第四章系统的频率特性分析

1、CompanyLOGO 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 引言引言引言引言若输入为若输入为: :则系统的稳态输出为则系统的稳态输出为: : 当谐波信号作用于稳定的线性定常系统时，系统输出的稳态分量仍当谐波信号作用于稳定的线性定常系统时，系统输出的稳态分量仍为同频率的谐波信号，这种过程称为系统的为同频率的谐波信号，这种过程称为系统的频率响应。频率响应。系统频率响应系统频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。频率特性。幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 频率特性：频率特性：) )s si in n( ( t tA Ar r( (t

2、 t) )1 1r r) )s si in n( ( t tA A( (t t) )C C2 2c cs ss sr rc cA AA AA A( ( ) )1 12 2( ( ) )G G( (j j ) )j j( ( ) )j je eG G( (j j ) )A A( ( ) )e eG G( (j j ) )G(s)r(t)c(t) 频率特性中，自变量频率取频率特性中，自变量频率取值范围零至无穷，称全频特性。值范围零至无穷，称全频特性。全频特性将是系统性能分析的全频特性将是系统性能分析的依据。依据。4.1 频率特性概述频率特性概述实频特性、虚频实频特性、虚频特性特性iix tX si

3、n t ( )oiXX ()() s jG( j ) G(s) 频率特性概述频率特性概述s si in n t tA A( (t t) )输输入入：u ur rr rT Ttgtg( () )相频特性：相频特性：; ;1 1T T1 1幅频特性：A(幅频特性：A() )T)T)tgtgsin(sin(t t1 1T TA A(t)(t)输出的稳态值：u输出的稳态值：uT)T)tgtgsin(sin(t t1 1T TA Ae e1 1T TT TA A(t)(t)输出：u输出：u1 12 22 21 12 22 2r rSSSS1 12 22 2r rT Tt t2 22 2r rc c011

4、n1nnn011m1mmm011n1nnn011m1mmma(j)a(j)a(j)ab(j)b(j)b(j)bG(j)jsm)(nasasasabsbsbsbG(s)1 1j jT T1 1G G( (j j) )jssG )(基于传递函数求频率特性1 1T Ts s1 11 1R RC Cs s1 1( (s s) )U U( (s s) )U U传传递递函函数数：G G( (s s) )r rc c频率特性的求取微分方程频率特性传递函数js dtds dtdj频率特性概述频率特性概述BGss 1( )1_r rc c1 1/s/s)( )3sin(230r tt sc t ( )sBc t

5、Gj 22( )11()351BsGjc t 2()arctan63.4( )303( )sin(233.4 )5sc tt 频率特性概述频率特性概述频率特性概述频率特性概述jjoijGjXGjeAeXGjeGjGj ()()()()()()()()()GjGjjGjAjAUjV ()Re()Im()()cos()()sin()()()频率特性概述频率特性概述设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:结论结论给给稳定稳定的

6、系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的的函数。函数。 0)( jG 4.2频率特性的频率特性的Nyquist图图2 2 -tg-tg( ( ) )G(jG(j ) ); ;1 14 4 1 1A(A( ) )G(jG(j ) )1 1j2 j2 1 1G(jG(j ) )1 12s2s1 1G(s)G(s)1 1- -2 2j j s s 1 1、频率特性、频率特性G(G(j j) )是以是以为自变量的向量函数；为自变量的向量函数；2 2、频率特性曲线是指自变量、频率特性曲线是指自变量在全

7、频段矢量矢端行走的轨迹；在全频段矢量矢端行走的轨迹；3 3、开环频率特性曲线是判断闭环系统稳定性及评定系统动态性、开环频率特性曲线是判断闭环系统稳定性及评定系统动态性能指标的依据；能指标的依据；4 4、开环传递函数的形式是典型环节的乘积形式。因此寻找绘制、开环传递函数的形式是典型环节的乘积形式。因此寻找绘制开环频率特性曲线的规律，关键在于掌握典型环节频率特性开环频率特性曲线的规律，关键在于掌握典型环节频率特性曲线的绘制规律。曲线的绘制规律。有关频率特性的几点说明KjG )( KsG )(其对应的频率特性是其对应的频率特性是. 0 0mIKeRKjG )( 00)( jG 由左图可看出放大环节的

8、幅由左图可看出放大环节的幅频特性为常数频特性为常数K K，相频特性等于零，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。复现输入信号。比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为频率特性的频率特性的Nyquist图图 11)( jjG0900)( arctgjGeRmI 0 G090 ssG1)( 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 频率特性如上图所示，由图可看出，积分环节的相频特性频率特性如上图所示，由图可看出，积分环节的相频特性等于等于-900 ，

9、与角频率，与角频率无关。无关。频率特性的频率特性的Nyquist图图11)( TssG惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别是幅频特性和相频特性分别是2211)( TjG arctgTjG )(.eR1T/1 mI045 0 G0 所所示示。半半圆圆，如如图图其其幅幅相相频频率率特特性性为为时时，减减小小；当当也也减减小小，增增加加，随随着着时时，当当35,90)(, 0)()()(;0)(, 1)(0 AAA。频率特性的频率特性的Nyquist图图121)(22 TssTsG 振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为2222)2()1(1)( TTjG 11()2G

10、jjT 频率特性的频率特性的Nyquist图图)12()(22 TTarctgjG 22( )( )1( )21G ssG sTsG sT sTs 22()()1()12G jjG jjTG jTjT 频率特性的频率特性的Nyquist图图 jjG)(0900)( arctgjG图图4-4 微分环节的幅相频率特性微分环节的幅相频率特性eRmI 0 GssG )(纯微分环节的传递函数为纯微分环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为所以在所以在0 0 ，幅相特性，幅相特性是正虚轴，是正虚轴，如图如图4-4所示。所示。频率特性的频率特性的Nyquist图图1)(1)(2 jj

11、G)()( arctgjG 1)( ssG 一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为所以在所以在0 0 ，幅相特性，幅相特性与理想微分环节相比仅差与理想微分环节相比仅差1 1，只，只要把图要把图5-45-4的曲线右移的曲线右移1 1就能得就能得到一阶微分环节的幅相特性曲到一阶微分环节的幅相特性曲线，如图线，如图4-54-5所示。所示。图图4-5 一阶微分环节的幅相特性一阶微分环节的幅相特性eRmI 0 G01频率特性的频率特性的Nyquist图图222222()21(1)(2)G jjTTTT 222()1TG jarctgT 22( )

12、21G sT sTs 二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的传递函数为幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为频率特性的频率特性的Nyquist图图sesG )(时滞环节的传递函数为时滞环节的传递函数为1)( jeA()()G j 如如左左图图所所示示。圆圆，其其幅幅相相特特性性曲曲线线为为单单位位，而而幅幅值值恒恒为为时时，可可见见当当1)( 频率特性的频率特性的Nyquist图图)()()()(Re0)()(ImxxxxxxjHjGjHjGjHjG 实实轴轴交交点点的的坐坐标标值值为为则则开开环环频频率率特特性性曲曲线线与与为为穿穿越越频频率率称称令令频率特性的频率特性的Nyqui

13、st图图1212011KG(s )K T T(T s)(T s)、解：由于惯性环节的角度变化为解：由于惯性环节的角度变化为0-90，则，则 0)0()0( KA起起点点： 180)(0)( A终终点点：频率特性的频率特性的Nyquist图图)1)(1()(1)(22222121221 TTTTjTTKjG 系统开环频率特性与实轴的交点系统开环频率特性与实轴的交点处处外外与与实实轴轴无无交交点点。在在即即系系统统开开环环幅幅相相曲曲线线除除令令0, 00)(Im xxjG频率特性的频率特性的Nyquist图图 0 02121TTTTjk 211TT mIeRKG211TT),0(2121TTTT

14、jK 频率特性的频率特性的Nyquist图图1212011KG(s )K T Ts(T s)(T s)、2121212222222221212(1)(1)() ()( 1)()(1)(1)(1)(1)KjTjTjKTTjTTG jTTTT 0)()0( AA 270)(90)0( 频率特性的频率特性的Nyquist图图 )0(Im)()0(Re21jGTTKjG212121)(Re)(,10)(ImTTTKTjGjGTTjGxxx 于于是是令令频率特性的频率特性的Nyquist图图j02121TTTKT )(21TTK 频率特性的频率特性的Nyquist图图 1 N 4 N3 N2 Nj0频率

15、特性的频率特性的Nyquist图图p 曲线的起端形式由开环传递函数的积分环节的个曲线的起端形式由开环传递函数的积分环节的个数确定数确定（型别）（型别）p 无积分环节无积分环节v v=0=0时，起于实轴时，起于实轴k k处；处；p 有积分环节有积分环节v v=1=1、v v=2=2、v v=3=3时，起于时，起于-90-90、-180-180、-270-270的的远处。远处。p 曲线的终端形式由分子多项式和分母多项式的阶曲线的终端形式由分子多项式和分母多项式的阶次差确定。次差确定。p 开环零极点数相同时，曲线终止于实轴；开环零极点数相同时，曲线终止于实轴；p 开环极点多于零点时，曲线延（开环极点

16、多于零点时，曲线延（n-mn-m）（-90-90）方向终止于原点。方向终止于原点。p 开环幅相频率特性曲线所在象限由各环节形式综开环幅相频率特性曲线所在象限由各环节形式综合确定。也可由相频特性解析式确定。合确定。也可由相频特性解析式确定。) 1() 1()(TsssksGvks1/s最小相位系统的NyquistNyquist绘制规则特殊点计算p 与实轴的交点坐标的计算与实轴的交点坐标的计算 p 与虚轴交点坐标的计算与虚轴交点坐标的计算) )( (j jG G1 18 80 0) )( (j jG G1 1k k1 11 1k k方法一：) )( (j j G GR Re e 0 0) ) (

17、(j j I Imm G G1 1k k1 11 1k k方法二：) )( (j jG G9 90 0) )( (j jG G2 2k k2 22 2k k方法一：) )( (j jG GI Im m0 0) ) ( (j jR Re e G G2 2k k2 22 2k k方法二：应用举例2 2. .8 87 7。与与虚虚轴轴交交点点为为，1 10 0结结论论：及及参参数数取取值值2 2）求求与与虚虚轴轴交交点点坐坐标标殊殊点点位位置置；1 1）绘绘制制草草图图，确确定定特特1 1) )1 1) )( (0 0. .1 1s s( (s s1 10 0( (s s) )G G例例1 1：k

18、k。1 11 11 10 0与与实实轴轴交交点点为为，1 10 0结结论论：及及参参数数取取值值2 2）求求与与实实轴轴交交点点坐坐标标殊殊点点位位置置；1 1）绘绘制制草草图图，确确定定特特1 1) )1 1) )( (0 0. .1 1s ss s( (s s1 10 0( (s s) )G G例例2 2：k k应用举例1012K( s)G(s )KTs (Ts) 、 、 、)1()1()(2 jTjKjG 2222211)( TKA Tarctgarctg 180)( 180)0(,)0( A 180)(, 0)( A频率特性的频率特性的Nyquist图图:a0,所所示示二二象象限限，如

19、如图图系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线位位于于第第，时时，所所以以在在由由于于TarctgarctgT T(1) T )2(:b0,所所示示三三象象限限，如如图图系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线位位于于第第，时时，所所以以在在由由于于TarctgarctgT T )3(:c,0,180)(,所所示示如如图图轴轴变变化化系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线沿沿负负实实时时则则当当所所以以由由于于 T频率特性的频率特性的Nyquist图图j0 j0 b图图c图图j0 a图图频率特性的频率特性的Nyquist图图 lgDecDecDecDec1 2 012. lg01. 0 01 . 0 110100 4.3 频率

20、特性的频率特性的Bode图图)(lg20 A)(lg20 A频率特性的频率特性的Bode图图对数坐标系02040-40-20)( L 0.010.1110100045o90o-90o-45o() 0.010.1110100dB频率特性的频率特性的Bode图图01( )20lg0101KLKKK ( )0K lg dBL/ )( lg () 180 18020lg K1K 1K 20lg K1K 20lg K0K KjG )( 比例环节的频率特性为比例环节的频率特性为频率特性的频率特性的Bode图图()KG jj ( )20lg( )20lg20lgLAK102K()tg () KA )(对数幅

21、频特性为对数幅频特性为1KdBL/ )() 9020402040110100110100对数相频特性为对数相频特性为频率特性的频率特性的Bode图图为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：当当 时，时， ，称为低频渐近线。，称为低频渐近线。1 T0)( L当当 时，时， ，称为高频渐近线。，称为高频渐近线。这是一条斜率为这是一条斜率为-20dB/Dec-20dB/Dec的直线（表示的直线（表示每增加每增加1010倍频程下降倍频程下降2020分贝）。分贝）。1 T TLlg20)( 221lg20)(lg20)( TAL 2211)( TA 低

22、频高频渐近线的交点为：低频高频渐近线的交点为： 得：得： ，称为称为或或。 0lg20 T11TTG( j)Tj 11频率特性的频率特性的Bode图图To1 )( 31lg20202maxdBT 频率特性的频率特性的Bode图图 ()tgT 1。时时，当当时时，当当时时，当当2)(;4)1(1; 0)0(0 TT相频特性曲线对于相频特性曲线对于( (0 0,-45,-45) )点是点是的的 T T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的变化时，对数幅频特性和对数相频特性的都都，仅仅是根据转折频率仅仅是根据转折频率1/T1/T的大小整条曲线的大小整条曲线或或即可。即可。 增益改变时，增益改变时，。频

23、率特性的频率特性的Bode图图渐近线：0)(1 LT时，时，渐近线： TTLTlg40)(lg20)(1222 时时，两渐进线的交点 称为。斜率为-40dB/Dec。To1 )12()(221 TTtg 2222)2()1(lg20)(lg20)(TTAL 几个特征点：。 )(,;2)(,1; 0)(, 0TG( j)Tj T 22121频率特性的频率特性的Bode图图3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG频率特性的频率特性的Bode图图对对 求导并令等于零，可解得求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率的极值对应的频率 。)( A)( Ar 212rT

24、 该频率称为谐振峰值频率。可见，当该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，时， 。当当 时，无谐振峰值。当时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。707. 021 0r 21 21 21()21rrMA 当当 ， ， 。0 21)(0 A 2lg20)(0 L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。有很大的误差。 频率特性的频率特性的Bode图图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。频率特性的频率特性的Bode图图22( )

25、( )1( )21G ssG sTsG sT sTs 22()()1()12G jjG jjTG jTjT 频率特性的频率特性的Bode图图( )20lg( )20lg20lgLAK2)0()(1 Ktg KA )(对数幅频特性为对数幅频特性为1100.1)/(srad)(dBL20201100.1)/(srad)(deg)(900090微分环节微分环节微分环节微分环节decdB/20积分环节积分环节积分环节积分环节decdB/20 对数相频特性为对数相频特性为频率特性的频率特性的Bode图图221lg20)( L)()(1 tg221)( A对数幅频特性和对数相频特性分别为对数幅频特性和对数

26、相频特性分别为这是斜率为这是斜率为+20dB/Dec+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为的直线。低、高频渐进线的交点为 1 2)(,;4)(,1; 0)(, 0 低频段渐进线：低频段渐进线：0)(lg201)(1 AA，时，时，当当高频段渐进线：高频段渐进线： lg20)()(1 LA，时，时，当当（用渐近线近似）：（用渐近线近似）：频率特性的频率特性的Bode图图频率特性的频率特性的Bode图图对数幅频特性和对数相频特性分别为对数幅频特性和对数相频特性分别为10, ( )0;, ( );, ( )2T 22221222( )(1)(2) , ( )1TATTtgT 低频段渐进线：

27、低频段渐进线：1( )0TL高频段渐进线：高频段渐进线：22 221( )20lg (1)(2)40lgTLTTT 转折频率为：转折频率为： ，高频段的斜率，高频段的斜率+40dB/Dec+40dB/Dec。1oT 2222( )20lg(1)(2)LTT频率特性的频率特性的Bode图图频率特性的频率特性的Bode图图0)(lg20)( AL(deg)3 .57)()( rad频率特性的频率特性的Bode图图1011111221222221222( )( )(1)(21)(1)(21)mmmmnnnnNb sb sbsbG s Hssa sasaKssssT sT sT s 12( )( )(

28、 )( )( )rG s H sG s G sG s频率特性的频率特性的Bode图图11( )( )( )( )riirkkAA 频率特性的频率特性的Bode图图频率特性的频率特性的Bode图图频率特性的频率特性的Bode图图 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环对数幅频渐近特性曲线。概略绘制系统开环对数幅频渐近特性曲线。)101. 0)(105. 0)(15()15 . 0(100)( sssssG频率特性的频率特性的Bode图图02040-40-20)( L 0.010.11101001 2 3 4 频率特性的频率特性的Bode图图 设系统开环传递函

29、数为设系统开环传递函数为 试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。 )12)(110()2(5)( sssssG)12)(110()12(10)( sssssG频率特性的频率特性的Bode图图02040-40-20)( L 0.010.11101001 2 3 频率特性的频率特性的Bode图图 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。试绘制开环系统对数幅频渐近特性曲线。 )40010)(1(40002000)(22 ssssssG)1202120)(1()21(10)(222 ssssssG频率特性的频率特性的Bode图图频

30、率特性的频率特性的Bode图图1 2 3 02040-40-20)( L 0.010.111010060-60频率特性的频率特性的Bode图图 由由BodeBode图确定系统传递函数，与绘制系统图确定系统传递函数，与绘制系统BodeBode图相反。即图相反。即由实验测得的由实验测得的BodeBode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。信号源信号源对象对象记录仪记录仪【Asinwt 由频率特性测试仪记录的数据由频率特性测试仪记录的数据, ,可以绘制可以绘制的的开环对数频率特性开

31、环对数频率特性, , 对该频率特性进行对该频率特性进行，即可确定系统，即可确定系统的的。系统的对数频率特性系统的对数频率特性 （1 1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为为 20dB/dec20dB/dec整数倍的直线整数倍的直线段来近似测量到的曲线。段来近似测量到的曲线。（3 3）当某）当某 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此 即为某个环节的转折频率。即为某个环节的转折频率。当斜率变化当斜率变化+20dB/dec+20dB/dec时时, ,可知可知 处有一个一阶微分环节处

32、有一个一阶微分环节; ; 若若斜率变化斜率变化+40dB/dec+40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶微分环节或一个二重处有一个二阶微分环节或一个二重一阶微分环节；一阶微分环节；若斜率变化若斜率变化 -20dB/dec-20dB/dec时时, ,则则 处有一个惯性处有一个惯性环节环节; ; 若斜率变化若斜率变化-40dB/dec-40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶振荡环节处有一个二阶振荡环节或一个二重惯性环节或一个二重惯性环节。 （2 2）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频低频段斜率为段斜率为-20-20N NdB/de

33、c,dB/dec,则系统开环传递有则系统开环传递有N N个积分环节，系统为个积分环节，系统为N N型系统。型系统。系统的对数频率特性系统的对数频率特性由由 =1=1作垂线，此线与低频段作垂线，此线与低频段( (或其延长线或其延长线) )的交点的分的交点的分贝值贝值=20lgK(dB),=20lgK(dB),由此求处由此求处K K值。值。（4 4）开环增益）开环增益K K的确定的确定低频段斜率为低频段斜率为-20dB/dec-20dB/dec时时, ,此线此线( (或其延长线或其延长线) )与与0dB0dB线线交点处的交点处的 值等于开环增益值等于开环增益K K值。值。当低频段斜率为当低频段斜率

34、为-40dB/dec-40dB/dec时时, ,此线此线( (或其延长或其延长) )与与0dB0dB线线交点处的交点处的 值即等于值即等于K K1/21/2。系统的对数频率特性系统的对数频率特性例例1 1：已知最小相位已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系试确定系统的传递函数，统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。并写出系统的相频特性表达式。解：解：由于低频段斜率为由于低频段斜率为 - -20dB/dec20dB/dec所以有一个积分环节；所以有一个积分环节；确定转折频率及斜率变化确定转折频率及斜率变化 在在=2=2处，处，斜率由斜率由- -20dB/

35、dec20dB/dec 变为变为- -40dB/dec40dB/dec， 故有惯性环节故有惯性环节1/(s/2+1)1/(s/2+1) 在在=7=7处，处，斜率由斜率由- -40dB/dec40dB/dec 变为变为- -20dB/dec20dB/dec， 故有一阶微分环节故有一阶微分环节(s/7+1)(s/7+1)确定开环增益确定开环增益K K在在=1=1处，处，L(L()=15dB)=15dB，可得，可得20lgK=1520lgK=15，K=5.6K=5.62790)(11 tgtg)121()171(6 . 5)( ssssG系统的对数频率特性系统的对数频率特性解：由于低频段斜率为解：由于低频段斜率为- -40dB/dec40dB/dec，所以有两个积分环节；，所以有两个积分环节；确定转折频率及斜率变化确定转折频率及斜率变化 在在w w=0.8=0.8处，处，斜率由斜率由- -40dB/dec40dB/dec 变为变为- -20dB/dec20dB/dec， 故有一阶微分环节故有一阶微分环节(s/0.8+1)