西姆松定理及应用含答案

1、第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）.证明如图6-1,设P为ABC的外接圆上任一点，从P向三边BC,CA,AB所在直线作垂线，垂足分别为L,M,N.连PA,PC,由P,N,A,M四点共圆，有图6-1ZPMN=ZPAN=/PAB=/PCB=/PCL.又P,M,C,L四点共圆，有/PML=/PCL.故ZPMN=/PML，即L,N,M三点共线.注此定理有许多证法.例如，如下证法：如图6-1,连PB,令ZPBC=a,NPCB=P,NPCM=¥,则/PAM=a,/PAN=P,ZPBN=¥

2、,且BL=PBcosct,LC=PCcosP,CM=PCcos?,MA=PAcosa,AN=PAcosP,NB=PBcos?,对ABC,有BLCMANPBcos二PCcosPAcos=3=1.故由梅涅劳斯定理之逆定理，知L,N,M二点LCMANBPCcos-PAcos:PBcos共线.西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）.西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.证明如图6-1,设点P在ABC的三边BC,CA,AB所在直线上的射影分别为L,M,N,且此三点共线.由PN_LAB于N,PM1AC于M,PL_LBC于L,知P,B

3、,L,N及P,N,A,M分别四点共圆，而AB与LM相交于N,则/PBC=/PBL=/PNM=2PAM，从而P,B,C,A四点共圆，即点P在ABC的外接圆上.【典型例题与基本方法】1 .找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例1如图6-2,过正ABC外接圆的AC上点P作PD_L直线AB于D,作PE_LAC于E,作PF_LBC于F.求证：,PFPDPEADP图6-2证明由PD，直线AB于D,PE_LAC于E,PF_LBC于F,知A,E,P,D及E,F,C,P分别四点共圆，则NDPE=NBAE=60°,/EPF=NECF=60=.由西姆松定理，知D,E,F三点共

4、线，从而以P为视点，对4PDF应用张角定理，sin.DPFsin.DPEsin.EPFsin120sin60sin60毋111中=+，即=+，故+=PEPFPDPEPFPDPFPDPE例2如图6-3,设AD,BE,CF为ABC的三条高线，自D点作DP_LAB于P,DQ1BE于Q,DR_LCF于R,DS_LAC于S,连PS.求证：Q,R在直线PS上.A图6-3证明由于4BFH的外接圆为BDHF,而D为该圆上一点，且D在BFH三边所在直线上的射影分别为P,Q,R,于是，由西姆松定理知P,Q,R三点共线.同理，可证Q,R,S是4HEC的西姆线上三点.由于直线PQR与直线QRS有两个公共点Q,R,所以

5、这两直线重合，故Q,R在直线PS上.例3如图64,设P为ABC外接圆上一点，作PA'_LBC交圆周于A',作PB'_L直线AC交圆周于B',作PCAB交圆周于C'.求证：AA'/BBUCC'.图6-4证明设PA'_LBC于L,PB'上直线AC于N,PC'_LAB于M,则由西姆松定理知L,M,N三点共线.注意到L,B,P,M及A,，B,P,A分别四点共圆，连BP,则/amn=/bml=Nbpl=2bpa'=Nbaa'，于是aa7/LN.同样，注意到A,B,P,B'及A,M,P,N分别四点共圆，

6、连PA,则/ABB'=/APBF=/APN=/AMN,于是BB'/LN.由A,P,CC四点共圆，知/ACC*+/APC，=180，注意到/APC，=/APM=/ANM=/CNM,则/ACC'十/CNM=180工于是CCf/lLM，故AAUBB'/CC【例4如图6-5,设P为ABC外接圆上BC内一点，过P作PD_LBC于D,作PF_L直线AB于F,设H为4ABC的垂心.延长PD至P',使PD=P'D.求证：HP'/DF.（1979年山西省竞赛题改编）证明连AH并延长交BC于A',交圆于H',则由NHCB=/BAH'=

7、jBCH知HA'=A'H】又由已知PPBC,且PD=DP,连PH则知PH'与PH关于BC对称，从而ZPHH=/PHH'.由于从P点已向ABC的两边所在直线AB,BC引了垂线PF,PD,再过点P向边AC所在直线作垂线PE,垂足为E,则由西姆松定理，知F,D,E三点共线，设西姆松线EF与HA'交于M.此时，又由P,C,E,D四点共圆，有/CPE=/CDE.在RtPCE中，/CPE与NPCE互余；在RHMDA'中，NA，DM=NCD臼/DMA'互余.故NDMA'=/PCE=NPCA=NPHH=/P'HH'由此即知HP&#

8、39;/EF,故HP'/DF.例5如图66,设P为4ABC外接圆上一点，过点P分别作PL1BC于L,作PN_L直线AB于N,直线LN交BC边上的高线于K,设H为ABC的垂心.求证：PKIILH.F图6-6证明由于从P点引了4ABC的边BC,BA所在直线的垂线，再过P点作PM.LAC于M,则由西姆松定理，知L,M,N三点共直线，即L,M,N,K四点共线.设BC边上的高线为AD,延长AD交圆于F,连PF交BC于G,交西姆松线NL于Q,连PH交西姆松线NL于S.由P,C,L,M四点共圆及A,F,C,P共圆，连PC,则/MLP=/MCPAFP=/LPF，从而QP=QL,即Q为RtAPLG的斜边

9、PG的中点.连HG,由/DFC=ZABCaHC,知HD=DF,有ZHGD=/DGF=NLGP=/QLG,从而HG/ML,即SQ是PHG的中位线，亦即HS=SP.又PL/KH,有NLPS=/KHS及/PSL=NHSK,于是APSLAHSK,即有PLJKH,亦即四边形PKHL为平行四边形，故PKIILH.注由此例可得，三角形外接圆周上一点P与垂心H的连线段PH,被关于P点的西姆松线所平分，这是西姆松线的一条重要性质.2 .注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理例6如图6_7,延长凸四边形ABCD的边AB,DC交于E,延长AD,BC交于F.试证：BCE,CDF,AADE,4A

10、BF的四个外接圆共点.A图6-7证明设4BCE与4CDF的两个外接圆除交于点C外，另一交点为M.设点M在直线BE,EC,BC上的射影分别为P,Q,R,则由西姆松定理，知P,Q,R三点共线.同样，M点在直线DC,CF,DF上的射影Q,R,S也三点共线，故P,Q,R,S四点共线.在4ADE中，P在AE上，Q在DE上，S在边AD所在直线上，且P,Q,S三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知M点在4ADE的外接圆上.在4ABF中，P在直线AB上，R在BF上，S在AF上，且P,R,S三点共线，由西姆松定理的逆定理，知M点在4ABF的外接圆上.故ABCE,ACDF,AADE,ABF的四个外接圆共点.注此例题

11、的结论实际为宪全四边形ABECFD的四个三角形4AED、BEC、ACFD、ABF的外接圆共点，此点称为密克尔（Miquel）点，直线PQRS称为完全四边形的西姆松线.【解题思维策略分析】1 .证明点共线的又一工具例7如图68,设P为四边形A1A2A3A4外接圆上任一点，点P在直线4,A2A3,A3A4,A4A1,上的射影分别为Bi,B2,B3,B4,又点P在直线B1B2,B2B3,B3B4,B4B1上的射影分别为G,C2,C3,C4.求证：C1,C2,C3,C4共线.A4图6-8证明连A1A,过P作AA3的垂线，垂足为Q.从而，点P关于AA2A3的西姆松线为BBQ同样，点P关于A1A3A4的西

12、姆松线为B3QB4.由/AB4P=/AQP=/A1BF,知点P在QB1B4的外接圆上，由西姆松定理，知点P在QB1B4三边上的垂足Ci,C3,C4共线.同理，Ci,C2,C4三点也共线.故Ci,C2,C3,C4四点共线（此直线称为P点圆内接四边形关于A1A2A3A4的西姆松线）.2 .注意西姆松线在转化问题中的媒介作用例8如图69,设P为ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC,AC所在直线的对称点分别为P,求证：直线PB经过4ABC的垂心H.图6-9证明由于F1,P2分别为P点关于直线BC,AC的对称点，设PP1交直线BC于L,PB变直线AC于N,则L,M分别为P点在4ABC的边BC,CA所在

13、直线上的射影，且L,N分别为线段PR,PP2的中点.由西姆松定理，知LN为西姆松线，此时LN/PP2.又由前面例5知，当H为4ABC的垂心时，直线LN平分线段PH.于是，可知H点在直线P,P2上，即直线P|P2经过H点.例9如图6-10,一条直线L与圆心为O的圆不相交，E是l上一点，OE_Ll,M是l上任意异于E的点，从M作LO的两条切线分别切圆于A和B,C是MA上的点，使得EC_LMA,D是MB上的点，使得ED_LMB,直线CD交OE于F.求证：点F的位置不依赖于M的位置.（IMO-35预选题）lEC图6-10证明令OE=a,|_O的半径为R,连结EA,EB,OA,OB,OM,AB,设AB交

14、OM于G,交OE于Q,则，OA_LMA,OB_LMB,OM_LAB.由射影定理，得OGOM=OB2,又由M,E,Q,G四点共圆，有OQQE=OGOM=OB2=R2,R2.2.从而知OQ=R-,由OB=OQOE,有OEBsOBQ,a既有ZBEO=/OBQ=/BAO,即/1W左3.由此得ZMEB+/MAB=(90"/1)+(90°-Z3)=180-故A,B,E,M四点共圆.作EN_LAB交AB的延长线于N,由西姆松定理，知C,D,F,N四点共线.注意到A,N,E,C与A,O,E,M均四点共圆，有NENF=NEAM=NEOM又由EN/OM,有NENF=NNEF,故ZENF=NNE

15、F.22在RtNEQ中，由上推知F为EQ的中点，因此，EF=-EQ=1(OE-OQ>a-R.故F的位置不222a依赖于M的位置.例10已知锐角4ABC,CD是过点C的高线，M是边AB的中点，过M的直线分别与CA、CB交于点K、L,且CK=CL.若4CKL的外心为S,证明：SD=SM.(2003年波兰奥林匹克题)证明如图6-11,作ABC的外接圆，延长CS交LABC于点T,联结TM,作TKAC于点K',TL'_LBC于点Lr.AL图6-11注意到S为KLC的外心，且KC=LC,所以CS为/KCL的平分线.于是T为弧AB的中点.又M为AB的中点，则TM_LAB.由西姆松定理，

16、知K,、M、L,三点共线.又CT是/KCL'的角平分线，且K'、L'、M三点共线，则CK'=CL'.即直线KML'是过M与CT垂直的直线，又直线KML也是过M与CS垂直的直线，从而K'与K重合，L,与L重合.即ZCKT=/CLT=90%亦即知C、K、T、L四点共圆.故S为四边形CKTL的外接圆圆心，即有SC=ST,于是S为TC的中点.又CD±AB,则CD/MT.故SM=SD.3 .注意西姆松线性质的应用三角形外接圆上一点的西姆松线平分该点与三角形垂心的连线.此性质已在例5给出一种证法，现另证如下：如图6-12,设H为4ABC的垂

17、心，P为其外接圆上一点，作4HBC的外接圆HBC,则该圆与ABC关于BC对称（参见垂心性质7）.图6-12设点P的垂足线（即西姆松线）为LMN，由P、B、L、M四点共圆，有ZPLM=/PBM设HBC与直线PL交于点P'、Q,则L为PP'的中点，连HP',由2LP'H=QH的度数=PA的度数=ZPBA=ZPBM=ZPLM，知PH/LMN.由此即知PH被直线LMN平分.例11如图6-13,由4ABC的顶点A引另两顶点B、C的内、外角平分线的垂线，垂足分别为F、G、E、D,则F、G、E、D四点共线，且此线与ABC的中位线重合.LBC图6-131证明延长BE、CD相交于

18、点K,设CG与BE相交于点I,则I为4ABC的内心.由ZCAI=-ZA,2ZCKI=90°/CIK=90a2B十1/Cu/A,知A、I、C、K四点共圆.222对aICK及点a应用西姆松定理，知G、E.D三点共线.图6-13同理，对4BCL及点A应用西姆松定理，知F、G、E三点共线.故F、G、E、D四点共线.由于C为ICK的垂心，则由西姆松线的性质知直线GED平分AC.同理，直线FGE平分AB,故直线FD与ABC的中位线重合.注由例11再回过来看例2,在例2中，是由点D引4DEF另两个顶点E.F的内、外角平分线的垂线，垂足分别为P、Q、R、S.4 .注意西姆松定理与托勒密定理的等价性可

19、用西姆松定理证明托勒密定理：如图6_14,ABCD为任意圆O内接凸四边形，连AC,过D向ABC各边作垂线，AB,AC,BC所在直线上的垂足分别为Ci,Bi,A,连C1B1,BA,由西姆松定理，知CiBi+B1A1=CiA.有CiBi=ADsin.CiDBi=ADsin.CiABi,ADBC2R由A,G,Bi,D四点共圆，且AD为该圆直径及正弦定理,BC.设R为O*径，则sin/CiABi=sin/BAC=，故CiBi2RCDABACBD2R2R同理，BiAi=,CiAi=于是，由式有ADBC+CDAB=ACBD.此即为托勒密定理.也可用托勒密定理证明西姆松定理：设ABCD是LO的内接四边形，则

20、由托勒密定理，有ADBC+ABCD=ACBD,作DCi，直线AB于G,作DBi_L直线AC于Bi,则由Ai,Ci,Bi,D四点共圆，且AD为该圆直径及正弦定理，有CiBi=CiBi=AD,即CiB=ADsn/CAB=ADBC.（R为LO半径），sin.C1DB1sin.GAB2R亦即ADBC=2RC1B1.同理，ABCD=2RAiBi,ACBD=2RACi.把上述三式代入式，有C1B1+AB1=AC1,故Ai,Bi,G三点在一条直线上，此即为西姆松定理，因此，在应用中，我们应当注意灵活处置，若应用哪个定理方便，就应用哪个定理.【模拟实战】习题A1 .设P为ABC外接圆周劣孤BC上一点，P在边B

21、C,CA,AB上的射影分别为L,M,N,令PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c.求证：mna=lnb+lmc.2 .设PA,PB,PC为LO的三条弦，分别以它们为直径作圆两两相交于D,E.F.求证：D,E,F三点共线.3 .自ABC的顶点A作/B的内、外角平分线BE,BF的垂线，垂足为E,F,再作NC的内、外角平分线CG,CD的垂线，垂足为G,D.求证：F,G,E,D四点共线.4 .求证：正三角形外接圆周上任一点到三边距离的平方和为定值.5 .若三圆均经过其三圆心所成的外接圆上任何一点，则此三圆两两相交于三个共线点.习题B1 .点P,Q是ABC的外接圆上的两点（异于A,B

22、,C）,点P关于直线BC,CA,AB的对称点分别是U,V,W,连线QU,QV,QW分别与直线BC,CA,AB交于点D,E,F.求证：（I）U,V,W三点共线；（II）D,E,F三点共线.2 .设ABCD是一个圆内接四边形，点P,Q和R分别是D到直线BC,CA和AB的射影.证明：PQ=QR的充要条件是/ABC=/ADC的角平分线的交点在AC上.（IMO-44试题）3 .（卡诺定理）过ABC外接圆上一点P,向三边所在直线引斜线分别交BC,CA,AB于点D,E,F,且NPDB=/PEC=/PFB.求证：D,E,F共线.4 .过ABC的三顶点引互相平行的三直线，它们和AABC的外接圆的交点分别为A&#

23、39;,B',C在ABC的外接圆上任取一点P,设PA',PB',PC±BC,CA,AB或其延长线分别交于D,E,F.求证：D,E,F共线.5 .（清宫定理）设P,Q为ABC外接圆上异于A,B,C的任意两点，P点关于BC,CA,AB的对称点分别为U,V,W,而QU,QV,QW和BC,CA,AB分别交于D,E,F.求证：D,E,F共线._._,.、一._2.6 .设P,Q,为ABC外接圆半径OK或延长线上两点，OPOQ=R,其中R为外接圆半径，P点关于BC、CA、AB的对称点分别为U,V,W,而QU,QV,QW分别交BC,CA,AB于点D,E,F.求证：D,E,F

24、共线.第六章西姆松定理及应用答案习题A1 .由西姆松定理，知L,M,N三点共线，注意到P,L,N,B及P,M,C,L分别四点共圆，知/LPN=/B,ZLPM=/C,又由张角定理，有sin（"'+/。）=sin，B+sin/C即PLPMPNmnsin/A=lnsin/B+lmsin/C再应用正弦定理，得mna=lnb+lmc.2 .根据直径所对的圆周角是直角，知/BDP=/ADP=90',/BFP=/CFP=90/CEP=/AEP=901即知D,A,B；B,F,C;C,E,A分别三点共线.又PD_LAB于D,PE_LAC于E,PF_LBC于F,P是ABC外接圆周上一点，

25、由西姆松定理，知D,E,F三点共线.3 .延长BE,CD相交于点K,延长CG,BF相交于点L.设CG与BE相交于点I,则I为ABC的1一11-一-一内心由/CAI=-2BAC,而/CKI=900/CIK=90*（2B+/C）=一NBAC,从而A,I,C,K222四点共圆.又AD_LCK于D,AE_LKB于E,AG_LCI于G,八是ICK外接圆上任一点，由西姆松定理，知D,E,G三点共线.同理，B,I,A,L四点共圆，AE1BI于E,AG_LIL于G,AF1BLTF,由西姆松定理，知E,G,F三点共线.故F,G,E,D四点共线.4 .设正ABC外接圆弧AB上任一点P到边BC,CA,AB的距离分别

26、为ha,儿，上，其垂足分别3为D,E,F,正二角形边长为a.由面积等式可得ha+hb-hc=-；3a,此式两边平方，得由如PAhbhc2hahb-hbhc-hahc=-=sin/PAC=sin/PBD，有hPA=儿PB.PB同理，haPA=hcPC,故haPA=hbPB=kPC.又P,F,E,A及P,D,B,F分别四点共圆，有/PFD=/PBD=/PAC,/PDF=/PBF=/PCA,得4PFDAPAC,故PA=N.a,同理，PB=2，a,PC='.a,即DFDEEFh上=h正=h旭=k由西姆松定理，知D,E,F共线，即DF+FE=DE.于是EFDEEF£：hb-hahb-h

27、ahc-hbhc=(DE-DF-EF)k=0,故/,h：hc2-5.设以ABC的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M,而M在4ABC的外接圆上，LA与LB另交于D,A与C另交于E,B与C另交于F.注意到A与LB中，公共弦MD_L连心线AB;A与LC中，公共弦ME_L连心线ACB与LC中,公共弦MF_L连心线BC.对4ABC及其外接圆周上一点M,应用西姆松定理，知D,E,F三点共线.习题B1.(I)设从点P向BC,CA,AB作垂线，垂足分别为X,Y,Z.由对称性，知XY为PUV的中位线，故UV/XY同理，VW/YZ,WU/XZ,由西姆松定理，知X,Y,Z三点共线，故U,V,W三点共线.(II)由

28、P,C,A,B四点共圆，有2PCE=NABP.亦有/PCV=2NPCE=2/ABP=/PBW.又ZPCQ=/PBQ,贝UZPCV+/PCQ=ZPBW+/PBQ.即.QCVZQBW,从而SLQCVSAQBWCVCQBQBW同理,SAQAW_AWAQSaqcu-CQCUSAQBUSQAVBQBUSAQCVSAQAWSAQBU/二二1.AQAVSAQBWSAQCUSAQAV于是,BDCEAFDCEAFBSAQBUSAQCVSAQAW.二1SAQCVSAQAVSAQBW由梅勒劳斯定理的逆定理，知D,E,F三点共线.2.由西姆松定理知P,Q,R三点共线.而/DPC=/DQC=90°,则D,P,C,Q四点共圆.于是，/DCA=/DPQ=/DPR.同理，由D,Q,R,A共圆,有ZDAC=/DRP.故DCA<ADPR类似地，ADABDQP,ADBCDRQ,从而DA_DRDBQR/BCDCDPDBPQ/BAQPBADABAQQbC，故PQ=QRU常=黑，而Nabc和/ADC的角平分线分AC的比分别为股和DA.即可证.BCDC3 .设P在BC,由/PDB=/PFB=/PEC=/PEA，知B,P,D,F四