统计学第五章

1、第五章第五章 本章包括平均指标和变异指标两部分本章包括平均指标和变异指标两部分内容，阐述了平均指标的概念和作用；各内容，阐述了平均指标的概念和作用；各种平均数的计算原则、方法与应用条件；种平均数的计算原则、方法与应用条件；主要的平均指标主要的平均指标( (算术平均数、调和平均算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数数、几何平均数、众数和中位数) )；变异；变异指标的作用、计算方法和运用条件；主要指标的作用、计算方法和运用条件；主要的变异指标的变异指标( (全距、平均差、标准差及其全距、平均差、标准差及其系数系数) )。第一节第一节 平均指标反映同类现象的一般水平，是平均指标反映同类现象

2、的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定。也是对变量分布集中趋势的测定。数据集中区数据集中区变量变量x 常用的平均指标常用的平均指标指标名称指标名称 简单平均数简单平均数 公式公式 加权平均数公式加权平均数公式算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数中位数中位数将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值众数众数总体中出现次数最多的标志值总体中出现次数最多的标志值NXXNii1NiiNiiiffXX11NiiHXNX11NiiiNiiHXmmX1

3、1NiGXXiiffiGXX一、平均指标的概念一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总平均指标，是同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志在一定时间、地体内各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下数量差异抽象化的代表性水平点和条件下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值表现为平均数。指标，其数值表现为平均数。二、平均指标的作用二、平均指标的作用 ( (一一) )利用平均指标，可以了解总体次数分利用平均指标，可以了解总体次数分布的集中趋势布的集中趋势 ( (二二) )利用平均指标，可以对若干同类现象利用平均指标，可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究在不同单位、地区间进行比

4、较研究 ( (三三) )利用平均指标，可以研究某一总体某利用平均指标，可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势的发展过程和趋势二、平均指标的作用二、平均指标的作用 ( (四四) )利用平均指标，可以分析现象之间利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系的依存关系( (五五) )平均指标可作为某些科学预测、决策平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据和某些推算的依据原始数据原始数据:105913685 . 868613951066543211XXXXXXNXXNii一、算术平均数的基本形式一、算术平均数的基本形式公式

5、公式5151总体单位总数总体标志总量算术平均数二、算术平均数的计算方法二、算术平均数的计算方法 ( (一一) )简单算术平均数简单算术平均数总体单位总数总体标志数值之总和简单算术平均数用符号表示用符号表示: :公式公式5252nXnXXXXXn321例例5151 某机械厂某生产班组有某机械厂某生产班组有1010名工人，生产名工人，生产某种零件，每个工人的日产量分别为某种零件，每个工人的日产量分别为4545件，件，4848件，件，5252件，件，6262件，件，6969件，件，4444件，件，5252件，件，5858件，件，3838件，件，6464件。件。试用简单算术平均数法计算工人平均日产量。

6、试用简单算术平均数法计算工人平均日产量。 （件）2.53105321064385852446962524845nXX( (二二) )加权算术平均数加权算术平均数各组单位数的总和位数乘积的总和各组标志数值与该组单加权算术平均数设分组后的数据为：设分组后的数据为：X1 ，X2 ， ，Xn相应的频数为：相应的频数为： f1 ， f2， ，fn加权均值的计算公式为加权均值的计算公式为niiniiinnnffXffffXfXfXX11212211公式公式53例例 5-35-3 （元）工人月平均工资50.172720003455000fXfX表表3-1 某车间某车间50名工人日加工零件均值计算表名工人日加

7、工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组组中值（组中值（Xi）频数（频数（fi）Xifi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计合计506160.0计算计算50 名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值（个）2.12350616011niiniiiffXX 权数实质：权数对算术平均数的影响作用权数实质：权数对算术平均数的影响作用不决定于各组单位数的多少，而决定于各组不决定于各组单

8、位数的多少，而决定于各组单位数的比重大小。单位数的比重大小。 当各组次数都相等时，权数就不起作用，当各组次数都相等时，权数就不起作用，加权算术平均数等于简单算术平均数。加权算术平均数等于简单算术平均数。 即当：即当：nxfxfAfffn 时21 加权算术平均数的另一公式：加权算术平均数的另一公式：ffxx公式公式54 三、算术平均数的几个主要数学性质三、算术平均数的几个主要数学性质 ( (一一) )平均数与次数和的乘积等于平均数与次数和的乘积等于所有变量值所有变量值( (数量标志值数量标志值) )的总和。的总和。xnx(二二) 各变量值与均值的离差之和等于零各变量值与均值的离差之和等于零nii

9、XX12min)(niiXX10)(第三节第三节 一、调和平均数的概念一、调和平均数的概念 调和平均数是平均数的一种，它是调和平均数是平均数的一种，它是根据变量值的倒数计算的，是变量值倒根据变量值的倒数计算的，是变量值倒数的算术平均数的倒数，故又称倒数平数的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。均数。二、简单调和平均数二、简单调和平均数XnXXXXnHn11111321公式公式55三、加权调和平均数三、加权调和平均数 公式公式5656123312123nnnmmmmmHmmmmmXXXXX例例 5-45-4 （元）为：平均每千克（39.55102056500XmmHH 一、几何平均数的概念和特点

10、一、几何平均数的概念和特点 几何平均数不同于算术平均数和调和平几何平均数不同于算术平均数和调和平均数，均数， 是是n n个变量值连乘积的个变量值连乘积的n n次方根，是次方根，是计算平均比率和平均速度时比较适用的一种计算平均比率和平均速度时比较适用的一种方法，符合人们的认识规律。方法，符合人们的认识规律。二、几何平均数的计算方法二、几何平均数的计算方法 ( (一一) )简单几何平均数简单几何平均数公式公式5757nnnXXXXXG321例例5555 车间制品平均合格率车间制品平均合格率%93.91%87%91%93%974nXG( (二二) )加权几何平均数加权几何平均数公式公式5858fff

11、nffffnnfffXXXXXG321332211例例5656 求反对数得本利率：求反对数得本利率：G G103.75%103.75%平均年利率平均年利率103.75%103.75%100%100%3.75%3.75%这就是说，这就是说，2525年间的年平均本利率为年间的年平均本利率为103.75%103.75%，年平均利率为年平均利率为3.75%3.75%。01600.22540002.50lglgfXfG一、众数一、众数 在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在统计上称为众数。统计上称为众数。 下限公式下限公式: :iLiffffffLM211)10)1

12、0)100(公式公式5959 上限公式上限公式: :iUiffffffUM212)10)10)100(公式公式510510表表3-9 某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）累积频数累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计合计50计算计算50名名工 人 日 加工 人 日 加工 零 件 数工 零 件 数的众数的众数)(1235)1014()814(8141200个M为偶数时当为奇数时当NXXNXMNNNe1222121 将总体各单位

13、标志值按大小顺序排列，处于将总体各单位标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值就是中位数数列中点位置的标志值就是中位数1）根据位置公式确定中位数所在的组）根据位置公式确定中位数所在的组2）采用下列近似公式计算：）采用下列近似公式计算：3） 该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布ifSfLMmme12某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人） 累积频数累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650

14、合计合计50计算计算50 名工人日加工零件数的中位数名工人日加工零件数的中位数)(21.12351416250120个eM( (一一) )必须注意所研究社会经济现象的同质性必须注意所研究社会经济现象的同质性( (二二) )必须注意用组平均数补充说明总平均数必须注意用组平均数补充说明总平均数( (三三) )必须注意应用分配数列补充说明平均数必须注意应用分配数列补充说明平均数( (四四) )必须注意一般与个别相结合，把平均数和必须注意一般与个别相结合，把平均数和典型事例结合起来典型事例结合起来( (五五) )平均指标要与变异指标结合运用平均指标要与变异指标结合运用一、标志变异指标的概念和作用一、标

15、志变异指标的概念和作用 ( (一一) )标志变异指标的概念标志变异指标的概念 标志变异指标是反映统计数列中以标志变异指标是反映统计数列中以平均数为中心，总体各单位标志值的差平均数为中心，总体各单位标志值的差异大小范围或离差程度的指标。异大小范围或离差程度的指标。 ( (二二) )标志变异指标的作用标志变异指标的作用 1.1.标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小。标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小。 2.2.标志变异指标可以反映社会经济活动过程的标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性和均衡性。节奏性和均衡性。 3.3.标志变异指标可以反映总体单位标志值的均标志变异指标可以反映总体单位

16、标志值的均匀性和稳定性。匀性和稳定性。 4.4.标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素。数应考虑的重要因素。 二、标志变异指标的计算方法二、标志变异指标的计算方法 ( (一一) )变异全距变异全距 变异全距最大标志值最小标志值变异全距最大标志值最小标志值公式公式513513变异全距最高组上限最低组下限变异全距最高组上限最低组下限公式公式514514 ( (二二) )平均差平均差 1.1.如果掌握的是未经分组的如果掌握的是未经分组的( (原始数列原始数列) )资料，则采用简单算术平均式。资料，则采用简单算术平均式。公式公式515515nXX

17、DA. 例例5-115-11（件）第二组平均差为（件）第一组平均差为6.71076.2810280.nXXDAnXXDA 2.2.如果掌握的资料是分组数列时，则应如果掌握的资料是分组数列时，则应采用加权算术平均式。采用加权算术平均式。公式公式516516ffXXDA. 例例5-125-12（箱）965.01000965.ffXXDA ( (三三) )标准差标准差 1.1.简单平均式。简单平均式。公式公式517517nXX2 2. 2.加权平均式。加权平均式。公式公式518518ffXX2 某车间某车间50名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分按零件数分组组组中值组中

18、值(X)频数频数(f)(X- X )2(X- X )2f105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计合计503100.5计算工人日加工零件数的标准差计算工人日加工零件数的标准差（个）87. 7505 .3100)(2ffXX 3. 3.是非标志的标准差。是非标志的标准差。 公式公式519519)1(pppq ( (四四) )标准差系数标准差系数公式公式520520XV指标名称指标名称 概概