《最优控制》第2章变分法在最优控制中的应用

1、12022-5-20123第2章变分法在最优控制中的应用21, xx)(xfy dxyxxydxdldslSydxdds21222221例：考察平面上两点之间曲线的弧长 凡变量的值是由一个或几个函数的选取而确定的，这个变量称之为泛函。(1)泛函的定义1、变分法4第2章变分法在最优控制中的应用 S的值取决于函数y=f(x)的确定，S为y=f(x)的泛函。简而言之，泛函就是函数的函数。复合函数：)()(2121zffyzfxxfy）（5第2章变分法在最优控制中的应用自变量函数xxfy),()(0 xAxydyydxxxx)()(以后会用则xy泛函宗量泛函ftxtxJJ)(),(J: )()()(0

2、变通形式定义为tJtxtxJ（2）泛函宗量的变分当泛函宗量由x0(t)微量变动到x(t)时，称泛函宗量的增量为泛函宗量的变分，用表示6第2章变分法在最优控制中的应用，)(txJJ （3）泛函的连续性泛函 如果泛函Jx(t)的宗量x(t)在x0(t)处有一个微量变动，同时泛函Jx(t)的变化也很微小，则Jx(t)在x0(t)出连续。函数的接近度,),(),(0battxtx）零阶接近度有零阶接近度。和很小，称当)()()()(00txtxtxtx7都很小当(t)x-(t)x,(t)x-x(t)00ii)一阶接近度iii) k阶接近度都很小当)()()()(, )()()(0)(00txtxtxt

3、xtxtxkk第2章变分法在最优控制中的应用8第2章变分法在最优控制中的应用函数空间 所有在a,b上连续，并且连续k阶导函数的函数构成一个函数空间，用Cka,b表示。 考察平面上两点之间的距离12122221221211)(),()()()(),(yyxxBAdyxByyxxBAdyxA函数空间两点之间的距离| |,max|,1)(2)(121221kkxxxxxxxxd9第2章变分法在最优控制中的应用泛函的连续性时，使得当总有如果对于任意给定),(, 0, 021xxd阶连续上连续，并称为在则称有ktxtxJ|(t)x-Jx(t)|J)()(,00线性泛函连续泛函如果满足：)()()()()

4、()()(2121为常数ctxcJtcxJtxJtxJtxtxJ为线性泛函则称)(txJ10是否为线性泛函例：考察泛函dttx tttxtttxJ)(sin)()(01)()(sin)()(.)()()()(sin)()()()(.012121210121txcJdttcxtttcxtttcxJbtxJtxJdttxtxttxtxttttxtxJa)(txJ第2章变分法在最优控制中的应用为线性泛函11第2章变分法在最优控制中的应用泛函的变分),()()()(),(xxxxAxfxxfyxfy函数表示。为泛函变分，用，则称）（时，有且当来说是线性的。对于其中可以表示为的增量如果对于泛函JxtxL

5、xxxxxtxLxxtxxtxLJtxJxtxJJtxJ)(),(0,0| )(|max)()(),(,| )(|max)(),()(),()()()(12第2章变分法在最优控制中的应用函数变分的求法（1）按定义求（2）引进)(tx克劳林级数。的函数，将其展开为马可视为不变，则，设)()()(),()()()(ttxJttxtxJttxJJ)(|! 21|)(20220txJdJdddJtxJJ13则次变分二次变分一次变分kdJdJdJdJddJJkkkk0)20220|(|2第2章变分法在最优控制中的应用14的变分时，泛函例：求当dttxJtxttx)(011 . 0,)(22xdtxdtx

6、dtxdtxxtxJxtxJJ2220120101)(01)()(定义：2012 . 0012013dttxdtxJ则第2章变分法在最优控制中的应用15xdtxdtxddddJJ201| )(01|020性。连续，且有足够的可微）关于（设xxtxxFF,xFxFtxxFtxxxxFFxx),(),(计算定义)(为两个独立变量和xxxFxFFxxFdtttdttxxFttff00),(第2章变分法在最优控制中的应用16上例中的其他求解方法：)43(20120101和利用xdtxxdtFxJ积分的变分二变分的积分，再利用第2章变分法在最优控制中的应用17)(txJ)(* tx)(tx泛函的极值，)

7、(*txJ0)(*)(txJtxJJ即)(* tx)(* tx在)(txJ则称如果泛函在任何一条与曲线接近的曲线上的值不大于（或不小于）,0）（或J上取得极大值（或者极小值）定理：如果具有变分的泛函在上取得极值，则在)(* tx上泛函的一次变分为零。第2章变分法在最优控制中的应用18第2章变分法在最优控制中的应用2、无约束最优化xxFdttxxFttJf,0对寻求最优轨或Jtx使)(*取得极值。固定ftt ,. 10欧拉方程. 引进0|),()(ddJJtx已知泛函二阶连续可微190)(|)(|)()(|,*,*000000000txFtxFdtxFdtdxFttdtxFdtdttxddFxF

8、ttdtxddFdxdFttdttxxFttddddJttfttffttfffff(根据泛函极值的必要条件)0J第2章变分法在最优控制中的应用20第2章变分法在最优控制中的应用设端点固定.00)(0)() 0(0由于dtxFdtdxFttddJtftf欧拉方程0)(xFdtdxF或0t xxxxxFxFxFFx 21第2章变分法在最优控制中的应用边界条件端点固定ffxtxxtx)(,)(00端点不固定 既然x*(t)在端点不固定的情况下是泛函的极值曲线，那么在端点固定的情况下，x*(t)仍然是泛函的极值曲线，因此x*(t)必须满足欧拉方程。于是有0|, 0|0fttttxFxF22ffttxt

9、xxF)(, 0|0始端不固定，末端固定始端固定，末端不固定00)(, 0|xtxxFftt例：最速降线问题 设在垂直平面上，有O,A两点，他们不再同一垂直线上，现有一质点自向A运动，假定介质的阻力可以忽略不计，向应取怎样的轨线，才能使所需时间最短。第2章变分法在最优控制中的应用23dxgyyxtgydxygydsdtgydtdsgyVgyVf2102122,2,2222端点固定的变分问题由欧拉方程0 xyyyyyyFyFyFF 可以得到0yFyFFyyyyy 将式两边同乘y 第2章变分法在最优控制中的应用240)(yFyFFyyyyyy 此式左边为)(yFFy于是)cos(2)sin(2co

10、t,)1 (21)1 (11112222CyCxyCyyxxCyyyyyCyFFy取，对x的全导数第2章变分法在最优控制中的应用25第2章变分法在最优控制中的应用2.ftt ,0不固定，可动端点的变分问题取极值：使寻求最优轨线固定的结论不固定的问题最好利用末端须满足初始端须满足已知泛函JtxtxtxdtttxtxFttJff),(),()(,),(),(00FdttttFdttttdttxxFttdtthxhxFttJfffff00000,26上式前两项为0)(0tthxFdthxFdtdxFttff上式后两项积分值定值为fttttttFFf00ftttttftFFthxFthxFdthxFd

11、tdxFttfJf00)()()(00第2章变分法在最优控制中的应用27由)()()()()()()(000000000txttthttxtttxtxf则)()()()(00000tdtthtxt)()()(00000thttxtt00000)()()(ttxttthfffffttxttth)()()(则同理第2章变分法在最优控制中的应用28带入J式中，合并同类项，则最后得到0)(xFdtdxF000fttttxxFFxFxxFFxF横截条件第2章变分法在最优控制中的应用29第2章变分法在最优控制中的应用例：在平面上给定O,A两点，O点位于坐标原点，A点沿曲线)(xyf移动，求一条曲线，连接O

12、A两点，且有最短长度。解：寻求最优轨线)(xy使得dxyxJf210最小，且y满足)(xyf采用欧拉方程得0)(yFdxdyFCyyyF2122, 0则有XCyCy1,为直线30由横截条件0fxxyyFFyF正交与，则yxxyff01)()(第2章变分法在最优控制中的应用31第2章变分法在最优控制中的应用等式约束条件下的变分问题已知泛函txxFdttxxFttJf,),(0对二阶连续可微寻求最优轨线x*(t)使J取极值，其中x(t)需满足等式约束条,),()(, 0),(21Tnxxxtxtxx且Tn),(21引进拉格朗日乘子法,)(21Tm构造),(),(txxtxxFLT件32于是有dtt

13、xxLttJf),(0则dttxxtxxFttJTf),(),(0此时欧拉方程0)(xLdtdxL（L为矩阵，则有n个一阶方程）第2章变分法在最优控制中的应用33第2章变分法在最优控制中的应用n3.用变分法求解最优控制。问题：已知被控制系统00)(),),(),()(xtxttutxftx性能指标dtttutxFttttxJfff),(),(),(0寻求最优控制u*(t)使J最小。自由固定，)(. 1fftxt将状态方程视为等式约束条件，即有0)(),(),(txttutxf34引进拉格朗日乘子),(t构造dttxtuxFttuxFttttxJTfff)(),()(),(),(0引进哈密顿函数

14、),()(),(),(tuxfttuxFtuxHT则dttxttuxHttttxJTfff)()(),(),(0第2章变分法在最优控制中的应用35其中dttxttttttxtdttxtttffTTf)()()()()()(000)43)()(,(利用泛函变分的求法JtxxufdtxtuxHxxHtttxttxtxJTTTfffTfTf)()()()()()()(0第2章变分法在最优控制中的应用36引进拉格朗日乘子),(t使满足)()(0)(fftxttxH及xxHttJTf)(0不受约束，即任意u0 xH则)(tu而第2章变分法在最优控制中的应用37小结：)(* tu为最优控制的必要条件为：状

15、态方程协态方程控制方程初始条件横截条件（即边界 条件）),(tuxfxHx)0(xfxFxHT)0(0ufuFuHT00)(xtx)()(fftxt第2章变分法在最优控制中的应用38说明：协态方程和控制方程就是变分法中的欧拉方程0)(0)()(uLdtduLxLdtdxLxfFL计算则得协态方程和控制方程第2章变分法在最优控制中的应用39由控制方程HtuuH使可知，)(*0函数取极值，同时同时也就使J取极值。对最优控制)(* tu)(* tx和最优轨线而言，H函数对t的全导数等于H函数对t的偏导数。即dtdHdttuxdH),(对于定常系统则0dtdH则H函数保持常数第2章变分法在最优控制中的

16、应用40例：已知系统00)(,xtxux性能指标dtutttCxdtttutxFttttxJfffff202021)(21),(),(),(寻求最优控制u*(t)使J最小。解： 构造哈密顿函数fFHTuuH221则第2章变分法在最优控制中的应用41协态方程横截条件控制方程xH0则)()(fftxt)(),()(ffftCxtCxt则0uH)(, 0ftCxuu第2章变分法在最优控制中的应用42状态方程)(1)(*,)(1)(,)(;)()(,000000ttCCxtuttCxtxttCtxxtxdttCxdxuxffffff时当第2章变分法在最优控制中的应用43受约束。固定，)(fftxt2.

17、即有kttxff为, 0),(维向量函数，再引入拉格朗),(21kVVVV日乘子为常向量。构造dttxtuxHttttxVttxJTfffTff)(),(),(),(0其中dttxtttttxdttxttTffTTf)()()(000第2章变分法在最优控制中的应用44dtxtuxHxxHtttxttxVtxtxtxJTTTfffTfTfTfTf)()()()()()()()()(0根据泛函极值必要条件可得：正则方程xHHx,边界条件0),(,)(00ffttxxtx第2章变分法在最优控制中的应用450)()()(ffTftVtxtx在系统完全可控的条件下，有0uH受固定。固定，)(fftxt3.)(* tu为最优控制的必要条件：正则方程组xHHx,第2章变分法在最优控制中的应用46在系统完全可控条件下0uH边界条件ffxtxxtx)(,)(004.自由。变动，)(fftxt),(,()(),(),(0JttxxudttxtuxHttttxJffTfff第2章变分法在最优控制中的应用470)()()()()()()()(0dtxtuxHxxHtt