求轨迹的几种求法实用教案

1、第1页/共56页第一页，共56页。三、定义(dngy)法分析题设几何(j h)条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.第2页/共56页第二页，共56页。椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的定义：的定义：双曲线的定义双曲线的定义(dngy)(dngy)：抛物线的定义抛物线的定义(dngy)(dngy)：圆的定义：圆的定义：|PC|=r (r0)|PF1| + |PF2| = 2a (2a |F1F2|)|PF1| - |PF2| = 2a (0 2a |F1F2|)|PF| = dP-l (F l)第3页/共56页第三页，共56页。由题设条件，根据圆锥曲线的定

2、义确定由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定(qudng)(qudng)曲线的形状后，直接写出曲线曲线的形状后，直接写出曲线的方程的方程一、定义一、定义(dngy)(dngy)法求轨迹方程的特法求轨迹方程的特征征二、二、“定义定义(dngy)(dngy)法法”求轨迹方程的求轨迹方程的一般步骤一般步骤一一 建轴设点建轴设点二二 定型定型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 围围第4页/共56页第四页，共56页。：定义：定义(dngy)法法第5页/共56页第五页，共56页。 例例2已知已知B，C是两个定点是两个定点(dn din)，|BC|8， 且且ABC的周长等于的周长等于18， 求这个三角形的顶

3、点求这个三角形的顶点A的轨迹方程的轨迹方程第6页/共56页第六页，共56页。练习(linx)：知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点(dngdin)A的轨迹方程答：答：)0(1162522yyx14已第7页/共56页第七页，共56页。ACOyxO1O2M练习：已知两圆练习：已知两圆C1：(x4)2y2169， C2：(x4)2y29，动圆在圆，动圆在圆C1内部且和圆内部且和圆C1内切，和圆内切，和圆C2外切，外切， 求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹(guj)方程方程第8页/共56页第八页，共56页。ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与

4、差不放。C第9页/共56页第九页，共56页。CP例3：变式2：169rr13-rM第10页/共56页第十页，共56页。1 1、如图，圆、如图，圆C C：(x+1)2+y2=9(x+1)2+y2=9内一点内一点A(1A(1，0)0)，与圆，与圆 上一动点上一动点Q Q的连线的连线AQAQ的垂直平分线交的垂直平分线交CQCQ于于P P当当Q Q在圆在圆C C上运动一周时，则动点上运动一周时，则动点P P的轨迹的轨迹(guj)(guj)方程为方程为_Cy xAQP问题问题(wnt)2(wnt)2第11页/共56页第十一页，共56页。OxyQ QPF1F2问题问题(wnt)2(wnt)22 2、已知椭

5、圆的焦点是、已知椭圆的焦点是F1F1、F2F2，P P是椭圆上的一个动是椭圆上的一个动点，如果延长点，如果延长F1PF1P到到Q Q，使得，使得|PQ|=|PF2|PQ|=|PF2|，那么动点，那么动点Q Q的的轨迹轨迹(guj)(guj)是是 （ ）(A)(A)圆圆 (B) (B)椭圆椭圆 (C)(C)双曲线的一支双曲线的一支 (D) (D)抛物线抛物线第12页/共56页第十二页，共56页。【探究1】如图,已知线段(xindun)AB=4,动圆O与线段(xindun)AB切于点C,且AC-BC=2 ,过点AB分别作O的切线,两切线相交于P,且PO均在AB同侧,建立适当坐标系,当O位置变化时,

6、求动点P的轨迹E的方程.2第13页/共56页第十三页，共56页。【解析】以AB的中点O为坐标(zubio)原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标(zubio)系(图略),则A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).222第14页/共56页第十四页，共56页。问题问题1 1：一动：一动(ydng)(ydng)圆与圆圆与圆O1O1：(x+3)2+y2=4(x+3)2+y2=4外切，同时与圆外切，同时与圆O2O2：(x-(x-3)2+y2=93)2+y2=9内切，求动圆圆心的轨迹方程，并内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线说明它是什

7、么类型的曲线在两定圆不动的前提下，适当在两定圆不动的前提下，适当(shdng)(shdng)改变改变其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？ 第15页/共56页第十五页，共56页。已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹的轨迹(guj)方程方程.（1）PAB的周长为的周长为10;（2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）为动圆圆心）;（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.【

8、例题【例题(lt)3】第16页/共56页第十六页，共56页。【解析】【解析】(1)(1)根据题意根据题意(t y)(t y)，知，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的轨迹是椭圆，点的轨迹是椭圆， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b= b= ， 因此其方程为因此其方程为 （y0y0）. . （2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|P

9、B|=1.|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为双曲线的右支，点的轨迹为双曲线的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a= ,c=2,b= a= ,c=2,b= ， 因此其方程为因此其方程为第17页/共56页第十七页，共56页。（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口(ki ku)向左，p=4. 方程为y2=-8x.第18页/共56页第十八页，共56页。1.动点P到定点(dn din)(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2， 则P点的轨迹方程是_.的轨迹方程是的轨迹方程是则圆心则圆

10、心相内切相内切同时与圆同时与圆外切外切与圆与圆一动圆一动圆如图如图PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,2222 2.,)0 , 3(,64)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 3.【练习【练习(linx)3】) 1(0 xy1362722yx第19页/共56页第十九页，共56页。15105-5-10-30-20-1010PNABM,:PBPM 由由已已知知可可得得解解.,)0 , 3(,64)3(22的的轨轨迹迹方

11、方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 6, 4 ABAM又又为为焦焦点点的的椭椭圆圆的的轨轨迹迹是是以以点点BAP,)0(12222 babyax设设椭椭圆圆的的方方程程为为62 , 82: ca由题意得由题意得171622 yxP的的轨轨迹迹方方程程为为点点AMPAPM 且且ABPBPAPMPA 8734222 b【练习【练习(linx)3】第】第3题题第20页/共56页第二十页，共56页。【练习【练习(linx)3】第】第3题题-变式变式.,)

12、0 , 3(,16)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 16第21页/共56页第二十一页，共56页。.,)0 , 3(,16)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 16【练习【练习(linx)3】第】第3题题-变变式式,:PBPM 由已知可得由已知可得解解1

13、5105-5-10-15-20-101020PNABM6, 4 ABAM又又64 PAPBPAPM为为焦焦点点的的双双曲曲线线的的左左支支的的轨轨迹迹是是以以点点BAP,)0, 0( 12222 babyax设双曲线的方程为设双曲线的方程为62 , 42: ca由题意得由题意得523222 b)2(15422 xyxP的的轨轨迹迹方方程程为为点点AMPAPM 且且AMPAPM 且且ABPAPBPAPM 4第22页/共56页第二十二页，共56页。8. (能力题,中)设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点,另有A(1,0),线段(xindun)AQ的垂直平分线交直线CQ于点P,当点Q在圆上运

14、动时,点P的轨迹方程是_.22xy143第23页/共56页第二十三页，共56页。解析:设P(x,y),点P是线段AQ垂直平分线上的一点(y din),|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点P的轨迹是以点AC为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b2=3,点P的轨迹方程为 .22xy143第24页/共56页第二十四页，共56页。222222212222212例 ：求下列动圆圆心M的轨迹(1)与圆C:(x+2) +y =4内切,且过点A(2,0);（2）与圆C:x +(y-1) =1和圆C :x +(y+1) =4都外切;(3)与圆C:(x+3) +y =9外切,且与圆C

15、:(x-3) +y =1内切.22:(1)1(1)()3yxx 解左支2243(2):41()()34xyy上支且在两圆外部22(3)1(2).45xyx方法：利用双曲线的定义(dngy)求轨迹方程第25页/共56页第二十五页，共56页。第26页/共56页第二十六页，共56页。题目(tm)(tm)中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P P（x,yx,y）的解析式. .一、直接一、直接(zhji)(zhji)法法第27页/共56页第二十七页，共56页。例例3如图，设点如图，设点A、B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线直线(zhxin)AM

16、,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为 ,求求M的轨迹方程的轨迹方程.49ABMyOx方法方法(fngf)3：直接法直接法第28页/共56页第二十八页，共56页。,:,.C. 1F 1 0l x1 PPlQQP QFFP FQP 典例 已知点直线为坐标平面上的动点 过 作直线 的垂线 垂足为点且求动点 的轨迹方程第29页/共56页第二十九页，共56页。,Q1,y ,(, ),(, )2,y .:4x.2P x yQP QFFP FQx1 02yx1 yC y 【解】设动点则由得化简得第30页/共56页第三十页，共56页。【例题【例题(lt)1】.,259,),05()

17、,05(的的轨轨迹迹方方程程求求顶顶点点于于所所在在直直线线的的斜斜率率之之积积等等边边，的的两两个个顶顶点点坐坐标标分分别别是是CBCACBAABC 则有则有的坐标为的坐标为解：设顶点解：设顶点),(yxC5,5 xykxykBCAC25955 xyxy由由题题意意知知092525922 yx化化简简得得192522 yx即即) 5( x)5( x)5( x第31页/共56页第三十一页，共56页。2.与圆x2+y2-4x=0外切(wi qi)，且与y轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是_.y2=8x(x0)或y=0(x0)1.已知一曲线是与两个定点(dn din)O(0,0)、A(3,0)距离的比

18、为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是_.22(1)4xyPABxyo解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得由题，得即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹得动圆圆心的轨迹(guj)方程为方程为 y=0(x0)【练习练习】2222221(1)42(3)xyxyxy平方化简得:第32页/共56页第三十二页，共56页。9. (经典(jngdin)题,中)ABC的顶点B(-1,0),C(2,0)若ACB=2ABC,则顶点A的轨迹方程为_.()22yx1 x13第33页/共56页第三十三页，共56页。第34页/共56页第三十四页，共56页。第35页/共56页第三十五页，共56页。二

19、、待定系数(xsh)法题目题目(tm)已知曲线类型已知曲线类型,正确设出曲线的标准方正确设出曲线的标准方程程,然后结合问题的条件然后结合问题的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的满足的等式等式,求得其值求得其值,再代入所设方程再代入所设方程.第36页/共56页第三十六页，共56页。1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经轴，且经过过(jnggu)点点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_212xy 【练习【练习(linx)2】NoImage._412736222则双曲线方程为则双曲线方程为线的实轴长为线的实轴长为且双曲且双曲有共同的

20、焦点有共同的焦点、设双曲线与椭圆、设双曲线与椭圆，yx 15422yx第37页/共56页第三十七页，共56页。第38页/共56页第三十八页，共56页。四、代入法（相关(xinggun)点法） 当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。 设所求动点 P坐标 (x,y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据(gnj)点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.第39页/共56页第三十九页，共56

21、页。讲授讲授(jingshu)新课新课例例1.yx. 2的轨迹中点，求线段线段轴作垂向从这个圆上任意一点半径为心为坐标原点，如图，已知一个圆的圆MPPPPxP第40页/共56页第四十页，共56页。例例2、如图，在圆、如图，在圆 上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动在圆上运动(yndng)时，时，线段线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？224yx分析：点分析：点P在圆在圆 上运动，点上运动，点P的运动引的运动引 起点起点M运动。运动。224yx解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，点，点P

22、的坐标为的坐标为(x0,y0)，则，则 x=x0,y=y0/2.因为点因为点P (x0,y0)在圆在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。22400yx224yx2244yx2214xy第41页/共56页第四十一页，共56页。此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间变量变量(binling)x0,y0求求轨迹方程轨迹方程【例题【例题(lt)4】.)0 , 6(,191622连连线线的的中中点点的的轨轨迹迹方方程程求求它它与与定定点点上上移移动动一一动动点点在在椭椭圆圆Myx 第42页/共56页第四十二页

23、，共56页。【练习【练习(linx)4】的的轨轨迹迹方方程程。的的中中点点为为垂垂足足，求求线线段段，作作垂垂线线段段轴轴向向，从从圆圆上上任任意意一一点点已已知知圆圆PMNNMNxMyx4. 122 .,2. 2的的轨轨迹迹方方程程求求点点且且满满足足上上在在点点轴轴上上滑滑动动和和轴轴分分别别在在和和两两个个端端点点长长为为线线段段PBPPAABPyxBAaAB 1422 yx222ayx第43页/共56页第四十三页，共56页。第44页/共56页第四十四页，共56页。五、参数(cnsh)法如果轨迹动点P（x，y）的坐标(zubio)之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用

24、一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.第45页/共56页第四十五页，共56页。【例题【例题(lt)5】 解：解：设动直线方程为：设动直线方程为：y=x+b， 和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），），则则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与联立消去参数与联立消去参数b，得：得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段）（椭圆内的一段）倾斜角为450450的直线与椭圆 交于A A、B B两点，求ABAB中点的轨迹(guj)(guj)方程。 xyoAB14)2(22 y

25、x第46页/共56页第四十六页，共56页。【练习【练习(linx)5】1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹(guj)方程。 14)2(22 yx2. 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线(qxin)C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。 AoxyBCPoxyMA第47页/共56页第四十七页，共56页。【练习【练习(linx)5】 解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），）， 由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消参数得

26、：消参数得： x2+4y2-2x=01.1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点(zhn din)(zhn din)的轨迹方程。 oxyMA14)2(22 yx第48页/共56页第四十八页，共56页。2.如图,过点A(-3,0)的直线(zhxin)l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。 AoxyBCPG解法一：利用解法一：利用(lyng)韦达定理韦达定理解法解法(ji f)二：点差法二：点差法 连连PO交交CB于于G.设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)

27、 (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx 解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习练习5】第49页/共56页第四十九页，共56页。,( , ),.,.22yx14M 0 1lA B1OlPOPOAOB2lMP 典例1.设椭圆方程为过点的直线 交椭圆于点 是坐标原点 上的动点 满足当 绕点旋转时 求动点 的轨迹方程第50页/共56页第五十页，共56页。,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1lklA x yB x yA Bykx1x yx yyx14【解】直线 过点当 的斜率存在时设其斜率为则 的方程为设由题设可得点 的坐标是方程组的解,()2kx30,(,)2(,). 221221221212224kx2kxx4k8yy4kxxyy1OPOAOB22k44k4k 将代入并化简 得所以于是第51页/共56页第五十一页，共56页。,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1lklA x yB x yA Bykx1x yx yyx14【解】直线