离散时间随机信号和随机过程A

1、第 五 章 离散时间随机信号及随机过程 本章内容本章内容 讨论离散时间随机信号的表示方法、特讨论离散时间随机信号的表示方法、特性、数字特征及其估计性、数字特征及其估计; ; 离散时间随机信号通过线性非移变系统离散时间随机信号通过线性非移变系统所产生的响应所产生的响应. . 5.15.1概述概述 离散时间确定信号离散时间确定信号可以用数学公式可以用数学公式 数据表格数据表格 图形等形式唯图形等形式唯一和准确地表示出来。如单位取样序列一和准确地表示出来。如单位取样序列 单位阶跃序列单位阶跃序列 指数序列指数序列 三角序列。三角序列。 离散时间随机信号离散时间随机信号不可能用确定信号的表示方法表示，

2、只能用不可能用确定信号的表示方法表示，只能用概率和统计的方法描述。概率和统计的方法描述。如投硬币，出现的正反面组成的序列。如投硬币，出现的正反面组成的序列。 信号确定性随机性非周期性周期性各态遍历非平稳平稳非各态遍历 确定性信号确定性信号5( )R n7( )na R n 随机信号随机信号 水文资料水文资料 流量概率密度估计 例例1、下列变量中，不是随机变量的是（、下列变量中，不是随机变量的是（ ） A一射手射击一次的环数一射手射击一次的环数 B水沸腾的温度点水沸腾的温度点C抛掷两枚骰子，所得点数之和抛掷两枚骰子，所得点数之和 D某电话机在时间某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫内收到的呼叫次

3、数次数 E. 语音信号语音信号 地震信号地震信号 广播信号广播信号 电电视视信号信号 例例1、下列变量中，不是随机变量的是（、下列变量中，不是随机变量的是（ ） A一射手射击一次的环数一射手射击一次的环数 是是B水沸腾的温度点水沸腾的温度点 不是不是 C抛掷两枚骰子，所得点数之和抛掷两枚骰子，所得点数之和 是是D某电话机在时间某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫内收到的呼叫次数次数 是是E. 语音信号语音信号 地震信号地震信号 广播信号广播信号 电电视视信号信号 是是5.2 随机变量的描述随机变量的描述 随机变量随机变量x概率分布函数定义概率分布函数定义(x不超过某个值不超过某个值X的的概率概

4、率)()xP XxX的概率 分布函数的重要性质分布函数的重要性质(1)单调非减函数单调非减函数(X为实数为实数)(2)212,xxXXP XP X1若 则有（） （）()0()1xxxxPP XPP X X-X（）=（ ）=limlim (3) 右连续右连续(4) ()xP X(0)()xxP XP X()xiP XXX如果在处不连续，则在这点的阶跃等于随机变量在这点的概率。 连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数 离散随机变量的概率质量函数离散随机变量的概率质量函数(概率密度概率密度函数不存在函数不存在)()()()( )xxXxxP XpXXP Xpx dx()xpXxX的概

5、率 概率质量函数与概率分布函数的关系概率质量函数与概率分布函数的关系: 连续随机变量连续随机变量 x 的概率密度函数的性质的概率密度函数的性质:)()(xpXPXxxX()0;()1;()( )( )xxbxxxapXpX dXpX dXP bP a 例例5.1 投掷硬币投掷硬币 例例5.2 均匀分布均匀分布 例例5.3 量化误差量化误差 计算概率分布函数和概率质量计算概率分布函数和概率质量函数较麻烦函数较麻烦,引入随机变量的数引入随机变量的数字特征字特征.(统计特性统计特性) 如果随机变量是电压或电流，那么其均如果随机变量是电压或电流，那么其均值就是该电压或电流的直流分量。值就是该电压或电流

6、的直流分量。 dxxxpxEmxx XxxxxxpxEm 随机变量的数值特征(1) (1) 均值均值( (统计平均或集合平均统计平均或集合平均, ,期望值算子期望值算子) ) ( (连续连续) ) ( (离散离散) ) 均值的性质均值的性质: : yExEyxE xaEaxExy yExExyE（ 与与 线性独立线性独立意义：反映了离散型随机变量取值的平均水平意义：反映了离散型随机变量取值的平均水平.22xxmxE 22xx XE xx px dxxpxxEx22（2 2）方差）方差（3 3）均方）均方值值随机随机 222xxmxE意义：意义： 反映了随机变量的波动与离散的程度反映了随机变量的

7、波动与离散的程度（4 4）物理意义）物理意义 设随机变量是电压或电流，则设随机变量是电压或电流，则 均方值均方值 是在单位电阻上消耗的总的平是在单位电阻上消耗的总的平均功率均功率; ; 方差方差 是交流成分在单位电阻上消耗的是交流成分在单位电阻上消耗的平均功率；平均功率； 均值的平方均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗是直流成分在单位电阻上消耗的平均功率的平均功率. . . .2E x2x222xxE xm 总平均功率等于交流成分的平均功率总平均功率等于交流成分的平均功率与直流成分的平均功率之和与直流成分的平均功率之和 x x的的n n阶原点矩阶原点矩 x x的的n n阶中心矩阶中心矩nmn(

8、 )nnxnE xx px dxm 11()()( )nnxnExmxmpx dx均值均值等于随机变量的一阶原点矩，等于随机变量的一阶原点矩，均方值均方值等于随等于随机变量的二阶原点矩，机变量的二阶原点矩，方差方差等于随机变量的二阶等于随机变量的二阶中心矩。中心矩。练习练习 求在区间（求在区间（ ）均匀分布的随机）均匀分布的随机变量的均值和方差。变量的均值和方差。 ba, 2222121 12 2 ,0 ,1abdxabbaxdxxpmxbadxabxdxxxpmbxaabxpbaxxxbaxxx其它练习练习已知已知随机变量为瑞利分布随机变量为瑞利分布,求瑞利变求瑞利变量的均值和方差。量的均值

9、和方差。 222exp, 020, xxxxpx其它22202222202exp22exp22-2xxxxxmxdxxxxmdx练习练习 求正态分布的随机变量的均值和方差。求正态分布的随机变量的均值和方差。 222exp21mxxpx22222221exp221exp22xxxmmxdxmxmxmdx 5.3 离散随机过程（1 1）离散随机过程）离散随机过程 由无限多个随机变量构成的一个时间序列由无限多个随机变量构成的一个时间序列构成一个随机过程构成一个随机过程. . nxn仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的还应该知道不同时刻随机变量之间的关还应该知道不同时刻

10、随机变量之间的关系系,引入联合概率分布函数和联合概率密引入联合概率分布函数和联合概率密度函数度函数. 5 3 mmmmmxxxxxxxxxxnnnnn，nmnnmm2，nm，nmnm，nmnnmm随机变量 ， 的联合概率分布函数，描述了他们之间的互相依存关系：P（X ，n，X ，m）=xX 同时xX 的概率对连续随机变量：二维联合概率密度函数P（X ，n，X ，m）p（X ，n，X ，m）=XX对离散随机变量：二维联合概率质量函数p（X ，n，X ，m）=xX 同时xX 的概率类似地类似地,可以定义高阶联合概率分布可以定义高阶联合概率分布/联合概率密度联合概率密度/联合概率质量函数联合概率质量

11、函数 （2 2）统计独立随机过程）统计独立随机过程 如果随机过程在不同时刻的随机变量互不如果随机过程在不同时刻的随机变量互不影响，则称诸随机变量是统计独立的。统计影响，则称诸随机变量是统计独立的。统计独立的两随机变量的联合概率分布函数等于独立的两随机变量的联合概率分布函数等于它们各自的概率分布函数之积。它们各自的概率分布函数之积。mmxxxxnn，nmnmP（X ，n，X ，m）=P（X ，n）P（X ，m） 要完整地描述一个随机过程要完整地描述一个随机过程,需要知道它的所有随需要知道它的所有随机变量的概率密度函数和所有可能的联合概率密机变量的概率密度函数和所有可能的联合概率密度函数度函数.一

12、般地一般地,不同时刻的概率密度函数是不同的不同时刻的概率密度函数是不同的,二维随二维随机变量机变量(xn,xm)与与(xn+k,xm+k)的联合概率密度函数也的联合概率密度函数也是不同的是不同的.（3）狭义平稳随机过程）狭义平稳随机过程如果满足如果满足:mmm kxxxxxxnnn+knmx，nm，n+km+kp（X ，n）=p（X ，m）=p（X）p（X ，n，X ，m）=p（X，n+k，X，m+k）称为狭义平稳的随机过程称为狭义平稳的随机过程. 概率密度函数与时间变量无关，且联合概率密度函数与时间变量无关，且联合概概率密度函数只与两随机变量间的时间间隔率密度函数只与两随机变量间的时间间隔m

13、-m-n n有关，而与时间起点无关的随机过程。有关，而与时间起点无关的随机过程。例如伯努利过程就是一个狭义平稳随机过程例如伯努利过程就是一个狭义平稳随机过程. .（4 4）随机过程的数值特征）随机过程的数值特征xxxmdxnxxpmnn, 222,xEdxnxpxxEnxn222,xxxxdxnxpmxnnn狭义平稳随机过程的这些参数是与时间无关的狭义平稳随机过程的这些参数是与时间无关的常量常量（5 5）相关序列和协方差序列）相关序列和协方差序列 mnmnxxmnmnxxdXdXmXnXpXXxxEmnRmn,*mnmnxxmnmnxydYdXmYnXpYXyxEmnRmn,*,mnxmxnx

14、xmxmxEmnC*,mnymxnxymymxEmnCmnxxxxxxmmmnRmnC,mnyxxyxymmmnRmnC,关系关系 举例举例: CDMA的不同用户是以的不同用户是以PN（伪随机码（伪随机码）码来编制的，地址的选择就是用相关性来区）码来编制的，地址的选择就是用相关性来区分的分的. 正常情况下正常情况下, CDMA系统各地址码间的系统各地址码间的互相关性很小互相关性很小, 但如果互相关性很大，则多址但如果互相关性很大，则多址干扰就越大干扰就越大. 要求各要求各PN码之间的互相关系数尽可能码之间的互相关系数尽可能小，另外用户越多，小，另外用户越多，PN码的长度就会越长，码的长度就会越

15、长，则在接收端的同步时间也长则在接收端的同步时间也长.（6 6）狭义平稳随机过程的相关序列和协方）狭义平稳随机过程的相关序列和协方差序列差序列 一般情况下，相关序列和协方差序列都是二维序列一般情况下，相关序列和协方差序列都是二维序列但是，狭义平稳随机过程的相关序列和协方差序列，但是，狭义平稳随机过程的相关序列和协方差序列，却都只是时间差的函数而与时间起点无关，因而都只却都只是时间差的函数而与时间起点无关，因而都只是一维序列。是一维序列。 *mnnxxxxEmR *mnnxmnxnxxmxmxEmC *mnnxyyxEmR *mnnymnxnxymymxEmC（7 7）广义平稳随机过程）广义平稳

16、随机过程 均值是常数均值是常数( (与时间无关与时间无关) )、自相关序列只与时间差有、自相关序列只与时间差有关而与时间起点无关的随机过程，称为广义平稳随机过程关而与时间起点无关的随机过程，称为广义平稳随机过程简称为平稳随机过程或平稳过程。简称为平稳随机过程或平稳过程。( (概率密度函数以及联概率密度函数以及联合概率密度函数与时间起点有关合概率密度函数与时间起点有关. .但统计特性与时间起点但统计特性与时间起点无关无关, ,只与时间差有关只与时间差有关.).) *mnnxxxxEmRxxxmdxnxxpmnn, 广义平稳随机过程的条件更加宽松广义平稳随机过程的条件更加宽松,只只对统计特性作出规

17、定对统计特性作出规定.而狭义平稳随机过程的条件更加严格而狭义平稳随机过程的条件更加严格,对概率函数作出规定对概率函数作出规定,从而统计特性从而统计特性也会满足要求也会满足要求. 例例5.7 随机过程由许多随机变量按一定的时间顺序排列的一个序列随机过程由许多随机变量按一定的时间顺序排列的一个序列, ,每个随机变量由均值每个随机变量由均值、方差、均方值、自相关函数来描述方差、均方值、自相关函数来描述, ,都是都是由统计平均或集合平均计算得到由统计平均或集合平均计算得到. .5.4 时间平均要得到无限多个取样序要得到无限多个取样序列是不可能的列是不可能的,是不现实是不现实的的.两个实验两个实验(投硬

18、币投硬币) 设想有无数个人设想有无数个人,他们在同一时刻他们在同一时刻N以完全相同以完全相同的方式各投掷一枚硬币的方式各投掷一枚硬币,所有硬币完全相同所有硬币完全相同.可可以预料大约有一半投掷的结果为正面以预料大约有一半投掷的结果为正面,另一半另一半的人投掷结果为反面的人投掷结果为反面. 只有一个人投掷一枚硬币只有一个人投掷一枚硬币,不断地以完全相同不断地以完全相同的方式投掷无数次的方式投掷无数次.同样可以预料同样可以预料,投掷结果为投掷结果为正面和反面的次数各为一半正面和反面的次数各为一半. 对第一个实验求集合平均对第一个实验求集合平均;对第二个实验求时对第二个实验求时间平均间平均,两个结果

19、一样两个结果一样.第二个实验更有实用价第二个实验更有实用价值值.（1 1）随机过程的一个取样序列的所有取样值的随机过程的一个取样序列的所有取样值的算术平均值，称为随机过程的时间平均值，简称算术平均值，称为随机过程的时间平均值，简称时间平均时间平均 NNnNnxNnx121lim （2 2）取样自相关序列）取样自相关序列 根据随机过程的一个取样序列，用时间平均根据随机过程的一个取样序列，用时间平均定义的自相关序列，称为该随机过程的定义的自相关序列，称为该随机过程的取样自取样自相关序列相关序列，即，即 mnxnxNmnxnxNNnN*121lim （3 3）遍历性随机过程）遍历性随机过程 如果一个

20、平稳随机过程的集合平均，等于如果一个平稳随机过程的集合平均，等于它的一个取样序列的时间平均，则称它是遍历它的一个取样序列的时间平均，则称它是遍历性随机过程。性随机过程。 xmnx mRmnxnxxx* 一般地一般地,在信号处理中在信号处理中,对一平稳随对一平稳随机信号机信号xn,如果它的所有取样序列在某一如果它的所有取样序列在某一确定时刻的统计特性确定时刻的统计特性,与它的一个取样序与它的一个取样序列在长时间内的统计特性一致列在长时间内的统计特性一致,则称则称xn是是各态遍历性信号各态遍历性信号. 也就是说单个取样序列随时间变也就是说单个取样序列随时间变化的过程化的过程,可以包含该随机信号所有

21、取样可以包含该随机信号所有取样序列的取样值序列的取样值.（4 4）随机过程的均值和自相关序列的估计）随机过程的均值和自相关序列的估计 xNnNmnxNnx101 mRmnxnxNmnxnxxxNNn 121*11*N尽可能地大尽可能地大5.5 相关序列和协方差序列的性相关序列和协方差序列的性质质 nnxxnn mxxnxn mxxynn mxynxn myxyRmE x xCmE xmxmRmE x yCmE xmym和是两个实平稳随机过程：（ ）=（ ）= （）（）（ ）=（ ）= （）（） 22210 xxxxxxyxyxyxxxxxyxyxxnxn mxnn mxnxn mxxxxxyn

22、xn mynn mynxn mCmRmmCmRmm mCmRmCmRmCmE xmxmE x xm E xm E xmRmmCmE xmymE x ym E xm E y性质 ：（ ）= （ ）-（ ）= （ ）-如果均值为 ，则 （ ）= （ ）， （ ）= （ ）证明：（ ）= （）（）（ ）-（ ）= （）（）xyxyxym mRmm m= （ ）- 222220000 xxnxxxxxnnnxxnxnxxRE xCRE x xE xCE xmxm性质 ：（ ）=（ ）=证明：根据定义（ ）=（ ）= （）（） = 22xxxxxxxxxyyxxyyxxxnn mxxxxnmnxxxxx

23、xxxxxRmRmCmCmRmRmCmCmRmE x xnmnRmE xxRmCmRmmRmmCm，性质3：（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）证明：根据定义 （- ）=令则 （- ）=（ ）（- ）= （- ）-（ ）-（ ） 000000 xyxxyyxyxxyyxxxxxxxxRmRRCmCCRmRCmC1/21/2性质4：（ ）（ （ ） （ ）（ ）（ （ ） （ ）特例：（ ）（ ）（ ）（ ） 22221/21/200000 /00 200000nn mnn mnn myynn mxxyyxxxxyyxyxxyyxyxxyyxyEE xE yE

24、x Rx yRRyRRRRmRRRmRR21/21/21/21/2证明： 由于是实平稳随机过程（）（）（）（ ） 2（ （ ） （ ）（ ）（ ） （ ）2 （ ）/（ （ ） （ （ ）所以（ ）（ （ ） （ ） 00000225,nn nyyxxyyxxnn nyynn mn nn nmxxnnmyyyyyynn nxyyyyyxxyxRmRmCmCmn nnyxRmE y yE xxE x xRmCmRmmmE yE xmCmRmmR，0性质 ：若则有 （ ）= （ ） （ ）= （ ）证明：令 -，根据定义，有（ ）=（ ）（ ）= （ ）-由于故 （ ）= （ ）-2xxxmmCm

25、（ ）-（ ） 26xxxyxxxxyxyCCRmRm mmmmm性质 ：在随机过程中，两随机变量的时间间隔越大，它们的相关性越小。时间间隔趋于无穷大的两随机变量，它们之间不再相关（m）=0， （m）=0 所以（m）=，（m）=limlimlim lim 61.2.xxxxRCm性质 说明：（m）和 （m）都是非周期序列，都随绝对值的增大而衰减；虽然随机变量信号的付氏变换和Z变换都不存在，但其自相关函数和互相关函数是有限能量的信号，它们的付氏变换和Z变换是存在的，可以在频域分析这些信号。3.自相关函数反映随机变量之间的相关性，而且可以计算均值 均方差和方差，是能全面描述随机过程的重要参数。 m

26、xxR（m）xxC（m）2xm2x2x2E x00m5.6 功率谱1 1）平稳随机过程的平稳随机过程的自协方差序列（或自相自协方差序列（或自相关序列）的傅里叶变换（或关序列）的傅里叶变换（或Z Z变换）称为功率变换）称为功率谱谱 mmxxxxzmCzS mmxxxxzmRzS mmjxxjxxemReS功率密度谱功率密度谱 deSRxEjxxxxn2102逆变换逆变换 deeSmRdzzzSjmRmjjxxxxmcxxxx 12121（2 2）实平稳随机过程的功率谱的性质）实平稳随机过程的功率谱的性质（1 1）非负）非负（2 2）实函数）实函数（3 3）偶函数）偶函数0jxxeSjxxjxxe

27、SeSjxxjxxeSeS mmxyxyzmRzS mmjxyjxyemReS或或性质：性质：jyxjxyeSeS练习练习 求均值为零、方差为求均值为零、方差为 、自相关序、自相关序列为列为 的白噪声随机过程的的白噪声随机过程的功率谱。功率谱。2x mmRxxx2 222 mxxxxmmmmmjxxmSzRm zm zSe 练习练习 求随机相位正弦序列的功率谱求随机相位正弦序列的功率谱 0sin nAnx 是在是在 内均匀分布的随机相位。内均匀分布的随机相位。),( 02 cos cos21 2cos21cos21 sinsin , 0,21002020200项为而第是常数，因为其它mmAmE

28、AmEAnAnAEmnxnxEmRpxx 002022022 ,2121 4 22 cos200000AeSedeeeeeAeeeAemAemReSjxxmjmjmmjmjmmjmjmjmmjmjmjmmmjxxjxx所以因为练习练习 设随机过程的自相关序列设随机过程的自相关序列为为求该随机过程的功率谱。求该随机过程的功率谱。 1 ,mxxmR 220000cos211 11111 1 1 jjmmjmmmjmmmjmmmjmmmjmmmjxxjxxeeeeeeeemReS前前3个例子个例子:功率谱都是功率谱都是实实的的非负非负的的偶函数偶函数5.7 离散随机信号通过 线性非移变系统有一冲激响

29、应为有一冲激响应为的线性非移变系统，的线性非移变系统，它的输入端作用一它的输入端作用一个平稳随机信号个平稳随机信号 ，在输出端得到另一在输出端得到另一平稳随机信号平稳随机信号 kkkxknhknxkhny nh nx ny1. 的均值的均值 nyym consteHmkhmknxEkhknxkhEnyEmjxkxkky0 2. 2. 的自相关序列的自相关序列 nymnnRyy, mkrmRrhkhrmnxknxErhkhrmnxrhknxkhmnynyEmnnRyyrxxkrkkryyR E , khhhhxxhhlxxklxxyylkhkhlRmRmRlRlmRlkhkhlmRmRlkr w

30、here 3. 3. 的功率谱的功率谱 ny zSyy nx ny lRlmRmRhhlxxyy zHzHzSzSzHzHzmRzSzmRzSzmRzSzSzSzSxxyymmhhhhmmxxxxmmyyyyhhxxyy11 , where zHpzz0zz zSyypzz1pzz0zz01zz nh 2jjxxjyyeHeSeS在 为实序列的情况下，有如果系统是稳定的，那么如果输入是一个均值为零、方差为 的平稳白噪声随机信号，那么 2x22jxjyyeHeS 1yyxxSzSz H z Hz输入随机信号与输出随机信号的互相关序输入随机信号与输出随机信号的互相关序列列 mRmhkmRkhkmnxnxkhkmnxkhnxmnynxEmRxxxxkkkxy E E mhmhkmhkhmRkhh mRmhmRxxxy mRmRmRhhxxyy mRyy mRxy mhmhmRmRxxyy mhmRmRxyyy mhmhmRmRxxyy mRmhmRxxxy mhmRmRxyyy mhmh hHHH 2x2xxx22xxxxyx2xyxxy2xjjxy2x如果输入是一个零均值的平稳白