第8章等截面直杆的扭转

1、第一节第一节 第二节第二节 第三节第三节 第四节第四节 第五节第五节 1. 应力函数及应力分量应力函数及应力分量 设有等截面直杆，体力可以不计，在两端平面内受有转向相反设有等截面直杆，体力可以不计，在两端平面内受有转向相反的两个力偶，取杆的上端平面为的两个力偶，取杆的上端平面为xoy面，面，z轴铅直向下。轴铅直向下。 （8-1） 代入平衡微分方程，且代入平衡微分方程，且 ，得：，得： 图8-1 按应力求解，采用半逆解法求解，按应力求解，采用半逆解法求解，按材料力学解答，假设：除了横截面上按材料力学解答，假设：除了横截面上的切应力以外，其它的应力分量都等于的切应力以外，其它的应力分量都等于零，即

2、零，即 0 xyzyx0zyxfff0zzx0zzy0yxyzxz，（a） 由前两式可知，由前两式可知， 及及 只是只是x、y的的函数，不随函数，不随z变化。第三式可写为：变化。第三式可写为： zxzx)()(yzxzyx根据全微分理论，一定存在一个函数根据全微分理论，一定存在一个函数 ，使得，使得),(yxyxzxyz，此处的此处的 为扭转问题中的应力函数。由此得用应力函数表示的为扭转问题中的应力函数。由此得用应力函数表示的应力分量：应力分量： ),(yxyxzxzxzyyz，（8-2） 将（将（8-1）代入相容方程（）代入相容方程（7-13），可见其中的前三式及最后一式），可见其中的前三式

3、及最后一式总能满足，而其余两式成为：总能满足，而其余两式成为： 02yz02zx，将（将（8-2）代入，得：）代入，得：02x02y，C2（8-3） 考虑边界条件，在杆侧面，考虑边界条件，在杆侧面， ，面力，面力 ，可见应力边，可见应力边界条件（界条件（6-5）式中的前两式总能满足，第三式成为：）式中的前两式总能满足，第三式成为： 0n0zyxfff0)()(syzsxzml将（将（8-2）式代入，有）式代入，有0)()(ssxmyl由于在边界上，由于在边界上， ， （见差分法）（见差分法） dsdyl dsdxm 0)()(dsddsdxxdsdyyss说明在杆的侧面，应力函数说明在杆的侧面

4、，应力函数 所取的边界值所取的边界值 应是常量（单连体，应是常量（单连体，加减常数不影响应力分量），为简便，即取为零加减常数不影响应力分量），为简便，即取为零 s0s（8-4） 在杆的任一端（如上端在杆的任一端（如上端z=0），）， ， ，应力边界条件（，应力边界条件（6-5）的第三式总能满足，而前两式成为：的第三式总能满足，而前两式成为： 0 ml1nxzzxf0)(yzzyf0)( ， 由于面力不知道，无法精确满足，应用圣维南原理，改为用主矢、由于面力不知道，无法精确满足，应用圣维南原理，改为用主矢、主矩来代替，即：主矩来代替，即： （b） 0)(0AxAzzxdxdyfdxdy0)(0A

5、yAzzydxdyfdxdy（c） （d） MdxdyfxfydxdyxyAyxAzzyzx)()(0（e） 由（由（8-2）可知，式（）可知，式（c）左边为：）左边为： sABAAzxdxdyydxdxdyydxdy)(由于由于 =0，可见式（，可见式（c）能满足。）能满足。)(AB同理，可知式（同理，可知式（d）也能够满足。）也能够满足。而式（而式（e）左边也可写成为：）左边也可写成为： dxxxdydyyydxdxdyxxyydxdyxyAAzyzx)()( AAABBdxdydyyydxdyyydx)(同理：同理： Adxdydxxxdy于是，（于是，（e）式为：）式为：MdxdyA2

6、（8-5） 总结总结：为求应力，需求出应力函数，使其满足方程（8-3）至（8-5），然后由式（8-2）求出应力分量。2. 位移分量位移分量 将应力分量（将应力分量（8-1）及（）及（8-2）代入物理方程（）代入物理方程（6-12），得：），得： 0 x0y0zxGyz1yGzx10 xy，再代入几何方程（再代入几何方程（6-8）式，得：）式，得：0,11, 0, 0, 0yuxvyGxwzuxGzvywzwyvxu（f） 通过积分运算，由以上的第一、二及六式求得：通过积分运算，由以上的第一、二及六式求得： Kyzyzuuzy0Kxzzxvvxz0，其中的积分常数也代表刚体位移，若不计刚体位移，

7、只保留与形其中的积分常数也代表刚体位移，若不计刚体位移，只保留与形变有关的位移，则：变有关的位移，则： KyzuKxzv ， （8-6） 若用圆柱坐标表示，就是：若用圆柱坐标表示，就是： ， 。 0uzKu 可见，每个横截面在可见，每个横截面在坐标面坐标面 上的投影不改变，而只是转动一个上的投影不改变，而只是转动一个角度角度 。由此可见，杆在单位长度内的扭转角是。由此可见，杆在单位长度内的扭转角是 。 xyKzKdzd将（将（8-6）代入（）代入（f）式的第五、四两式，得：）式的第五、四两式，得：KyyGxw1KxxGyw1， （8-7） 可以用来求位移分量可以用来求位移分量w。将上列两式分别

8、对。将上列两式分别对 y和和x求导，然后相减，求导，然后相减，移项，得移项，得 GK22则方程（则方程（8-3）中的常数）中的常数C是有物理意义的，可表示为：是有物理意义的，可表示为：GKC2（8-8） （8-9） 薄膜在受均布压力下的垂度，与等截薄膜在受均布压力下的垂度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，有助于寻是相似的。用薄膜来比拟扭杆，有助于寻求扭转问题的解答，称为求扭转问题的解答，称为薄膜比拟薄膜比拟。 设有一块均匀薄膜，张在一个水平边设有一块均匀薄膜，张在一个水平边界上，水平边界形状与某一扭杆的横截面界上，水平边

9、界形状与某一扭杆的横截面边界形状相同。当薄膜承受微小的气体压边界形状相同。当薄膜承受微小的气体压力时，薄膜各点将发生微小的垂度。设边力时，薄膜各点将发生微小的垂度。设边界所在的水平面为面界所在的水平面为面xy，薄膜的垂度为，薄膜的垂度为z。薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，。薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，只承受均匀的拉力只承受均匀的拉力FT。图8-2 从薄膜中取微小单元从薄膜中取微小单元abcd，它在，它在xy面上的投影是一个矩形，边面上的投影是一个矩形，边长为长为 dx和和dy。在。在ab边界上的拉力是边界上的拉力是 FTdy（FT是单位宽度上的拉是单位宽度上的拉力），它在力），它在z轴

10、上的投影是轴上的投影是 ；在；在cd边上的拉力也是边上的拉力也是 FTdy，在，在z轴上的投影是轴上的投影是 。在。在ad边界上的拉力是边界上的拉力是 FTdx，它在，它在z轴轴上的投影是上的投影是 ；在；在bc边上的拉力也是边上的拉力也是 FTdx，在，在z轴上的投影轴上的投影是是 。单元。单元abcd受到的压力是受到的压力是 qdxdy，由，由 ，得，得xzdyFT)(dxxzzxdyFTyzdxFT)(dyyzzydxFT0zF0)()(qdxdydyyzzydxFyzdxFdxxzzxdyFxzdyFTTTT简化后，得简化后，得 0)(2222qyzxzFTTFqz2（8-10） 此外

11、，薄膜在边界上的垂度为零，即：此外，薄膜在边界上的垂度为零，即： 0sz（8-11） 将薄膜垂度将薄膜垂度z的微分方程（的微分方程（8-10）式与扭杆应力函数）式与扭杆应力函数 的微分方程的微分方程（8-8）式对比，并将（）式对比，并将（8-11）式与（）式与（8-4）式对比，可见，）式对比，可见，如果使薄膜的 相当于扭杆的2GK，薄膜的垂度 z就相当于扭杆应力函数 。 TFq 由于扭矩由于扭矩 ，而薄膜与边界平面（，而薄膜与边界平面（ xy面）之间的面）之间的体积的两倍是：体积的两倍是： AdxdyM2AzdxdyV22可见，可见，为了使得薄膜垂度z相当于扭杆应力函数，也可以使薄膜与边界平面

12、之间的体积的两倍相当于扭矩。 在扭杆的横截面上，沿在扭杆的横截面上，沿x方向上的切应力为方向上的切应力为 ，另一方面，另一方面，薄膜沿薄膜沿y方向的斜率为方向的斜率为 。 yzxyziy 可见，扭杆横截面上沿可见，扭杆横截面上沿x方向上的切应力相当于薄膜方向上的切应力相当于薄膜沿沿 y方向的斜率。由于方向的斜率。由于x轴和轴和 y轴可以取在任意两个垂直轴可以取在任意两个垂直的方向上。故可知：的方向上。故可知： 在扭杆横截面上某一点的沿任一方向的切应力，就在扭杆横截面上某一点的沿任一方向的切应力，就等于薄膜在对应点的，沿垂直方向的斜率。等于薄膜在对应点的，沿垂直方向的斜率。 横截面为矩形，边长为

13、横截面为矩形，边长为a和和b，如图，如图8-3。 图8-31. 狭长矩形截面杆狭长矩形截面杆 即即ab，则由薄膜比拟可以推断，则由薄膜比拟可以推断，应力函数应力函数 在绝大部分横截面上几乎与在绝大部分横截面上几乎与 x无关，因为对应的薄膜几乎不受短边约束无关，因为对应的薄膜几乎不受短边约束的影响，近似于柱面。于是可以假设为的影响，近似于柱面。于是可以假设为 0 xdydy， 而式（而式（8-3）成为：）成为： Cdyd22积分，并注意有：边界条件积分，并注意有：边界条件 ，可得：，可得： 0)(2 by)4(222byC（a） 为求常数为求常数C，将（，将（a）式代入（）式代入（8-5）式，得

14、：）式，得：MdxdybyCaabb222222)4(22积分，有，积分，有， ，得：，得： MCab6336abMC（b） 代入（代入（a）式，得：）式，得：)4(3223ybabM（c） 将（将（c）式代入（）式代入（8-2）式，得应力分量：）式，得应力分量： yabMyxz360 xzy， （8-12） 由薄膜比拟可知，最大切应力发生在矩形截面的长边上，例如由薄膜比拟可知，最大切应力发生在矩形截面的长边上，例如A点点（ ），其大小为：），其大小为： 2by22max3)(abMbyzx将（将（b）式代入（）式代入（8-9）式，得扭角：）式，得扭角：GabMGCK332（8-13） （8-

15、14） 2. 任意矩形截面杆任意矩形截面杆 横截面边长比横截面边长比 a/b为任意数值，经进一步的分析可见式（为任意数值，经进一步的分析可见式（8-12）和式（和式（8-14）须修正为：）须修正为： 12maxabMGabMK3（8-15） （8-16） （具体推导见徐芝伦：（具体推导见徐芝伦：弹性力学弹性力学，P247P247249249）其中因子其中因子 和和 1只与比值只与比值 a/b有关，具体数值见有关参考书中表格。有关，具体数值见有关参考书中表格。 对于很狭的矩形截面扭杆（对于很狭的矩形截面扭杆（a/b很大），很大）， 和和 1 趋于，则式趋于，则式（8-15）和式（）和式（8-16

16、）分别简化为式（）分别简化为式（8-13）和式（）和式（8-14）。）。 工程中通常使用的薄壁杆，它们的横截面大都是等宽度的狭矩工程中通常使用的薄壁杆，它们的横截面大都是等宽度的狭矩形组成的。这些狭矩形可能是直的或是曲的。形组成的。这些狭矩形可能是直的或是曲的。 1. 开口薄壁杆的扭转开口薄壁杆的扭转 由薄膜比拟可以想见，如果一个直的狭矩形和另一个曲的狭矩由薄膜比拟可以想见，如果一个直的狭矩形和另一个曲的狭矩形具有相同的长度形具有相同的长度 a和宽度和宽度 b，则当张在这两个狭矩形边界上的薄，则当张在这两个狭矩形边界上的薄膜具有相同的张力膜具有相同的张力FT并受有相同的压力并受有相同的压力 q

17、时，两个薄膜和各自的边时，两个薄膜和各自的边界平面之间的体积、以及两个薄膜的斜率都将没有多大差别。界平面之间的体积、以及两个薄膜的斜率都将没有多大差别。 推断：如果有两个狭矩形截面的扭杆，它们的扭角推断：如果有两个狭矩形截面的扭杆，它们的扭角K相同，剪相同，剪切弹性模量切弹性模量G也相同（因而它们的也相同（因而它们的2GK相同），则两个扭杆的扭矩相同），则两个扭杆的扭矩M 及切应力及切应力 也就没有多大差别。因此，一个曲的狭长矩形截面，也就没有多大差别。因此，一个曲的狭长矩形截面，可以用一个同宽度同长度的直的狭矩形截面来代替，而不致引起多可以用一个同宽度同长度的直的狭矩形截面来代替，而不致引起

18、多大的误差。大的误差。 用用ai、bi 表示表示i个狭矩形的长和宽，个狭矩形的长和宽，Mi 代表该矩形截面受到的扭矩代表该矩形截面受到的扭矩（整个截面上扭矩的一部分）。（整个截面上扭矩的一部分）。 i 代表该矩形长边中点附近的切应代表该矩形长边中点附近的切应力，力，K代表该扭杆的扭角，则有：代表该扭杆的扭角，则有： 23iiiibaMGbaMKiii3333iiibGKaM 扭杆在整个横截面上的扭矩为：扭杆在整个横截面上的扭矩为：33iiibaGKMM（a） （b） （c） （d） 由（由（c）式和（）式和（d）式消去）式消去K 得：得： ，代入（，代入（a）式和（）式和（b）式，得：式，得：

19、 MbabaMiiiii3333iiiibaMb33iibaGMK（8-17） （8-18） 这些公式是近似的，因为我们应用了狭矩形的近似公式，而没这些公式是近似的，因为我们应用了狭矩形的近似公式，而没有考虑圆角的影响和两狭矩形连接处的局部影响。有考虑圆角的影响和两狭矩形连接处的局部影响。2. 闭口薄壁杆的扭转闭口薄壁杆的扭转 用薄膜比拟法分析，薄膜的外边界用薄膜比拟法分析，薄膜的外边界AB处的垂度取为零处的垂度取为零（ ），令内边界），令内边界CD处的垂度为处的垂度为h，（，（ 为了薄膜在内边为了薄膜在内边界处的垂度为常量，可以假想界处的垂度为常量，可以假想CD是一块不变形的无重平板）。由是

20、一块不变形的无重平板）。由于杆壁的厚度于杆壁的厚度d d很小，薄膜的斜率沿厚度方向的变化可以不计，则很小，薄膜的斜率沿厚度方向的变化可以不计，则在薄壁厚度为在薄壁厚度为d d处，切应力的大小（等于薄膜的斜率）是：处，切应力的大小（等于薄膜的斜率）是： 01shs2)tan(sindh（e） 扭矩扭矩M应当等于体积应当等于体积ABDC的两倍，即的两倍，即AhM2（f） 由（由（e）式和（）式和（f）式消去）式消去h得：得：dAM2（8-19） 可见最大切应力发生在杆壁最薄处。可见最大切应力发生在杆壁最薄处。 为确定扭矩为确定扭矩K，考虑平板，考虑平板CD的平衡，在杆壁中线的微小长度的平衡，在杆壁

21、中线的微小长度 ds上，薄膜对平板所施的拉力是上，薄膜对平板所施的拉力是TTds，这个拉力在，这个拉力在 z轴上的投影是轴上的投影是 FTdssina，可近似取为，可近似取为 FTdstan ，即，即 FTdsh/d d，平板受到的压力是，平板受到的压力是 qA，可以由平衡条件，可以由平衡条件 ，得：，得： 0zFqAhdsFTd（FT，h为常数） TFqdsAhd由（由（f）得，）得， ，代入上式，而，代入上式，而q/FT 即为即为2GK，故有：，故有： AMh2GKdsAM222dddsGAMK24（8-20） 对于均匀厚度的闭口薄壁杆，对于均匀厚度的闭口薄壁杆，d d 是常量，上式简化为

22、：是常量，上式简化为： dGAMsK24（8-21） 其中其中s是薄壁中线的全长。是薄壁中线的全长。 注意注意：在截面有凹角处的局部最大切应力：在截面有凹角处的局部最大切应力 max可能远大于公式可能远大于公式（8-19）给出的）给出的 值，值， max/ 比值比值/d/d的关系见有关参考文献。的关系见有关参考文献。 1. 应力分量应力分量 等截面直杆，横截面为椭圆，半轴分别为等截面直杆，横截面为椭圆，半轴分别为a和和b，椭圆的方程为：，椭圆的方程为： 图8-4012222byax（a） 而应力函数在横截面的边界上应等于零，所而应力函数在横截面的边界上应等于零，所以假设：以假设：) 1(222

23、2byaxm（b） m是常数，考察是常数，考察 是否满足一切条件。是否满足一切条件。 将（将（b）式代入微分方程（）式代入微分方程（8-3）式，得：）式，得： Cbmam2222CbababaCm)(222222222可以满足基本微分方程（可以满足基本微分方程（8-3）式，而式（）式，而式（b）应取为）应取为) 1()(222222222byaxCbaba由式（由式（8-5）来求常数）来求常数C，将（，将（c）式代入（）式代入（8-5）式，有：）式，有：（c）MdxdydxdyybdxdyxaCbabaAAA)11()(22222222（d） 式中式中A为椭圆截面面积。由材力可知：为椭圆截面面积。由材力可知：432baIdxdyxyA432abIdxdyyxAabdxdyA； ； 代入（代入（d）式得：）式得：3322)(2baMbaC代入（代入（c）式得：）式得：) 1(2222byaxabM（f） （e） 这个应力函数满足了一