微积分基础(国家开放大学)---第1章---第2节---极限的概念和计算.

1、121A2AnA123(n边)3注意注意 1 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2 数列可看作定义在整数列可看作定义在整数集上的函数数集上的函数).(nfxn 4,81,41,21,21n,34,21, 2,11nnn, 2lg, 1lg,lgn,1, 1 , 1, 1,11n(1)(2)(3)(4)0814121034202lg3lgnlg011,n1021n,n111nnn,nnlg,n不趋于一确定值215limnnxA63(2) 1,8, 27 , 64,n1234(1),23451

2、nn11111(3),23451n78lim( )( )()xf xAf xA x 或1limxx01limcosxx1900lim( )( )()xxf xAf xA xx或3lim 26xx0limcos1xx21lim(23)0 xxx10 0limxxfxA 0limxxfxA Axfxlim Axfxlim Axfxx0lim .limAxfx 0limxxfx 0limxxfxA limxf x Axfxlim111(1)lim(1)xx211(2)lim1xxx111(3)lim ( )( )11xxxf xf xx其中121lim(1)2xx211lim1xxx1lim(1)2

3、xx1lim( )xf x1lim(1)2xx12xx1sinlim00 xxxsinlim13xx21lim0yxOxxxy210014.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx0lim11x15例例5 5).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim2

4、00 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故161718111lim10nnnn 19sinlim?xxx1lim0,xxsin1limlimsin0 xxxxxx01lim sin?xxx2021定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设22推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(l

5、im,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 22314lim22xxx22lim xxxx4lim21lim2x22limxxxx2lim41lim2x2224113101( ),nnnf xa xa xa设则有nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 24121lim220 xxxx ,limAxf ,limBxg 0lim Bxg xgxflimBA xgxflimlim1lim20 xx112lim20 xxx10121lim220 xxxx) 12(lim) 1(l

6、im2020 xxxxx1110( )( ),()0,( )P xf xQ xQ x设 有理分式且则有)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ25解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx2693lim23xxx)3(lim3xx0)9(lim23xx000未定

7、型93lim23xxx)3)(3(3lim3xxxx31lim3xx)03(x61方法：约去零因子法不可利用法则3 ,limAxf ,limBxg xgxflimBA xgxflimlim27357243lim2323xxxxx)243(lim231xxx)357(lim231xxx357243lim2323xxxxx33357243limxxxxx7312lim2xxx212limxxx112lim2xxx012lim2xxx28为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出

8、法无穷小分出法 以自变量的最高次幂除分子以自变量的最高次幂除分子,分分母母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.29).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.302121limnnn221limnnnn221limnnnn21)1112(lim21xxx112lim21xxx11lim21xxx11lim1xx21)1(limxxxxxxxxxx1)1)(1(limxxx11lim031xx

9、xcoslimxxlimxxcoslim不存在xxxcos1limxxxcoslim01limxx1cosx有界函数根据无穷小乘以有界函数仍是无穷小x1是当x时的无穷小量所以xxxcos1limxxxcoslim0无穷小有界函数无穷小32从条件, 0)11(lim2baxxxx求常数.,babaxxx1121)()()1 (2xbaxbaxa01a0ba1a1b33341sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,

10、BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即0limcos1,xx0lim11,x0sinlim1.xxx0()00sinsin()sinlimlimlim1.()xxuxxuxxu0sinlim1.xxx351sinlim0 xxx注100型(含三角函数)注2x为弧度注31sinlim0在形式上完全一致，且 xf注41sinlim0 xxx如：220sinlim1xxx111()01sinlim sinlim1xxxxxx0sinlim(0)xkxk kxsin()lim1xaxaxa36xxx5sinlim0555sinlim05xxx5xtgxx0limx

11、xxsinlim0 xcos1xxxsinlim0 xxcos1lim0120cos1limxxx2202sin2limxxx2022sinlim21xxx211sinlim0 xxxsinlim0 xxxxxx1sinlim00 xxx1sinlim11sinlim0 xxx37xxx11lime11nn1lim 1nnn1lim 1nnne590457182818284. 2e11111111nxnnxn1lim 1xxx1(1)11lim 1lim 11xuxuxuxu (1)lim1uuuu(1)1lim 1uuu11lim 11uueuu 1lim 1xxex38xxx11lime注11注211lim在形式上完全一致,且可以 xfe无穷大量无穷小量1lim如：exxx101lim39101lim 1lim 1xxxxexex211limxxx2111limxxx21exxx11lim111limxxx1 exxx1021lim221021limxxx221021limxxx2ennn111lim11111limnnn1111limnnn1111limnne232limxxxx3 51lim 13xxx 3511lim1133xxxxe4041424344454647484950515253545556575859606162636465666