大学物理 力矩 转动定律 转动惯量

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩(Torque) M第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转

2、动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Ormz二二 转动定律转动定律(

3、Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis)FtFnFsinrFM mrmaFFttsin2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2tmrrFMOzjmjrjFejFi第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .rmMMjjjjj

4、j2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量(Moment of Inertia)mrJd2OzjmjrjFejFi第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量mrJrmJjjjd,22三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元mdJM

5、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 1、转动惯量的大小取决于刚体的、转动惯量的大小取决于刚体的质量及其分布质量及其分布、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 .注意注意2、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。地位等同于质点力学中质点的质量。理量。地位等同于质点力学中质点的质量。3、转动惯量的单位是、转动惯量的单位是 ，量纲是，量纲是ML22mkg第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一

6、距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd32/2/2121dlrrJll231mlrrrmrJddd22 例例1 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量OROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动

7、惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2()mR而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例3 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为

8、 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体）物体 B 从从BmCm静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？其速率是多少？（若水平面不光滑又（若水平面不光滑又如何？）如何？）yAmABCAmBmCm第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FB

9、PBm21,2caRJm RamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . T2FT1FCPCF第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，

10、下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例4 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加

11、速度和角速度和角速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin21第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量225ImR证明：如图所示，在坐标证明：如图所示，在坐标z处取高为处取高为dz的小圆柱作的小圆柱作为质元为质元23,43mdmr dzR222232423()4331()45RRRRmJz dmzRzdzRzzmd