世纪金榜高三文科数学总复习平面向量的数量积资料PPT学习教案

1、世纪金榜高三文科数学总复习平面向量世纪金榜高三文科数学总复习平面向量的数量积资料的数量积资料第1页/共60页定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角, ,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_,_,_ab【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)向量的夹角:OAOB AOB0180ab=90第2页/共60页(2)平面向量的数量积:定义定义设两个非零向量设两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数

2、量积的数量积, ,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘积的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos第3页/共60页(3)数量积的性质:设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则ea=ae= _.cos=_.ab_.a ba b|a|cos|a|b|第4页/共60页(4)数量积的运算律:交换律:ab=ba.数乘结合律:(a)b= _= _.分配律:a(b+c)

3、=_.(ab)a(b)ab+ac第5页/共60页(5)平面向量数量积的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则数量积数量积ab=_=_模模 | |a| |_夹角夹角cos cos _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_2211xy121222221122x xy yxyxyx1x2+y1y2x1x2+y1y2=0第6页/共60页2.必备结论 教材提炼记一记(1)a与b为两非零向量,则ab_.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa= _或者|a|=_,0a=_.a aab=0|a|20第7页

4、/共60页(3)平面向量数量积运算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b2第8页/共60页3.必用技法 核心总结看一看(1)常用方法:基底法;坐标法.(2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当.第9页/共60页【小题快练】1.思考辨析 静心思考判一判(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若

5、ab0,则向量a,b的夹角为钝角.()第10页/共60页【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负.(2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到ab.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错误.当ab=-|a|b|时,a与b的夹角为.答案:(1)(2)(3)(4)第11页/共60页2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,则a与b的夹角=.【解析】因为ab=|a|b|cos,所以cos=又因为0180,故=30.答案:3034 332 42，a ba b第12页/共60页(

6、2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=.【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),若互相垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2= ,所以k= .答案:155555第13页/共60页3.真题小试 感悟考题试一试(1)(2014新课标全国卷)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab=()A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解ab.【解析】选A.因为|a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10,a2+b

7、2-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.106106第14页/共60页(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.【解题提示】先求出c的坐标,再代入向量夹角公式,解方程即可求出m的值.第15页/共60页【解析】由于a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),又由于c与a的夹角等于c与b的夹角,即cos=cos,也就是即得解得m=2.答案:2| | | | |，a cb ca cb cm42 2m24 m42 2m2520，第16页/共60页(3)(2015青岛模拟)已知|a|=

8、2,向量a与b的夹角是 ,则a在b上的投影是.【解析】a在b上的投影是|a|cos =答案:-343422 ()2.2 2第17页/共60页考点1 平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2015湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a, =b, =c,则ab+bc+ca=.(2)(2015大庆模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 的值为, 的最大值为.BC CA AB DE DC DE CB 第18页/共60页【解题提示】(1)利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小.(2)结合已知条件建系,利用坐标求解.第19页/共60页【规范解答】(1)如图,得a与b,b与

9、c,c与a的夹角都是120,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=11cos120+11cos120+11cos120答案:-13() 3.22 32第20页/共60页(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0),0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),所以 =1.又因为 =(1,0),所以 =t1.答案:11DE CB DE DC DE CB DC 第21页/共60页【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?方法一:选取 作为基底,设 0t1,则= =0+1=1. =t1.答案:11AB,AD AEtAB

10、 ， DE CBtABADAD 2tAB ADAD DE DCtABAD AB 第22页/共60页方法二:利用几何意义可知= =1.设则= =|t|1.答案:11DE CBDE DA DE DA cos EDADE cos EDA DAAEt AB ，DE DCDE ABDE 1 cos AED AEt AB 第23页/共60页【易错警示】解答本例题(1)易出现如下错误在解题过程中,只看到ABC是等边三角形,就误认为a与b,b与c,a与c的夹角均为60从而错解.第24页/共60页【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求 上的投影.【解析】方法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F,由投

11、影的定义知, 上的投影是 .方法二:如图,向量 的夹角是EDC,所以 上的投影是| |cosEDC=DEDC 在DEDC 在12DEDC 在DEDC 在DE 11121.42114第25页/共60页【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.第26页/共60页【变式训练】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2

12、-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.第27页/共60页【加固训练】1.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得 t+1-t=0,所以t=2.答案:212第28页/共60页2.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =.【解析】以A为原点,以AB,AD为x,y轴建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)故 =(1,2), =(-2,2).

13、故 =1(-2)+22=2.答案:2AE BD AE BD AE BD 第29页/共60页考点2 平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014山东高考)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m=()(本题源于教材必修4P107例6)A.2 B. C.0 D.-(2)已知向量 与 的夹角为120,且| |=3,| |=2.若AP= + ,且 试求实数的值.6AB AC AB AC AB AC APBC ，3333第30页/共60页【解题提示】(1)由向量数量积的定义和坐标运算列出关于m的方程求解.(2)利用 作基底,利用已知垂直关系得到的方程求解.ABAC

14、，第31页/共60页【规范解答】(1)选B.ab=3+ m,ab=|a|b|cos= 所以 所以m= .3232 9m2，233m39m ,3第32页/共60页(2)因为所以 =0,即=故(-1)32(- )+4-9=0,解得= .BCACAB,APABAC.APBC, 又AP BC ( ABAC) ACAB 22(1)AB ACACAB0, 12712第33页/共60页【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的

15、夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.a ba b第34页/共60页【变式训练】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则a与b的夹角是()【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a与b的夹角的余弦值为 则a与b的夹角是 .242A. B. C. D.333341,82 b ab a23第35页/共60页【加固训练】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.【解析】由|a|=

16、|a+2b|,设a与b的夹角为,等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos=答案:-221.33 a bba bb13第36页/共60页2.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),则x=.【解析】由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为a(a-b),所以a(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案:0或2第37页/共60页考点3 平面向量数量积的应用知考情 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值,是高考考查数量积的一个重要考向,常与三角、平面几何、解析几

17、何等知识相联系.以选择题、填空题为主,是中低档题.第38页/共60页 明角度命题角度1:根据向量数量积求模或模的范围【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的取值范围是( ) A.4,6 B.C. D. 3CD OAOB OD 191, 1912 3,2 771, 71第39页/共60页【解题提示】把 拆分为 + ，再利用|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.【规范解答】选D.CD OD OC |OAOBOD|OAOBOCCD |OAOBOC|CD|71. OAOBOC|CD|71 | OA

18、OBOCCD|OAOBOD . 第40页/共60页命题角度2:利用平面向量数量积求参数的值【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若 则的值为.AE AF1 ，第41页/共60页【规范解答】如图，所以解得=2.答案：21AEABBEABAD,3 1AFADDFADAB, 11AE AF(ABAD) (ADAB)3 2211 31ABAD ABAD3341 3410 22 2 cos 1201.333 第42页/共60页悟技法根据数量积求模或参数的值(范围)的一般思路(1)利用数量积求模:通常利用已知找准基

19、底或坐标,利用基底或坐标运算,有时需用化归思想,转化为其他问题求解.(2)利用数量积求参数的值(范围):通常有两种运算法,一是基底法,二是坐标法,找准解题目标,利用已知条件列出方程或方程组求解即可.第43页/共60页 通一类1.(2015六盘水模拟)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,若(a+mb)a,则实数m的值为()A.1 B. C.2 D.3【解析】选D.由题意得(a+mb)a=a2+mab=32+m32cos120=9-3m=0,解得m=3.23第44页/共60页2.(2013湖南高考)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|

20、c|的最大值为()A. 2 1 B. 2C. 21 D. 22第45页/共60页【解析】方法一:选C.条件|c-a-b|=1可以理解成如图的情况而|a+b|= ,向量c的终点在单位圆上,故|c|的最大值为 +1.方法二:选C.由题意,得|a|=|b|=1,ab=0,所以|a+b|= ,因为|c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.222第46页/共60页设c与a+b的夹角为,则|c|2-2|c| cos+2=1,即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10,解得 -1|c| +1.故|c|的最大值为 +1.2222222第47页

21、/共60页3.(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为 ,则 的最大值等于.【解析】6xb22222221212xxxxy2xyxye ebee222222xxxy3xyxy2xycos6，第48页/共60页当x=0时, =0;当x0时,令 =t,则 4,所以 的最大值为2.答案:2xb2222x1yy13xx，byx2222x11t3t131(t)24bxb第49页/共60页创新体验4 平面向量数量积中的创新问题【创新点拨】1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题通常以数量积运算为核心,通过数形结合,转化化归

22、等途径,解决与几何有关的问题,或以向量自身为背景,解决有关模、夹角等问题.2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等.第50页/共60页【新题快递】1.(2014安徽高考)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()2A. B. C. D.0336第51页/共60页【解题提示】对x1y1+x2y2+x3y3+x4y4的可能结果进行讨论,根据各选项分别判断.【解析】选B.设a,b夹角为,x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下3种可能:(1)2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4ab=4|a|2|a|cos=8|a|2cos.(3)|a|2+2ab+|b|2=5|a|2+2|a|b|cos.易知(2)最小,则8|a|2cos=4|a|2,解得cos= = .123第52页/共60页2.(2015泉州模拟)对任意两个非零向量 定义 若平面向量a,