第五章 电容元件与电感元件

1、第二篇第二篇动态电路的时域分析动态电路的时域分析 “一门课程在它的教学进展中，应反复地回到这些基本观念，一门课程在它的教学进展中，应反复地回到这些基本观念，以这些观念为基础，直至学生掌握了与这些观念相伴随的完全以这些观念为基础，直至学生掌握了与这些观念相伴随的完全形式的体系为止。形式的体系为止。” 布鲁纳布鲁纳教育过程教育过程第第9 9页页 上海人民出版社（上海人民出版社（19731973年译本）年译本）第五章电容元件与电感元件 本书的第一篇讨论了电阻电路的分析方法。电阻电路本书的第一篇讨论了电阻电路的分析方法。电阻电路在任一时刻的响应只与同一时刻的激励有关，与过去的激在任一时刻的响应只与同一

2、时刻的激励有关，与过去的激励无关。因此，电阻电路是励无关。因此，电阻电路是“无记忆无记忆”的，或说是的，或说是“即时即时的的”。 实际上，许多实际电路并不能只用电阻元件和电源元实际上，许多实际电路并不能只用电阻元件和电源元件来构成它的模型。在模型中往往不可避免地要包含电容件来构成它的模型。在模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。这两种元件的电压、电流关系都涉及对元件和电感元件。这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分，这种元件称为电流、电压的微分或积分，这种元件称为动态元件动态元件。电路。电路模型中出现动态元件是由于下列原因：模型中出现动态元件是由于下列原因： （1 1

3、）在实际电路中有意地接入了电容器、电感器等）在实际电路中有意地接入了电容器、电感器等器件。这是由于要求电路能够实现某种功能的需要，例器件。这是由于要求电路能够实现某种功能的需要，例如，电阻电路不能完成滤波，必须利用动态元件才能实如，电阻电路不能完成滤波，必须利用动态元件才能实现这一功能。现这一功能。 至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。任何一任何一个集总电路不是电阻电路便是动态电路。动态电路在任一个集总电路不是电阻电路便是动态电路。动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关，这是和电阻电路时刻的响应与激励的全部过去历史有关，这是和电阻电路完全不

4、同的。例如，一个动态电路，尽管输入已不再作用，完全不同的。例如，一个动态电路，尽管输入已不再作用，但仍然可以有输出，因为输入曾经作用过。这就是说，动但仍然可以有输出，因为输入曾经作用过。这就是说，动态电路是有记忆的。本书的第二篇讨论动态电路的分析，态电路是有记忆的。本书的第二篇讨论动态电路的分析，但只限于一阶和二阶的动态电路，共分为三章。但只限于一阶和二阶的动态电路，共分为三章。 （2 2）当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用）当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻模型来表示。例如，一个电阻器不能只用电阻元件电阻模型来表示。例如，一个电阻器不能只用电阻元件来表示，而必须考虑到磁场变化

5、及电场变化的现象，在来表示，而必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中应该增添电感、电容等动态元件。模型中应该增添电感、电容等动态元件。 在本书第一章中早已指出，两类约束是电路分析的在本书第一章中早已指出，两类约束是电路分析的基本依据。基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决基本依据。基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接方式而与构成电路的元件性质无关，这就于电路的连接方式而与构成电路的元件性质无关，这就是说，不论是电阻电路还是动态电路都要服从这一定律。是说，不论是电阻电路还是动态电路都要服从这一定律。为解决动态电路的分析问题，还需知道电容元件和电感为解决动态电路的分析问题，还需

6、知道电容元件和电感元件的电压、电流约束关系。作为第二篇的首章，本章元件的电压、电流约束关系。作为第二篇的首章，本章将讨论电容元件和电感元件的定义、将讨论电容元件和电感元件的定义、VCR、等效电路，、等效电路，并引入记忆、状态等概念，为动态电路的分析奠定基础。并引入记忆、状态等概念，为动态电路的分析奠定基础。教学内容教学内容 5-1 电容元件电容元件 5-2 电容的电容的VCR 5-3 电容电压的连续性质和记忆性质电容电压的连续性质和记忆性质 5-4 电容的储能电容的储能 5-5 电感元件电感元件 5-6 电感的电感的VCR 5-7 电容与电感的对偶性电容与电感的对偶性 状态变量状态变量教学目的

7、教学目的1 1、理解动态元件理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于电路分的特性，并能熟练应用于电路分 析析； 2 2、深刻理解电容和电感元件的深刻理解电容和电感元件的VCR、掌握它们的分析、掌握它们的分析 计算方法计算方法 ；3 3、理解电容元件的连续性质和记忆性质理解电容元件的连续性质和记忆性质; ; 4 4、熟练掌握电容元件和电感元件的储能熟练掌握电容元件和电感元件的储能。5 51 1 电容元件电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的电容元件是电容器的理想化模型。理想化模型。 把两块金属板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。把两块金属板用介质

8、隔开就可构成一个简单的电容器。由于理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板上由于理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板上能分别存储等量的异性电荷。外电源撤走后，这些电荷依能分别存储等量的异性电荷。外电源撤走后，这些电荷依靠电场力的作用互相吸引，而又被介质绝缘不能中和，因靠电场力的作用互相吸引，而又被介质绝缘不能中和，因而极板上的电荷能长久地存储下去。因此，而极板上的电荷能长久地存储下去。因此，电容器是一种电容器是一种能存储电荷的器件能存储电荷的器件。在电荷建立的电场中储藏着能量，因。在电荷建立的电场中储藏着能量，因此，也可以说此，也可以说电容器是一种能够存储电场能量的器件电容器是一种

9、能够存储电场能量的器件。理。理想的电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立起电想的电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立起电场的作用，而没有任何其他的作用，也就是说，场的作用，而没有任何其他的作用，也就是说，理想电容理想电容器应该是一种电荷与电压相约束的器件器应该是一种电荷与电压相约束的器件。由此，可定义出。由此，可定义出一种电容元件，并将它视为实际电容器的理想化模型。一种电容元件，并将它视为实际电容器的理想化模型。一、一、 电容元件电容元件 电容元件的定义是：电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系可由其电荷与电压之间的关系可由u

10、-q平面上一条曲线所确定，平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。则称此二端元件为电容元件。 电容元件的符号和特性曲线如图电容元件的符号和特性曲线如图(a)和和(b)所示。所示。 a) 电容元件的符号电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号线性时不变电容元件的符号 b) 电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线线性时不变电容元件的特性曲线 其特性曲线是通过坐标原点的一条直线的电容元件称为线其特性曲线是通过坐标原点的一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。性电容元件，否则称为非线性电容元件。 线性时不变电容元件的符号与特性曲线

11、如图线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所示，所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为达式为 ) 15()(tCuq 式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法单位是法拉拉,用用F表示。表示。 实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电

12、不能忽略时，则需要用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。个电阻与电容的并联作为它的电路模型。 在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型容器的电路模型,如图所示。如图所示。 电容器的几种电路模型电容器的几种电路模型 习惯上也常把电容元件简称为电容，并且，如不加申明，习惯上也常把电容元件简称为电容，并且，如不加申明，电容都系指线性时不变电容。电容都系指线性时不变电容。5 52 2 电容的电容的VCR 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联对于线性时不变电容元件来

13、说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式参考方向的情况下，可以得到以下关系式)45(ddd)(ddd)(tuCtCutqti 此式表明此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路时间变化的情况下，

14、电容元件相当于一个开路(i=0)。 结论：结论：在某一时刻电容的电流取决于该时刻在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的电容电压的变化率变化率。如果电压不变，则。如果电压不变，则du/dt为零，为零，虽有电压，但电流为零，因此，电容有隔直流的虽有电压，但电流为零，因此，电容有隔直流的作用。电容电压变化越快，作用。电容电压变化越快，du/dt越大，则电流也越大，则电流也就越大。因为电容聚集电荷，当电压发生变化时，就越大。因为电容聚集电荷，当电压发生变化时，电荷也相应的发生变化，形成电流。这和电阻元电荷也相应的发生变化，形成电流。这和电阻元件不同，电阻两端只要有电压，电阻中就一定有件不同，电阻两

15、端只要有电压，电阻中就一定有电流。电流。)45(ddd)(ddd)(tuCtCutqti 在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，用式的条件下，用式(64)容易求出其电容易求出其电流流i(t)。例如已知。例如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其，其波形如图波形如图(a)所示，与电压参考方向关联的电流为所示，与电压参考方向关联的电流为 A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin(10d10 dd)(66tttttuCti 例例5-1 已知已知C=0.5 F电容上的电压波形如图电容上的电压波形如图(a)所示，所示， 试求电压电流采用关联参

16、考方向时的电流试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画并画 出波形图。出波形图。 例例51 A1=A101d)2(d105 . 0dd)(66CCtttuCti 2.当当1s t 3s时，时，uC(t)=4-2t，根据式，根据式54可以得到可以得到 A1A101d)24(d105 . 0dd)(66CCtttuCti 1.当当0 t 1s 时，时，uC(t)=2t，根据式，根据式54可以得到可以得到解：根据解：根据(a)波形的具体情况，按照时间分段来进行波形的具体情况，按照时间分段来进行 计算计算 3.当当3s t 5s时，时，uC(t)=-8+2t，根据式，根据式54可以得到可以

17、得到 A1A101d)28(d105 . 0dd)(66CCtttuCti 4.当当5s t时，时，uC(t)=12-2t，根据式，根据式54可以得到可以得到 A1A101d)212(d105 . 0dd)(66CCtttuCti 例例51 在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，其电压uC(t)为为 ) 65 (d)(1)( CCtiCtu 由上式可知：在某一时刻由上式可知：在某一时刻t电容电压的数值并不取决电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而取决于从于该时刻的电流值，而取决于从到到t所有所有 时刻的电流时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。这是因为电容

18、值，也就是说与电流全部过去历史有关。这是因为电容是聚集电荷的元件，电容电压反映聚集电荷的多寡，而是聚集电荷的元件，电容电压反映聚集电荷的多寡，而电荷的聚集是电流从电荷的聚集是电流从到到t t长期作用的结果。长期作用的结果。 如果只需了解在某一任意选定的初始时刻如果只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电以后电容电压的情况，可以把（容电压的情况，可以把（56）式写为）式写为 ) 75 ()(d)(1)(d)(1d)(1d)(1)(0 C0C CC CC000ttiCtuiCiCiCtutttttt 研究问题总有一个起点，研究问题总有一个起点，即总有一个初始时刻即总有一个初始时刻t0，那么（，那

19、么（57）式又告诉我们：没有必要了解）式又告诉我们：没有必要了解t t0 0以前电流的情况，以前电流的情况， t t0 0以以前全部历史情况对未来（前全部历史情况对未来（t tt t0 0 时）产生的影响可以由时）产生的影响可以由uC(t0)，即电容的初始电压来反映。即电容的初始电压来反映。也就是说，如果知道了由初始时刻也就是说，如果知道了由初始时刻t0开始作用的电流开始作用的电流i(t)以及电容的初始电压以及电容的初始电压u(t0)，就能确定，就能确定tt0时的电容电压时的电容电压u(t)。 式中，式中，uC(0)是在是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为初始时刻电容已积累的电压，称为初始

20、电压；而后一项是在电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了以后电容上形成的电压，它体现了在在0t的时间内电流对电压的贡献。的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻由此可知：在某一时刻 t，电容电压，电容电压u不仅与该时刻的电流不仅与该时刻的电流 i有关，而且与有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有说电容是一种记忆元件，有“记忆记忆”电流的作用。电流的作用。tiCutu 0 CCCd)(1) 0()(当当t0 00 0时时0 CCd)(1)0(iCu 其中其中 称为电容电压的初始值。称为电容电压

21、的初始值。例例5-2 设下图所示电容与一电流源相接，试求电容电压。设设下图所示电容与一电流源相接，试求电容电压。设u(0)=0。解：已知电容电流求电容电压时。必须写出电流的代数式，对解：已知电容电流求电容电压时。必须写出电流的代数式，对所示的三角波可分段写为：所示的三角波可分段写为：)25. 175. 0(44000)10(4000)75. 025. 0(24000)105 . 0(4000)25. 00(40001025. 01333mstmsttimstmsttimstttitttddiCutu02960102400010)(1)0()(分段计算分段计算u(t):0t t 0.25ms期间

22、期间 结论：结论：电压随时间按抛物线规律上升，当电压随时间按抛物线规律上升，当t=0.25ms时，电时，电压为压为125V。0.25 t t 0.75ms期间：期间：2961025.061025.03102102250)24000(10125)(1)1025.0()(33ttddiCututt2961075.061075.031021042000)44000(10125)(1)1075.0()(33ttddiCututt为一开口向下的抛物线方程，其顶点在为一开口向下的抛物线方程，其顶点在t=0.5ms、u=250V处。处。当当t=0.75ms时，电压下降为时，电压下降为125V。为一开口向上的

23、抛物线方程，其顶点在为一开口向上的抛物线方程，其顶点在t=1ms、u=0处。处。0.75 t t 1.25期间：期间：作业：作业：P179 5-3P179 5-35 53 3 电容电压的连续性质和记忆性质电容电压的连续性质和记忆性质电容的电容的VCR) 75 ()(d)(1)(d)(1)(0 C0C CC0ttiCtuiCtuttt 反映出电容电压的两个重要性质，即反映出电容电压的两个重要性质，即电容电压电容电压的连续性质和记忆性质的连续性质和记忆性质。 设想作用于电容的电流波形如图（设想作用于电容的电流波形如图（a a）所示，若）所示，若u(0)=0(0)=0，则不难求得电容电压如图（，则不

24、难求得电容电压如图（b b）所示。可见，电）所示。可见，电容电流波形是不连续的而电容电压波形却是连续的。这容电流波形是不连续的而电容电压波形却是连续的。这是电容电压连续性质的表现。是电容电压连续性质的表现。 (1)电容电压的连续性电容电压的连续性 有界时当)(0d)(1)()d(d 0dCCCiiCTutTuutTTt结论：电容电压不能跃变。结论：电容电压不能跃变。 从上图可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，从上图可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。

25、可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区即电容电流在闭区间间t1,t2有界时，电容电压在开区间有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的内是连续的。这可。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。 将将t=T和和t=T+dt代入式代入式(57)中，其中中，其中t1Tt2和和t1T+dtt2得到得到 当当电容电流有界电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用时，电容电压不能突变的性质，常用下式表示下式表示 对于初始时刻对于初始时刻t=0来说，上式表示为来说，上式表示为 )0()0(CC uu 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关

26、发生作利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。 )85()()(CCtutu例例 如图所示电路的开关闭合已久，求开关在如图所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻时刻 断开瞬间电容电压的初始值断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定 值，造成电容电流等于零，即值，造成电容电流等于零，即 0dd)(CCtuCti 电容相当于开路。此时电容电压为电容相当于开路。此时电容电压为 S212C)0(URRRu 当开关

27、断开时，在电阻当开关断开时，在电阻R2和和R3不为零的情况下，电容不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到 S212CC)0()0(URRRuu (2)电容电压的记忆性电容电压的记忆性 )105()()()(1)()(101000tuUtutuidCtutuCttCC) 65 (d)(1)( CCtiCtu从式（从式（56）可见，任意时刻）可见，任意时刻T电容电压的数值电容电压的数值uC(T)，要由从要由从- 到时刻到时刻T之间的全部电流之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻此时

28、刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定的电压都有一定的贡献的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。电容电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。电容电压的初始条件是一个必须具备的条件。关系式可用下式电压的初始条件是一个必须具备的条件。关系式可用下式等效等效 结论：结论：一个已被充电的电容，若已知一个已被充电的电容，若已知u(t0)=U0,则在则在 tt t0 0时时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为电压源的

29、电压值即为t0时电容两端的电压时电容两端的电压U0，如图（，如图（b）所示，）所示，电压电压U0称为电容电压的初始状态。称为电容电压的初始状态。等效电路如下图所示：等效电路如下图所示：)105()()()(1)()(101000tuUtutuidCtutuCttCC例例5-3 已知电容已知电容C=4F,对所有的对所有的t，i(t)的波形如下图所示。的波形如下图所示。（1）试求电容电压）试求电容电压uC(t),t0,0,（2）求）求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5);（3）作出该电容的等效电路作出该电容的等效电路。解：解： （1 1）)0(75.05.0)32(41)(411)(01000

30、ttddidididCtutttC（2 2）VuC5.0)0(1025.1435.0)1(VduC5.015.0125.02411)5.0(VdidCuC(c)t 0时的电压波形时的电压波形(3)(a)等效电路等效电路(b)电流波形电流波形t00时时4F4F电容的等效电路如图电容的等效电路如图(a)(a)所示，其中所示，其中i1(t)波形如波形如图图(b)(b)所示，亦即仅在所示，亦即仅在t 0时波形与时波形与i(t)一致，在一致，在t0时，说明电容是在吸收时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于不可能为负值

31、，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。根据无源元它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。根据无源元件的定义，电容属无源元件。由于电容电压确定了电容的件的定义，电容属无源元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。储能状态，称电容电压为状态变量。 从式从式(514)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。容

32、电压发生跃变的。 )145()( 21)(2CtuCtW 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，能量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它本身不消耗能量，也不会释放出多于它吸收它本身不消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量，所以称电容为储能元件。的能量，所以称电容为储能元件。作业：作业：P180 5-5P180 5-55 55 5 电感元件电感元件 电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是它的理想化模型。它的理想化模型。导线中有电流时，其周围即建立磁场。通常把导线绕导线

33、中有电流时，其周围即建立磁场。通常把导线绕成线圈，以增强线圈内部的磁场，称为电感器或电感线圈。成线圈，以增强线圈内部的磁场，称为电感器或电感线圈。磁场也存储能量，因此磁场也存储能量，因此电感线圈是一种能够存储磁场能量电感线圈是一种能够存储磁场能量的器件的器件。理想的电感器只具有产生磁通（存储磁场能量）。理想的电感器只具有产生磁通（存储磁场能量）的作用而无任何其他的作用，也就是说，理想电感器应是的作用而无任何其他的作用，也就是说，理想电感器应是一种一种电流与磁链电流与磁链相约束的器件。由此，可定义出一种电感相约束的器件。由此，可定义出一种电感元件作为电感器的理想化模型。元件作为电感器的理想化模型

34、。一、一、 电感元件电感元件 如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系可以由关系可以由i 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图。电感元件的符号和特性曲线如图(a)和和(b)所示。所示。 (a) 电感元件的符号电感元件的符号 (c) 线性时不变电感元件的符号线性时不变电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线电感元件的特性曲线 (d) 线性时不变电感的特性曲线线性时不变电感的特性曲线 其特性曲线是通过坐标原点的一条直线的电感元件称其特性曲线是通过坐标原

35、点的一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图电感元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所示，它的特性曲所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，当磁链与电流线是一条通过原点不随时间变化的直线，当磁链与电流i参参考方向之间符合右手螺旋关系时，磁链与电流的关系为：考方向之间符合右手螺旋关系时，磁链与电流的关系为：)155()()(tLit 式中的系数式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨感，单位是亨利利,用用H表示。表示。 实

36、际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个 H(1 H=10-6H) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图所示。增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图所示。 电感器的几种电路模型电

37、感器的几种电路模型 5 56 6 电感的电感的VCR 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到参考方向的情况下，可以得到)175(ddd)(ddd)(tiLtLittu 当通过电感的电流发生变化时，磁链也相应地发生变当通过电感的电流发生变化时，磁链也相应地发生变化，根据电磁感应定律，电感两端出现感应电压；当通过化，根据电磁感应定律，电感两端出现感应电压；当通过电感的电流不变时，磁链也不发生变化，这时虽有电流但电感的电流不变时，磁链也不发生变化，这时虽有电流但没有电压。这和电阻、电容元件完全不同，电阻是有电压没有电压。

38、这和电阻、电容元件完全不同，电阻是有电压就一定有电流；电容是电压变化才有电流；电感则是电流就一定有电流；电容是电压变化才有电流；电感则是电流变化才有电压。变化才有电压。 此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一

39、个短路电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。 )175(ddd)(ddd)(tiLtLittu 结论：结论：在某一时刻电感的电压取决于该时刻电在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的流的变化率变化率。如果电流不变，那么。如果电流不变，那么di/dt为零，虽有为零，虽有电流，但电压为零，因此，电流，但电压为零，因此，电感对直流起着短路的电感对直流起着短路的作用作用。电感电流变化越快，。电感电流变化越快，di/dt越大，则电压也就越大，则电压也就越大。这是因为电感聚集磁链，它的电流发生变化越大。这是因为电感聚集磁链，它的电流发生变化时，聚集的磁链也相应地发生变化，这时才能发生时，聚集的

40、磁链也相应地发生变化，这时才能发生电磁感应，产生电压；当电流不变时，磁链也不变电磁感应，产生电压；当电流不变时，磁链也不变化，这时虽有电流，电感两端并没有电压。化，这时虽有电流，电感两端并没有电压。)175(ddd)(ddd)(tiLtLittu 在已知电感电流在已知电感电流i(t)的条件下，用式的条件下，用式(517)容易求出其容易求出其电压电压u(t)。 mV)5cos(50V)5cos(1050 d)5sin(10d10dd)(33tttttiLtu 电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量系，例如将电感电

41、流增加一个常量k，变为，变为i(t)=k+10sin5tA时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。件在电压电流之间有确定关系的特性。 例如例如L=1mH的电感上，施加电流为的电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，时，其关联参考方向的电压为其关联参考方向的电压为 例例 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知L=5 H电感上的电流电感上的电流 波形如图波形如图(b)所示，求电感电压所示，求电感电压u(t),并画出波形并画出波形 图。图。 2.当当0 t 3 s时，时，i(t)=2 103

42、t，根据式，根据式617可以得到可以得到 10mV=V1010d)102(d105dd)(336tttiLtu解：根据图解：根据图(b)波形的具体情况，按照时间分段来进波形的具体情况，按照时间分段来进 行计算行计算 1.当当t 0时，时，i(t)=0，根据式，根据式617可以得到可以得到 0d)0(d105dd)(6ttiLtu 3. 当当3 s t 4 s时，时， i(t)=24 103-6 103t，根据式，根据式617可以得到可以得到 mV30=V1030d)1061024(d105dd)(3336tttiLtu 4. 当当4 s t 时，时，i(t)=0，根据式，根据式617可以得到可

43、以得到 0d)0(d105dd)(6ttiLtu 根据以上计算结果，画出相应的波形，如图根据以上计算结果，画出相应的波形，如图(c)所示。所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。 在已知电感电压在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流的条件下，其电流iL(t)为为 )175()(d)(1)(d)(1d)(1d)(1)(0 L0L LL LL000ttuLtiuLuLuLtitttttt 当当t00时时 tttuLiuLuLuLti 0 LL0 0 LL LLd)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)(tttuLiuLuLuLti

44、 0 LL0 0 LL LLd)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 其中其中 0 LLd)(1)0(uLi称为电感电流的初始值。称为电感电流的初始值。iL(0)是在是在 t=0 时刻电感已积累的电流，称为初始电流；而时刻电感已积累的电流，称为初始电流；而后一项是在后一项是在t=0以后电感上形成的电流，它体现了在以后电感上形成的电流，它体现了在0-t 的的时间内电压对电流的贡献。时间内电压对电流的贡献。 从上式可以看出电感具有两个基本的性质。从上式可以看出电感具有两个基本的性质。 (1)电感电流的记忆性电感电流的记忆性。 从式（从式（517）可见，任意时刻）可见，任意时刻T电感电流的数值电

45、感电流的数值iL(T)，要由从要由从- 到时刻到时刻T 之间的全部电压来确定。之间的全部电压来确定。 也就是说，也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T的电感电流都有一份贡献的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅。这与电阻元件的电压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。记忆元件。例例 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知L=0.5mH的电感电压波的电感电压波 形如形如(b)所示，试求电感电流。所示，试求电感电流。 解：根据图解：根据图(b)波形，按照时间分段

46、来进行积分运算波形，按照时间分段来进行积分运算 1.当当t0时，时，u(t)=0，根据式，根据式622可以得到可以得到 ttuLti 3 L0Ad0102d)(1)( 2.当当0t1s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式622可以得到可以得到 A2) s 1 ( s 1 A220d10102)0(d)(1)(L 0 33L LitttAiuLtitt时当 3.当当1st2s时，时，u(t)=-1mV，根据式，根据式622可以得到可以得到 4.当当2st3s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式622可以得到可以得到 A0) s2( s2 A) 1(2A2d10102) 1 (d)(1)(

47、L 1 33L LittiuLtitt时当A2) s3( s3 A)2(20d10102)2(d)(1)(L 2 33L LittiuLtitt时当 5.当当3st0时，电感吸收功率，储存磁场能量；时，电感吸收功率，储存磁场能量；当当p0时，电感发出功率，释放磁场能量。时，电感发出功率，释放磁场能量。 电感在从初始时刻电感在从初始时刻t0到任意时刻到任意时刻t时间内得到的能量为时间内得到的能量为 )( )( 022 0000)()(21 )()()(),(tititttttitiLidiLdddiiLdpttW 若电感的初始储能为零，即若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在则任意时刻储存在电感中的能量为电感中的能量为 )235()(21)(2LtLitW 此式说明此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝