正交增量过程.

1、正交增量过程姓名：张转花主要内容主要内容定义定义性质性质正交增量过程的协方差正交增量过程的协方差 上的正交增量过程上的正交增量过程正交增量过程与噪声正交增量过程与噪声正交增量过程的积分正交增量过程的积分，-定义定义：设设 是一二阶矩过程，若对任意的是一二阶矩过程，若对任意的有有 则称则称 是是T上的正交增量过程。上的正交增量过程。(t),tXT1234tttt2143( (t )(t )( (t )(t ) 0E XXXX(t),tXT性质：正交增量过程的协方差正交增量过程且X（a）=0，则具有以下性质(t),tTX , T ab,)Ta 或2221( , )( , )(min( , )s t

2、,sttsXXXXXC s tR s ts tT（）（2）当，且时， （） （）s t T，2221s=0 是正交增量过程，且X(0)=0,Z是一个标准正态随机变量，且对 ，X（t) 与Z相互独立，求Y(t）= X(t)+Z,t=0的协方差函数。 解 由于EX(t)=0,EZ=0,故Ey(t)=0,于是 0t ( , ) cov(Y(s),Y(t) cov(X(s) Z,X(t) Z)( , ) D(Z) R ( , ) 1min( , ) 1YXXXC s tC s ts tDs t 设X (t),t是正交增量过程，则存在唯一的分布函数F(即唯一的非降右连续函数），满足 F(t)=0, t

3、F(t)=F(), t和 F(u)-F(t)=证明 对满足定理条件的F，令t=-,则显然有 F(u)=2()()XuXt u 对校验函数F( )非降，由X(u)-X(t)和X(t)-X(-), 的正交性，有 (u)(t) ,XXu 222(u)(u)(t)(t)()(u)(t)(t)()(t)FXXXXXXXXF命题2(u) F(u)(u)(u)0,0FXX 即F(t)右连续 由假设X(t)的右连续性，有以同样的计算，对于u u 例1.Brown运动 ， 是 上的正交增量过程，相应的分布函数满足 tttEBttB，），2)()(-2，-tttFttFttF,2)()(,)(, 0)(22正交增

4、量过程与噪声一、附属函数 引理1 设x(t)， 是正交增量过程，那么对任意的rst 成立tTt)( T222)()(x)()(x)()(xrxsEsxtErxtE证明：222)()( x)()( x)()( x)()( x )()( x)()( x)()( xrxsEsxtErxssxtrxssxtErxtE现在取定 ，定义 0t定义 称函数族G(t)+c中的函数为正交增量过程x( t), 的附属函数。反之，如果二阶矩过程x(t), 满足上述定理而且它又是实的，那么x(t),是实正交增量过程应用引理容易推出 是 的单调减小函数，并且对任意的 有 因此，函数族 不依赖于 ，记为G(t)+c.0tG0t21tt212)()(-12txtxEtGtGtt）（）（ctGt)(00t)()()()()()()(t)()(t220020000sGtGsxtxEtxtxEtGttxtxEtGttt当）（时当TtTt定理 设x（t）， 是正交增量过程，G(t)是它的附属函数，那么 Tt)()()()(2sGtGsxtxE(S=t)Tt（1）应用（1）推出定理定理2其它情形可类似证之正交增量过程中的积分（1）（2）（2）（3）（4