第四不定积分ppt课件

1、第四章第四章 不定积分不定积分. 求求它它的的导导数数”已已知知一一个个函函数数，如如何何微微分分学学的的基基本本问问题题是是“. . 了了积积分分学学这这就就产产生生分分学学的的逆逆问问题题的的函函数数，这这类类问问题题是是微微数数的的导导数数，要要求求原原来来那那么么，如如果果已已知知一一个个函函分分：积积分分学学包包括括两两个个基基本本部部 不不定定积积分分和和定定积积分分4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一一 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念.) )( ( )()()()( )()( . 1上的原函数上的原函数在区间在区间或或就称为就称为，那么函数，那么函数或

2、或，都有，都有上，对上，对如果在区间如果在区间定义定义IdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxI xxcos)(sin )0(1)(ln xxx.cossin的的原原函函数数是是xx.), 0(1ln内的原函数内的原函数在区间在区间是是xx原函数原函数 . 1问问题题：原原函函数数存存在在的的条条件件？ . 1系系？不不同同的的原原函函数数之之间间的的关关 . 3原原函函数数的的个个数数？ 2.原函数存在定理：原函数存在定理：延续函数一定有原函数延续函数一定有原函数. . (2) 原函数之间的关系原函数之间的关系:).()( )( )( xfxFIxxFIxf ，都都有有，使使函函数数可可

3、导导内内的的连连续续函函数数，则则存存在在是是区区间间设设定定理理原原函函数数都都是是，则则对对任任意意常常数数）原原函函数数不不唯唯一一若若（注注意意：)()( )()( 1xfCxFCxfxF xCxxxcos)(sincos)(sin 例如.)()()()()(CxGxFxfxGxF 则则的原函数，的原函数，都是都是和和若若为为任任意意常常数数原原函函数数为为，则则其其全全体体的的一一个个原原函函数数求求得得得得来来的的而而一一旦旦问问它它是是由由什什么么函函数数求求导导的的原原函函数数，实实质质上上就就是是注注：求求函函数数)()()()()(CCxFxFxfxf 不定积分不定积分 .

4、 2恣意常数恣意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量.)( )()()( )()( 2 dxxfxfCxFxfxfxFI不不定定积积分分，记记作作的的称称为为的的全全体体原原函函数数数数，则则的的一一个个原原函函是是上上，设设函函数数在在区区间间定定义义例1 求.d5xx 解,656xx.665Cxdxx.Cxdxxarctan112dxx2112求例 211)(arctanxx 解例例3 3 设曲线经过点设曲线经过点(1,2),(1,2),且其上任一点处的切且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的

5、两倍，求此曲线方程. .解设曲线方程为)(xfy 根据题意知,2xdxdy,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线经过点1，2, 1 C所求曲线方程为. 12 xy的一个原函数是即xxf2)(不不定定积积分分的的几几何何意意义义 . 3.)( )( )( )()( )( 簇簇的曲线的曲线所得一切积分曲线组成所得一切积分曲线组成意平移意平移积分曲线沿纵轴方向任积分曲线沿纵轴方向任的某一的某一积分在几何上表示积分在几何上表示的不定的不定的积分曲线。于是的积分曲线。于是的图形为的图形为数，则称数，则称的一个原函的一个原函是是若若xfxfxfxFyxfxF 0 xy)(xFy CxFy)(. 相平行相平

6、行作切线，则这些切线互作切线，则这些切线互处处曲线上横坐标相同的点曲线上横坐标相同的点显然，若在每一条积分显然，若在每一条积分注注: 1) 求导数与求不定积分是互逆运算求导数与求不定积分是互逆运算CxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf )()(;)()()()(; )()(或或2) 同一函数的不定积分的结果方式会不同同一函数的不定积分的结果方式会不同 CxarcdxxCxdxxcot11;arctan1122可用求导数的方法验证正确性可用求导数的方法验证正确性.实例实例 xx 11.11Cxdxx 由于积分运算和微分运算是互逆的，因此由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根

7、据求导公式得出积分公式可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二二 根本积分表根本积分表根根本本积积分分表表 kdx)1( dxx )2( xdx)3(阐明：阐明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln CxxdxkCkx( 是常数是常数)1(11 CxCx |ln dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot xdxxtansec)10(Cx

8、 sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex dxax)13()10( ln aaCaax且且例4 求积分.2dxxx 解dxxx2dxx25Cx125125Cx2772Cxdxx1)2(1根据基本积分公式. 公式来求不定积分公式来求不定积分积分积分的形式，再用幂函数的的形式，再用幂函数的只需将其化为只需将其化为时时分式或根式表示的，这分式或根式表示的，这注：有些被积函数是用注：有些被积函数是用 x dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.此性质可推行到有限多个函数之和的情

9、形此性质可推行到有限多个函数之和的情形三三 不定积分的性质积分法那么不定积分的性质积分法那么 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k 例5 求解。dxxx)1213(22dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C 例6 求解.)1 (122dxxxxxdxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx1112dxxdxx1112Cxx|lnarctan为两个函数之和被积函数变形化dxxx241例7 求解：原式dxxx24111dxxx)111(22Cxxx arctan33例8 求解.2cos11dxxdxx

10、2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx 注：注： 被积函数有时需求进展恒等变形，再运用根本积分表被积函数有时需求进展恒等变形，再运用根本积分表.例9：求dxxxx22sincos2cosdxxxxx 2222sincossincos解：原式 dxxdxx22cos1sin1Cxx tancot解解,sinsec)(2xxxf dxxxxf sinsec)(2,costanCxx , 5)0( f, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy.)5 , 0(sinsec)(,()( 92，求此曲线的方程，求此曲线的方程轴的交点为轴的交点为，且此曲线与，且此曲线与斜率为斜率为处的切线处