D114函数展开成幂级数48441实用教案

1、一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 级数级数 其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第一页，共25页。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为f (x) 的泰勒(ti l)级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒(ti l)级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛(shulin)域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的

2、问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第二页，共25页。定理定理(dngl)1 .各阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域(ln y)内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明:令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第三页，共25页。定理定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一(wi y)的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论(

3、jiln)成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第四页，共25页。二、函数二、函数(hnsh)展展开成幂级数开成幂级数 1. 直接(zhji)展开法由泰勒级数(j sh)理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第五页，共25页。例例1. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 其

4、收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第六页，共25页。例例2. 将将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 得级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第七页，共25页。类似(li s)可推出:),(x),(x(P220 例3) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第8页/共24页第八页，共25页。例例3. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂

5、级数, 其中m为任意(rny)常数 . 解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页第九页，共25页。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推导(tudo)则推导 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 为避免研究(ynji)余项 , 设此级数的和函数为第10页/共24页第十页，共25页。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(称为(chn wi)二项展开式 .说明(shumng)：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级数

6、为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 第11页/共24页第十一页，共25页。对应(duyng)的二项展开式分别(fnbi)为机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十二页，共25页。2. 间接间接(jin ji)展开法展开法利用一些已知的函数(hnsh)展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十三页，共25页。例例5. 将函数将函数(hnsh)展

7、开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分(jfn), 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十四页，共25页。例例6. 将将展成(zhn chn)解: 的幂级数. 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十五页，共25页。例例7. 将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解: 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共24页第十六页，共25页。内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh

8、)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式1x2!21x式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十七页，共25页。x11nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十八页，共25页。思考思考(sko)与练习与练习1. 函数(hnsh)处 “有泰勒(ti l)级数” 与 “能展成泰勒(ti l)级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提

9、示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第十九页，共25页。作业(zuy) P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第20页/共24页第二十页，共25页。)()1 (xFx例例3 附注附注(fzh)第21页/共24页第二十一页，共25页。备用备用(biyng)题题 1.将下列(xili)函数展开成 x 的幂级数解:211xx1 时, 此级数(j sh)条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共24页第二十二页，共25页。)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 将将在x = 0处展为幂级数.解:)(3232x因此(ync)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结一、泰勒 ( Taylor ) 级数。第1页/共24页。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。第2页/共24页。f (x) 的泰勒公式中的余项