流时蠕变流时 0单位质量流体单位质量流体的体积力的体积力单位质量流体单位质量流体的压力差的压力差扩散项（粘性力项）扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为对静止或理想流体为0高速非边界层问题高速非边界层问题0第28页/共71页第二十九页，共71页。流动微分方程流动微分方程(wi fn fn chn)的应用求解步骤的应用求解步骤(1) 根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。得针对具体问题的微分方程或方程组。(2)

19、 提出提出(t ch)相关的初始条件和边界条件。相关的初始条件和边界条件。(3) 初始条件：非稳态问题初始条件：非稳态问题边界条件边界条件固壁流体固壁流体(lit)边界：边界：流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。液体气体边界：液体气体边界：对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液体液体边界：液体液体边界：液液界面两侧的速度或切应力相等。液液界面两侧的速度或切应力相等。第29页/共71页第三十页，共71页。广义广义(gungy)(gungy)牛顿粘性应力公式牛顿粘性应力公式粘性流体动力学基本方程粘性流体

20、动力学基本方程一、应力一、应力(yngl)(yngl)张量分析张量分析二、变形二、变形(bin xng)(bin xng)速率张量速率张量三、本三、本构方程构方程四、连四、连续方程续方程六、能六、能量方程量方程五、运五、运动方程动方程七、方七、方程组的封闭性程组的封闭性第30页/共71页第三十一页，共71页。yxdudyp第31页/共71页第三十二页，共71页。xxxxyxzxyzyyxyyyzzzxzyzzppppPipjpkpppppppppxxxyxzxipjpkppyxyyyzyipjpkppzxzyzzzipjpkpp分别(fnbi)为与坐标轴x，y，z相垂直的平面上的应力 xyyx

21、ppxzzxppyzzypp 第32页/共71页第三十三页，共71页。()xxzyyzzzzk n pn pn p()()xxyyzzxxxyyxzzxxxyyyyzzynn Pn pn pn pi n pn pn pj n pn pn pp+n为任意(rny)平面的法向单位向量 cos( , )xnn icos( , )ynn jcos( , )znn k 第33页/共71页第三十四页，共71页。112233iijjjjnpn pn pn p1122331111212313()i jijjjjjjjnepn epn epn epn e pe pe p21212223233131232333(

22、)()n e pe pe pn e pe pe p例如(lr)： ijijpepi jijPeepniii jijpn Pnpnep第34页/共71页第三十五页，共71页。np =n p式中，p只是坐标位置及时间的函数p=p(x,y,z,t)。这个压力就是(jish)经典热力学平衡态意义上的压力。在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。因此，严格说来，并不存在平衡态意义上的压力(yl)。但我们可以定义一平均意义上的压力(yl)Pm, ，它是球形流体微团(也可取任意形状的流体微团，结果相同)表面所承受的法向应力Pnn的平均值的负值，即

23、第35页/共71页第三十六页，共71页。201lim4mnnAapp dAa 球面(qimin)上的法向应力nnp和球面微元面积(min j)分别可写成n1232n psincossinsincossinnnijijpnnpnnndAad d 第36页/共71页第三十七页，共71页。200sin4ijmijppnnd d 此式右侧包括(boku)9项，分别积分之，最后得1122331133miippppp 即 13miipp 第37页/共71页第三十八页，共71页。100010001xxxyxzxxmxyxzxyyyyxxyyymyxmzxyzzzzxyzzzmpppppppPpppppppp

24、pppppppmPDp即为单位二阶张量；D称作(chn zu)偏应力张量。第38页/共71页第三十九页，共71页。ijijmijpdpijdij式中为偏应力(yngl)张量的分量；为单位(dnwi)二阶张量的分量 01ijijije eij因此应力张量又可写成 i jiji jiji jmiji jijijmPeepeedeepe eee de ep第39页/共71页第四十页，共71页。xxxxyxzxyzyyxyyyzzzxzyzzEijk式中xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzzijkijkijk因此变形速率(sl)张量E可表示为i jijEee12jiijjijiVVxx式中第40页

25、/共71页第四十一页，共71页。i ii jiji jijnn Ene eenecos( , )iinn e式中 第41页/共71页第四十二页，共71页。论：n第一步，建立偏应力张量D与变形速率E之间的关系；n第二步，建立平均压力偏量与变形速率E之间的关系。第42页/共71页第四十三页，共71页。DaEbijijijdab或 式中系数a，b可以是坐标位置的函数，但由于假定各向同性( xin tn xn)，因此它们与作用面的方向无关。将该式用于牛顿平板试验，上式可写成 12yxyxudpay对比牛顿粘性应力公式yxupy可以确定系数2a第43页/共71页第四十四页，共71页。2ijijijdb系

26、数b可以应用平均压力pm的性质(xngzh)来确定。 111111222222333333222mmmVdppbxVdppbxVdppbx第44页/共71页第四十五页，共71页。123112233123323mVVVppppbxxx1122331()3mpppp 而由定义(dngy)故上式左侧(zu c)为零 于是(ysh)由 123123230VVVbxxx得2V3b 22V3ijijijd从而 22V3DE或写成第45页/共71页第四十六页，共71页。1()3miiiippppgc 式中g,c为系数，它们可以是坐标的函数，但由于假定各向同性( xin tn xn)，因此它们与平均压力偏量的

27、作用面的方向无关。第46页/共71页第四十七页，共71页。0iimpp代入上述(shngsh)关系式可得 c=0Vmiippggg Vmpp 令 则上式可写成 于是(ysh)Vmijijpp Vmpp 或或通常称为第二粘性系数，或体变形粘性系数 第47页/共71页第四十八页，共71页。22VV3ijijmijijijijijpdpp 2()V23ijijijpp 或写成此式称作广义牛顿粘性(zhn xn)应力公式。 第48页/共71页第四十九页，共71页。质，因此广义牛顿粘性应力公式不再适用。第49页/共71页第五十页，共71页。VV01122331()3mpppp 112233mpppppp

28、第50页/共71页第五十一页，共71页。V与p相比(xin b)往往是小量。因此，斯托克斯又假定0 mpp于是(ysh)， 0 V0 实际上对绝大多数气体和液体的真实流动都可以认为但是在像激波层这样的区域中，由于与p相比可能是同量级的这时候就不能再假定因此也就不能认为p=pm第51页/共71页第五十二页，共71页。0 在 的条件下，平衡态压力(yl)总是大于平均压力(yl)的结论，即ppm2VVVmpp首先(shuxin)对式上式两侧乘以 ，则可得 V单位时间内单位质量流体所作的实际膨胀功 单位时间内单位质量流体在平衡态条件下所作的可逆膨胀功 单位时间内单位质量流体所作的体积变化的耗散功 第5

29、2页/共71页第五十三页，共71页。0DDt 二、运动方程,一般形式(xngsh)的运动方程如下 V1fDPDt为作用在单位质量流体上的表面力 1P第53页/共71页第五十四页，共71页。()()ijijjiijii jijii jjiiiiijjppppPeeepeeeeeexxxxx1ijiijDVpfDtx运动(yndng)方程可写成 将广义牛顿粘性(zhn xn)应力公式代入上式 112V3iiiiDVpfDtxx 1jijjiVVxxx此式又称纳维-斯托克斯方程，向量形式为 V112fV3iiDpeDtx 1jiijijVVexxx第54页/共71页第五十五页，共71页。constc

30、onst 112V3iiiiDVpfDtxx1jijijVVxxx式中右侧(yu c)第四项中的偏微分部分可写称22jjjiiijijjjjijjjjVVVVVVxxxxxxxxxxx 2VViiiiVVxx 第55页/共71页第五十六页，共71页。21111V3iiiiijjDVVpfDtxxxx 它的向量(xingling)形式为2V111fVV3DDt =constV=02）对于(duy)不可压缩流体，由于211iiiijjDVVpfDtxxx 2V11fVDpDt 向量形式 张量形式 第56页/共71页第五十七页，共71页。211()f VV2RDVePqqDt为表面(biomin)力在单位时间内对单位质量流体所作的功。 1VPVii jijjjiiijjiiPeeepeVeep Vxxiiijjijjiie ep Vp Vxx为以热传导方式传给单位质量流体的热量。 1q由富里埃定律知 qiiTTex第57页/共71页第五十八页，共71页。211()f V2ijjRiiiDVTep VqDtxxx将以上(yshng)两式代入能量方程可得 三种(sn zhn)形式的能量方程式：能量，温度，焓 第58页/共71页第五十九页，共71页。为了使方程组封闭(fngb)，除必须给出 三个表示流体物性的确切关系式外，还必须补充6个独立方程。而这些补充