第2章 电阻电路的等效变换(2003)

1、1第二章第二章 电阻电路的等效变换电阻电路的等效变换掌握要点：掌握要点： 1. 等效及其转换概念等效及其转换概念 2. 无源网络的等效变换方法无源网络的等效变换方法(串、并、混串、并、混; ; Y变换变换) 3. 含源支路的等效变换方法（串、并、含源支路的等效变换方法（串、并、 电源模型的等效变换）电源模型的等效变换） 4. 一端口输入电阻的计算一端口输入电阻的计算22-1 等效网络及等效变换等效网络及等效变换 N端网络端网络任何只有N个引出端子与外部 电路相连接的部分电路。 eg1. 二端网络二端网络：任何只有两个引出端子与外部 电路相连接的部分电路。 N1N2eg2. 三端网络端网络：+R

2、1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y3外特性外特性网络端子处的端电压与端电流之间的关系 （VCR曲线或VCR方程）。 即对外电路而言的VAR曲线。Niuab 如如单个二端元件的单个二端元件的VCRVCR方程即为外特性。在电路方程即为外特性。在电路分析中，常常需要进行等效变换，如将不包含待求分析中，常常需要进行等效变换，如将不包含待求电压和电流的网络部分进行等效化简，从而有利于电压和电流的网络部分进行等效化简，从而有利于求解网络。求解网络。而网络的等效化简必须在等效变换的前而网络的等效化简必须在等效变换的前提下进行。提下进行。4等效定义：等效定义： 两个客体只要在某一方面

3、有两个客体只要在某一方面有相同的表现，就说二者在这相同的表现，就说二者在这一意义上等效。一意义上等效。例： 白马白马日行千里日行千里 花马花马日行千里日行千里 尽管二者颜色、高矮、肥瘦不同，但在日行千里日行千里 这点上二者是相同的，等效的。因为为了达到 日行千里之目的，用白马和用花马之间无任何区别。等效网络等效网络 如果两个端点一一对应的如果两个端点一一对应的n n端网络端网络N N和和N N 具有相同的外特征，则二者相互等效，具有相同的外特征，则二者相互等效， 并互称为等效网络。并互称为等效网络。5 设设N与与N 分别为二个无源二端网络，分别为二个无源二端网络，是等效的。与相同时，与当NNi

4、fuifu) ()(NiuabiNbua 粗略地讲两者等效是指两者具有 相同的电气性能； 从物理意义上讲，两者等效是指在其 端口处，对任一同一个外电路而言能 有同样的电路效果，即当加有同样端 电压时，两端子电流一样，或反之； 从数学概念上讲(即是上述的定义), 即两者端口处对外电路而言具有 完全相同的数学模型完全相同的数学模型(VAR方程)， 或说两者的外特性曲线相重合。6VAR“完全相同完全相同”意味着意味着“等效等效”是指对是指对任意的任意的外外电路等效电路等效，而不是指对某一特定的外电路等效。从外特性曲线上看必须是两者的外特征曲线相重合才能对任意的外电路等效；而仅在某工作点处相交，则意味

5、着仅对某特定的外电路等效。 等效是对网络的外部电路而言的等效是对网络的外部电路而言的（变换后对外电路 而言 两者端子处VAR相同）；而两个网络内部并 不等效，因为往往两者的内部 结构是不同的。 等效变换等效变换 将一个已知结构及参数的网络变换成与 此网络相等效的另一种结构和参数的网络。 其作用是使网络结构简化，从而有利于电路的求解计算。7 2-2 电阻的串联和并联电阻的串联和并联1. 电路特点电路特点:一、一、 电阻串联电阻串联 ( Series Connection of Resistors )+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流各电阻顺序连接，流

6、过同一电流 (KCL)；(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。8KVL u= u1+ u2 +uk+un 由欧姆定律由欧姆定律uk = Rk i( k=1, 2, , n )结论结论：Req=( R1+ R2 +Rn) = Rku= (R1+ R2 +Rk+ Rn) i = Reqi等效等效串联串联电路的电路的总电阻总电阻等于各等于各分电阻之和。分电阻之和。 2. 等效电阻等效电阻Req+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRku+_Reqi93. 串联电阻上电压的分配串联电阻上电压的分配由由kkkkkRRRRiRiRuu eqeq即即电压与电阻成

7、正比电压与电阻成正比故有故有例例：两个电阻分压：两个电阻分压, 如下图如下图+_uR1R2+-u1-+u2i+_uR1Rn+_u1+_uni( 注意方向注意方向 !)10二、电阻并联二、电阻并联 (Parallel Connection)inR1R2RkRni+ui1i2ik_1. 电路特点电路特点:(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。11等效等效由由KCL:i = i1+ i2+ + ik+ in故有故有i = u/R1 +u/R2 + +u

8、/Rn=u(1/R1+1/R2+1/Rn) = u / Req即即1/Req= 1/R1+1/R2+1/Rn令令 G =1 / R, 称为称为电导电导Geq=G1+G2+Gk+Gn= Gk= 1/RkinR1R2RkRni+ui1i2ik_2. 等效电阻等效电阻Req+u_iReq12Rin=1.36.513由由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1故故 R=1/G=13. 并联电阻的电流分配并联电阻的电流分配eqeq/GGRuRuiikkk 由由即即 电流分配与电导成正比电流分配与电导成正比故有故有 对于两电阻并联，对于两电阻并联，R1R2i1i2i13 1.3 6.5 Rin=?

9、有有( 注意方向注意方向 !)13要求要求：弄清楚串、并联的概念。：弄清楚串、并联的概念。例例1.R = 4(2+36) = 2 2 4 3 6 R 计算举例：计算举例：三、三、 电阻的串并联（混联）电阻的串并联（混联）混联电路是既含有电阻串联又有 电阻并联的电路（左图为一例）。 混联电路有时支路很多看上去 电路很复杂，但因它可通过 串联和并联加以简化，仍属 简单网络。分析时关键要掌握 “串联同流”、“并联同压”。14 R = (4040+303030) = 30 40 30 30 40 30 R40 40 30 30 30 R例例2.15例例3.解：解： 用分流方法做用分流方法做用分压方法做

10、用分压方法做RRIIII2312 818141211234 V 3412124 UUURI121 V 3244 RIURI234 求：求：I1 ,I4 ,U4+_2R2R2R2RRRI1I2I3I412V+_U4+_U2+_U1_接讲1-34页例RI121 162-3 电阻的电阻的Y形连接和形连接和形连接的形连接的等效变换等效变换一问题的提出一问题的提出 不能用串、并联等效变换加以简化的网络称为复杂网络。复杂网络中最常见的是含有Y形和形连接的网络，如桥式二端网络。它不能用串、并联等效变换将网络化为单支路。仔细观察：网络中含有Y形联接的网络（或形联接的网络）。若将Y或（Y），则该类复杂网络便可用

11、串并联等效变换加以简化。17二二. 星形联接与三角形联接的电阻的星形联接与三角形联接的电阻的 等效变换等效变换 ( Y 变换变换)无无源源三端无源网络三端无源网络:引出三个端钮的网络，引出三个端钮的网络，并且内部没有独立源。并且内部没有独立源。三端无源网络的两个例子：三端无源网络的两个例子： ，Y网络：网络：Y型型网络网络 型型网络网络 R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y18下面是下面是 ，Y 网络的变形：网络的变形： 型电路型电路 ( 型型) T 型电路型电路 (Y 型型)这两种电路都可以用下面的

12、这两种电路都可以用下面的 Y 变换方法来做。变换方法来做。下面要证明下面要证明：这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，：这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，是能够相互等效的。是能够相互等效的。等效的条件等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y , 且且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y 19Y接接: 用电流表示电压用电流表示电压u12Y=R1i1YR2i2Y 接接: 用电压表示电流用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y = 0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y i3 =u31 /R31 u23

13、/R23i2 =u23 /R23 u12 /R12R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Yi1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(2)20133221231Y312Y1YRRRRRRRuRui1332213Y121Y23Y2RRRRRRRuRui1332211Y232Y31Y3RRRRRRRuRui由式由式(2)解得：解得：i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(3)根据等效条件，比较式根据等效条件，比

14、较式(3)与式与式(1)，得由，得由Y接接接的变换结果：接的变换结果： 213133113232233212112RRRRRRRRRRRRRRRRRR321133132132233212112GGGGGGGGGGGGGGGGGG或21类似可得到由类似可得到由 接接 Y接的变换结果：接的变换结果： 122331233133112231223223311231121GGGGGGGGGGGGGGGGGG312312233133123121223231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR或上述结果可从原始方程出发导出，也可由上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y接接 接接的变换结果直

15、接得到。的变换结果直接得到。22简记方法：简记方法： RR 相相邻邻电电阻阻乘乘积积特例：若三个电阻相等特例：若三个电阻相等(对称对称)，则有，则有 R = 3RY( 外大内小外大内小 )13或或YYGG 相相邻邻电电导导乘乘积积注意注意：(1) 等效对外部等效对外部(端钮以外端钮以外)有效，对内不成立。有效，对内不成立。(2) 等效电路与外部电路无关。等效电路与外部电路无关。R31R23R12R3R2R123应用：简化电路应用：简化电路例例1. 桥桥 T 电路电路1k 1k 1k 1k RE1/3k 1/3k 1k RE1/3k 1k RE3k 3k 3k 24例例2. 双双 T 网络网络2

16、-1, 2-6; 2-4(思考思考)。252-4 实际电源的两种模型及其等效变换 前面讲的独立电压源和独立电流源都是理想的电路元件，即前面讲的独立电压源和独立电流源都是理想的电路元件，即电压源输出端电压及电流源输出电流均恒定不变。但实际电源中都电压源输出端电压及电流源输出电流均恒定不变。但实际电源中都有内部的能量损耗，使得电压源输出端电压或电流源输出电流并非有内部的能量损耗，使得电压源输出端电压或电流源输出电流并非恒定不变（如上图（恒定不变（如上图（b b）。）。 为了更准确地表征实际电源的主要电磁性能，电路理论中常用为了更准确地表征实际电源的主要电磁性能，电路理论中常用独立电源与线性电阻（电

17、导）的组合模型来模拟实际电源。独立电源与线性电阻（电导）的组合模型来模拟实际电源。i实际电源R+u-(b)实际电源外特性实际电源外特性ui0(a)实际电源外特性测试电路实际电源外特性测试电路此区间内，ui线性关系，且一般i不会超过额定值。(如干电池 )一一. 实际电源的外特性实际电源的外特性将R从大小 则i从小大 u从大小26二实际电源模型二实际电源模型可用两种不同结构的可用两种不同结构的电路模型来模拟电路模型来模拟一个实际电源，可用一个理想电压源一个实际电源，可用一个理想电压源uS与一个电阻与一个电阻Ri 串串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流时，它联的支路模型来表征其特性。当它

18、向外电路提供电流时，它的端电压的端电压u总是小于总是小于uS ，电流越大端电压，电流越大端电压u越小。越小。1. 电压源等效模型电压源等效模型Ri: 电源内阻电源内阻,一般很小；一般很小； 电压源不能短路电压源不能短路！i+_uSRi+u_RUIu=uS Ri iVAR曲线曲线uSuS / Ri 等效电源外特性等效电源外特性ui0开路电压短路电流272. 电流源等效模型电流源等效模型一个实际电源，可用一个电流为一个实际电源，可用一个电流为 iS 的理想电流源和的理想电流源和一个内电导一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。当它向外电路并联的模型来表征其特性。当它向外电路供给电流时，并不是全部

19、流出，其中一部分将在内部流供给电流时，并不是全部流出，其中一部分将在内部流动，随着端电压的增加，输出电流减小。动，随着端电压的增加，输出电流减小。Gi: 电源内电导电源内电导,一般很小；一般很小； 电流源不能开路电流源不能开路！iGi+u_iSUIi=iS Gi uVAR曲线曲线等效电源外特性等效电源外特性ui0开路电压短路电流iSiS / Gi显见两种模型外特征曲线均为下降的直线，显见两种模型外特征曲线均为下降的直线，可以近似地作为实际电源的电路模型。可以近似地作为实际电源的电路模型。28 三三. 两种电源模型的等效变换公式两种电源模型的等效变换公式（us串R）与（is并G）可以代表同一实际

20、电源的电路模型，而代表同一电源的两种电路模型应该是等效的。u=uS Ri ii =iS Giui = uS/Ri u/Ri 通过比较，得等效的条件：通过比较，得等效的条件： iS=uS/Ri , Gi=1/RiiGi+u_iSi+_uSRi+u_令两种模型的令两种模型的VAR曲线重合即可得等效变换公式曲线重合即可得等效变换公式 :29由电压源变换为电流源：由电压源变换为电流源：转换转换转换转换i+_uSRi+u_i+_uSRi+u_iGi+u_iSiGi+u_iS由电流源变换为电压源：由电流源变换为电压源：viS 的方向与uS电压升方向一致(从“+”流出) !30 几点说明：几点说明： v 两

21、种电源模型的等效 变换表现在ui平面上 两者有了统一的外特性。开路电压uS = iS Ri短路电流iS = uSGi 等效电源外特性等效电源外特性ui0iSuSv任意电源，如能测得开路电压开路电压和短路电流短路电流，则可用任一种电源 模型等效代替。v理想电压源uS和理想电流 源iS本身之间无等效关系（不可能有统一的外特性）。v两种模型的等效是对外电路而言的，对电源内部是不等效的。 如：电源内部转换前后消耗功率不等。如：电源内部转换前后消耗功率不等。 压源开路时压源开路时 对外电路：对外电路：i i =0, =0, u=u=uS ， 对内电路：对内电路：P=P= 0 0， 无内耗。无内耗。 流源

22、开路时流源开路时 对外电路：对外电路： i i =0, =0, u=u=iS Ri = = uS ， 对内电路：对内电路： PP = = iS ( (iS Ri ) ) 0 0，有内耗。，有内耗。v受控源与独立源一样可进行 电源转换。31应用应用：利用电源转换可以简化电路计算。：利用电源转换可以简化电路计算。例例1.I=0.5A例例2. 2-9页eg25A3 4 7 2AI+_15v_+8v7 7 I例例3.含受控源例含受控源例（on the blue notebook）2-10页受控源eg4.&eg5.32RRL2R2RRRIS+_ULRLIS/4RI+_ULLLSL 4RRRRIU

23、例例4.即即RRRL2R2RR+ UL-IS3310V+-2A2 I讨论题讨论题?IAIAIAI32410722105210哪哪个个答答案案对对?+-10V+-4V2 接1-22 eg1,2,3 & 342-5 2-5 含独立电源支路的串联和并联含独立电源支路的串联和并联一独立电压源串并联的等效变换一独立电压源串并联的等效变换串联串联: 由由KVL得得uS= uSk ( 注意参考方向注意参考方向!)uS2+_+_uS1+_uS21sssuuu电压相同的电压源电压相同的电压源才能并联，且每个才能并联，且每个电源的电流不确定。电源的电流不确定。+_5VI5V+_+_5VI并联并联:v电压不

24、等的独立电压源并联是电压不等的独立电压源并联是“病态电路病态电路”，违背，违背KVL。 35二二. 独立电压源与其他元件并联的等效变换独立电压源与其他元件并联的等效变换一个独立电压源与其他元件并联的模型可等效为该电压源（对一个独立电压源与其他元件并联的模型可等效为该电压源（对外电路而言）。外电路而言）。 对独立电压源来说，无论它并联多少个元件，其端电压总保持恒定，其端口内部并联元件的多少只影响流过独立电压源的电流，而不影响端口外特性（U常）。 +us N + u i注：若us串有一电阻Ri时， 决不可取消is和R。 否则，由于Ri的存在， 端口电压将改变，从而 破坏了等效条件。 等效是对外电路

25、而言的， 对端口内部不等效。要 计算流过独立电压源中 电流ius or输出功率 Pus 时，需回到 变换前的 电路。 +us N + u iisRius36三三. 理想电流源的串并联理想电流源的串并联可等效成一个理想电流源可等效成一个理想电流源 iS 。电流相同的理想电流源才能串联电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流并且每个电流源的端电压不能确定。源的端电压不能确定。串联串联:并联：并联：iS1iS2iSkiSskssssksiiiiii 21 ,v电流不等的独立电流源串联是电流不等的独立电流源串联是“病态电路病态电路”，违背，违背KCL。( 注意参考方向！注意参考方向！)37四四. 独立电流源与其他元件串联的等效变换独立电流源与其他元件串联的等效变换一个独立电流源与其他元件串联的模型可等效为该电流源（对一个独立电流源与其他元件串联的模型可等效为该电流源（对外电路而言）。外电路而言）。 对独立电流源而言，无论它串联多少元件，其输出电流总保持恒定，其端口内部串联元件的多少只影响独立电流源两端的电压，而不影响端口的外特性（I常）。注：若is 并有一电阻Ri 时， 决不可取消us和R。 否则，由