2.4 正态分布

1、2.4 正态分布正态分布22( x)2u ,1( x )e2 1.1.正态密度曲线函数中参数正态密度曲线函数中参数 的意义；的意义；2.2.正态曲线的性质正态曲线的性质4 4、5 5、6 6的理解；的理解；3.3.如何利用正态分布求正态变量的概率？如何利用正态分布求正态变量的概率？ ,问题归类：问题归类：KETANG HEZUO TANJIU22( x)2u ,1( x )e2 1.1.正态曲线正态曲线2.2.正态密度曲线的性质正态密度曲线的性质: :曲线位于曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴不相交轴不相交. .曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线_对称对称. .曲线在曲线在

2、x=x=处达到峰值处达到峰值_._.曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_._.12上方上方x=x=1 1y =y =,(x)(x)22( x)2u ,1(x )e22.2.正态密度曲线的性质正态密度曲线的性质: :曲线位于曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴不相交轴不相交. .曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线_对称对称. .曲线在曲线在x=x=处达到峰值处达到峰值_._.曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_._.12上方上方x=x=1 1y =y =,(x)(x)22( x)2u ,1(x )e2=0.5=0.5=2=2=1=1=1=1u=1u=1（

3、5）当）当一定时一定时,曲线的位置曲线的位置由由 确定确定,曲线随着曲线随着 的变的变化而沿化而沿x轴轴平移。平移。（6）当）当一定时，曲线的形状一定时，曲线的形状由由 确定确定 .越小，曲线越越小，曲线越“ ”，表示，表示总体的分布越集中；总体的分布越集中；越大，曲线越越大，曲线越“ ”，表示，表示总体的分布越分散总体的分布越分散.瘦高瘦高矮胖矮胖3.3.随机变量随机变量X X服从正态分布服从正态分布 , ,2( ,)N 则则P(Xa)=P(X0)0)和和N(N(2 2, )(, )(2 20)0)的的密度函数图象如图所示密度函数图象如图所示, ,则有则有1 12 2,1 12 2. .2x

4、41e221220 02 0).)(0).若若在在(0,1)(0,1)内取值的概率为内取值的概率为0.4,0.4,则则在在(0,2)(0,2)内取值的概率为内取值的概率为. . 在在(2, +)(2, +)内取值的概率为内取值的概率为。0.80.80.10.1课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU3.3.做一做：做一做：（1 1）已知随机变量）已知随机变量X XN(2,N(2,2 2),),若若P(Xa)=0.32,P(Xa)=0.32,则则P(ax4-a)=P(ax4-a)=. .0.360.36课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU4-a4-

5、a课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU【解题思路归纳解题思路归纳】3.3.（2)2)已知已知X XN(1,2N(1,22 2),),求求P(-1X3)P(-1X3)的值。的值。 课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU解：解：因为因为X XN(1,2N(1,22 2),),所以所以=1,=2.=1,=2.P(-1X3) = P(1-2X1+2) =P(-1X3) = P(1-2X1+2) = P(-X+)= 0.6826. P(-X+)= 0.6826.y yx x-1-11 13 3【延伸探究延伸探究】条件不变的情况下条件不变的情况下, ,试求

6、试求P(X5).P(X5).【解析解析】因为因为P(X5)=P(X-3),P(X5)=P(X-3),所以所以P(X5)= 1-P(-3X5)P(X5)= 1-P(-3X5)= 1-P(1-4X1+4)= 1-P(1-4X1+4)= 1-P(-2X+2)= 1-P(-2X+2)= (1-0.9544)=0.0228.= (1-0.9544)=0.0228.12121212课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIUy yx x-1-11 13 35 5【解题思路归纳解题思路归纳】课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU课堂合作探究课堂合作探究KETANG

7、HEZUO TANJIUx3.3.（3 3）在某次数学考试中，考生的成绩）在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，服从一个正态分布，即即 N(90,225).N(90,225).（1 1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(75,120)(75,120)上的概率是多少？上的概率是多少？（2 2）若这次考试共有）若这次考试共有20002000名考生，试估计考试成绩在名考生，试估计考试成绩在120120分以上的分以上的考生大约有多少人？考生大约有多少人？1.1.正态密度曲线函数中参数正态密度曲线函数中参数 的意义；的意义；2.2.正态曲线的性质正态曲线的性质4 4、5 5、6 6

8、的理解；的理解；3.3.如何利用正态分布求正态变量的概率？如何利用正态分布求正态变量的概率？ ,问题归类：问题归类：课堂合作探究课堂合作探究KETANG HEZUO TANJIU222)(21)(xexf),(x2.2.正态分布正态分布3.3.正态曲线的性质正态曲线的性质1. 1. 正态曲线正态曲线(1)(1)非负性非负性 (2)(2)定值性定值性 (3)(3)对称性对称性(4)(4)最值性最值性 (5)(5)几何性几何性. . 4. 4.正态分布的简单应用正态分布的简单应用 课时作业课时作业P117-118谢谢大家！再见！xy0 频率分布直方图频率分布直方图频率频率组距组距样本容量增大时样本

9、容量增大时各小长方形的面积为各组的频率各小长方形的面积为各组的频率全部直方图的面积等于全部直方图的面积等于1 1返回返回1已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(3，2)，则，则P(3)等于等于()A. B. C. D.2(2011湖北湖北)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2，2)，且，且P(4)0.8，则，则P(02)等于等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2【类题训练类题训练】 返回返回15121314D DC C在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走, ,第一条路线穿过市区第一条路线穿过

10、市区, ,路线较短路线较短, ,但交通拥挤但交通拥挤, ,所需时间所需时间( (单位为单位为分分) )服从正态分布服从正态分布N(50,10N(50,102 2););第二条路线沿环城公路走第二条路线沿环城公路走, ,路程较长路程较长, ,但交通阻塞少但交通阻塞少, ,所需时间所需时间服从正态分布服从正态分布N(60,4N(60,42 2).).(1)(1)若只有若只有7070分钟可用分钟可用, ,问应走哪条路线问应走哪条路线? ?(2)(2)若只有若只有6565分钟可用分钟可用, ,又应走哪条路线又应走哪条路线? ?变式训练变式训练【解析解析】由已知可设由已知可设X XN(50,10N(50

11、,102 2),Y),YN(60,4N(60,42 2).).由正态分布的由正态分布的22区间性质区间性质 P(-2+2)=0.9544.P(-2+2)=0.9544.根据上述性质得到如下结果根据上述性质得到如下结果: :对对X:=50X:=50，=10, 2=10, 2区间为区间为(30,70),(30,70),对对Y:=60Y:=60，=4, 2=4, 2区间为区间为(52,68),(52,68),要尽量保证用时在要尽量保证用时在X (30,70),Y (52,68)X (30,70),Y (52,68)才能保证有才能保证有95%95%以以上的概率准时到达上的概率准时到达. .(1)(1)

12、时间只有时间只有7070分钟可用分钟可用, ,应该走第二条路线应该走第二条路线. .(2)(2)时间只有时间只有6565分钟可用分钟可用, ,两种方案都能保证有两种方案都能保证有95%95%以上的概率以上的概率准时到达准时到达, ,但是走市区平均用时比路线二少了但是走市区平均用时比路线二少了1010分钟分钟, ,应该走第应该走第一条路线一条路线. .(1)(1)某厂生产的零件外直径某厂生产的零件外直径N(8.0,0.15N(8.0,0.152 2)(mm),)(mm),今从该厂上、今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个下午生产的零件中各随机取出一个, ,测得其外直径分别为测得其外直径分别为

13、7.9mm7.9mm和和7.5mm,7.5mm,则可认为则可认为( () )A.A.上、下午生产情况均为正常上、下午生产情况均为正常B.B.上、下午生产情况均为异常上、下午生产情况均为异常C.C.上午生产情况正常上午生产情况正常, ,下午生产情况异常下午生产情况异常D.D.上午生产情况异常上午生产情况异常, ,下午生产情况正常下午生产情况正常知识应用：知识应用：C C（2 2）据调查统计，某校高二学生中男生的身高）据调查统计，某校高二学生中男生的身高X(X(单位：单位：cm)cm)服从正态分布服从正态分布N(174,9)N(174,9)，若该校共有高二男生，若该校共有高二男生400400人，试

14、计算人，试计算该校高二男生身高在该校高二男生身高在(174,180(174,180范围内的人数范围内的人数. .解：解：因为因为X XN(174,3N(174,32 2),),所以所以=174,=3.=174,=3.P(174X180) = P(174-6X174+6) P(174X180) = P(174-6X174+6) = = 0.95440.9544 =0.4772. =0.4772.400400 0.4772191 0.4772191（人）（人）1212(3)(3)已知已知X XN(1,2N(1,22 2),),求求P(3X5)P(3X5)的值的值. . 因为因为P(3X5)=P(-

15、3X-1),P(3X5)=P(-3X-1),所以所以P(3X5) = P(-3X5)-P(-1X3)P(3X5) = P(-3X5)-P(-1X3)= P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)= P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)= P(-2X+2)-P(-X+)= P(-2X+2)-P(-X+)= (0.9544-0.6826)=0.1359.= (0.9544-0.6826)=0.1359.(2)(2)某糖厂用自动打包机打包某糖厂用自动打包机打包, ,每包质量每包质量X(kg)X(kg)服从正态分布服从正态分布N(100,1.2N(100,1.22 2).).一公司从该糖厂进货一

16、公司从该糖厂进货15001500包包, ,试估计质量在下列试估计质量在下列范围内的糖包数量范围内的糖包数量. .(100-1.2,100+1.2).(100-1.2,100+1.2).(100-3(100-31.2,100+31.2,100+31.2).1.2).【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依中判断上、下午生产情况是否正常的依据是什么据是什么? ?2.2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量? ?【探究提示探究提示】1.1.依据是依据是33原则原则, ,即某产品的外径是否落在区间即某产品的外径是否落在区间(

17、7.55,8.45)(7.55,8.45)内内. .2.2.先依据正态分布求所在区间对应的概率先依据正态分布求所在区间对应的概率, ,再计算所求范围内再计算所求范围内的糖包数量的糖包数量. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.因为零件外直径因为零件外直径N(8.0,0.15N(8.0,0.152 2),),根据根据33原则原则, ,所以在所以在8+38+30.15=8.45(mm)0.15=8.45(mm)与与8-38-30.150.15=7.55(mm)=7.55(mm)之外时为异常之外时为异常. .因为上、下午生产的零件中各随机取因为上、下午生产的零件中各随机取出一个出一个, ,

18、测得其外直径分别为测得其外直径分别为7.9mm7.9mm和和7.5mm,7.57.55,7.5mm,7.57.55,所以下所以下午生产的产品异常午生产的产品异常, ,故选故选C.C.(2)(2)由正态分布由正态分布N(100,1.2N(100,1.22 2),),知知P(100-1.2X100+1.2)=0.6826,P(100-1.2X100+1.2)=0.6826,P(100-3P(100-31.2X100+31.2X100+31.2)=0.9974.1.2)=0.9974.所以糖包质量在所以糖包质量在(100-1.2,100+1.2)(100-1.2,100+1.2)内的包数为内的包数为

19、150015000.68261024.0.68261024.糖包质量在糖包质量在(100-3(100-31.2,100+31.2,100+31.2)1.2)内的包数为内的包数为150015000.99741496.0.99741496.【方法技巧方法技巧】正态曲线的应用及求解策略正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向解答此类题目的关键在于将待求的问题向(-,+),(-(-,+),(-2,+2),(-3,+3)2,+2),(-3,+3)这三个区间进行转化这三个区间进行转化, ,然后利用然后利用上述区间的概率求出相应概率上述区间的概率求出相应概率, ,在此过程中依然会用到化归

20、思在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想想及数形结合思想. .【补偿训练补偿训练】某人乘车从某人乘车从A A地到地到B B地地, ,所需时间所需时间X(X(分钟分钟) )服从正态服从正态分布分布N(30,100),N(30,100),求此人在求此人在4040分钟至分钟至5050分钟到达目的地的概率分钟到达目的地的概率. .【解析解析】由由=30,=10,P(-X+)=0.6826=30,=10,P(-X+)=0.6826知此人在知此人在2020分钟至分钟至4040分钟到达目的地的概率为分钟到达目的地的概率为0.6826,0.6826,又由于又由于P(-P(-2X+2)=0.9544,2X+

21、2)=0.9544,所以此人在所以此人在1010分钟至分钟至2020分钟或分钟或4040分钟分钟至至5050分钟到达目的地的概率为分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,0.9544-0.6826=0.2718,由正态由正态曲线关于直线曲线关于直线x=30 x=30对称得此人在对称得此人在4040分钟至分钟至5050分钟到达目的地的分钟到达目的地的概率为概率为0.1359.0.1359.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直中正态分布的概率密度函数关于哪条直线对称线对称?a?a和和4-a4-a的平均数是多少的平均数是多少? ?2.

22、2.题题(2)(2)中中,的值分别为多少的值分别为多少? ?【探究提示探究提示】1.1.关于直线关于直线x=2x=2对称对称.a.a和和4-a4-a的平均数是的平均数是2.2.2.=1,=2.2.=1,=2.学生学习时问题截屏的呈现学生学习时问题截屏的呈现教师归类后的问题呈现教师归类后的问题呈现【解析解析】(1)(1)错误错误. .参数参数是反映随机变量取值的平均水平的特是反映随机变量取值的平均水平的特征数征数, ,可以用样本的均值去估计可以用样本的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大是衡量随机变量总体波动大小的特征数小的特征数, ,可以用样本的标准差去估计可以用样本的标准差去估计. .(2)

23、(2)错误错误. .正态曲线是单峰的正态曲线是单峰的, ,其与其与x x轴围成的面积是定值轴围成的面积是定值1.1.(3)(3)正确正确. .当当=0=0时时, ,正态曲线关于正态曲线关于y y轴对称轴对称. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【解析解析】(1)(1)对照正态分布密度函数对照正态分布密度函数f(x)= ,xf(x)= ,x(-,+),(-,+),可得可得=0,= .=0,= .答案：答案：0 0(2)(2)可知可知N(N(1 1， ),N(),N(2 2， ) )的密度曲线分别关于直线的密度曲线分别关于直线x=x=1 1,x=,x=2 2对称，因此结合所给图象

24、知对称，因此结合所给图象知1 12 2，且，且N(N(1 1， ) )的密度曲线较的密度曲线较N(N(2 2， ) )的密度曲线的密度曲线“高瘦高瘦”，因此，因此1 12 2. .答案：答案： 22x21e22221222221(3)(3)可知正态分布可知正态分布N(1,N(1,2 2) )的密度曲线关于直线的密度曲线关于直线x=1x=1对称对称. .若若在在(0,1)(0,1)内取值的概率为内取值的概率为0.4,0.4,则则在在(0,2)(0,2)内取值的概率为内取值的概率为0.8.0.8.答案答案: :0.8 0.10.8 0.1【方法技巧方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略正

25、态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x x轴之间面积为轴之间面积为1.1.(2)(2)熟记熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)X+3)的值的值. .(3)(3)注意概率值的求解转化注意概率值的求解转化: :P(Xa)=1-P(Xa);P(Xa)=1-P(Xa);P(X-a)=P(X+a);P(X-a)=P(X+a);若若b,b,则则P(Xb)= .P(Xb)= .1 P(bXb)2【方法技巧方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略正态总体在某个区间内取值概

26、率的求解策略(1)(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x x轴之间面积为轴之间面积为1.1.(2)(2)熟记熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)X+3)的值的值. .(3)(3)注意概率值的求解转化注意概率值的求解转化: :P(Xa)=1-P(Xa);P(Xa)=1-P(Xa);P(X-a)=P(X+a);P(X-a)=P(X+a);若若b,b,则则P(Xb)= .P(Xb)= .1 P(bXb)29974.0=)3+3(9544.0=)2+2(6826.0=)+(XXX-三个特殊区间的概率（熟记）三个特

27、殊区间的概率（熟记）246%26.6895.44%99.74%.d )(xxaXaaa,)(概率2. 2. 3原则原则(2)(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率: :P(-X+)=_;P(-X+)=_;P(-2X+2)=_;P(-2X+2)=_;P(-3X+3)=_.P(-3X+3)=_.0.68260.68260.95440.95440.99740.9974正态分布在正态分布在3 3个特殊区间的概率个特殊区间的概率: :区区 间间取值概率取值概率（，）68.26%（22，22）95.54%（33，33）99.74% 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看

28、到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.64.6，在，在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有0.3 0.3 。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 5 ）通常称这些）通常称这些情况发生为情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX定值性定值性非负性非负性(2)(2)正态曲线的性质正态曲线的性质: :曲线位于曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴不相交轴不相交. .曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线_对称对称. .曲线在曲线在x=x=处达到峰值处达到峰值_._.

29、曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_._.当当一定时一定时, ,曲线的位置由曲线的位置由确定确定, ,曲线随着曲线随着_的变化而沿的变化而沿x x轴平移轴平移. .12上方上方x=x=1 1最值性最值性几何性几何性对称性对称性y =y =,(x)(x)几何性质的演示几何性质的演示2.2.正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)(1)正态分布正态分布: :如果对于任何实数如果对于任何实数a,b(ab),a,b(ab),随机变量随机变量X X满足满足P(aXb)=P(aXb)=则称随机变量则称随机变量X X服从正态分布服从正态分布. .记为记为:X:XN(_).N(_).,2 2因为因为P(3X5)=P(-3X-1),P(3X5)=P(-3X-1),所以所以P(3X5) = P(-3X5)-P(-1X3)P(3X5) = P(-3X5)-P(-1X3)=