D118二重积分概念实用教案

1、1)“大化(d hu)小”用任意(rny)曲线网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体k),(kk第1页/共26页第一页，共27页。4)“取极限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk第2页/共26页第二页，共27页。2. 平面薄片平面薄片(bo pin)的质量的质量 有一个平面薄片(bo pin), 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算(j sun)该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若是变量 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D

2、 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块 .yxO第3页/共26页第三页，共27页。yx2)“常代变”中任取一点(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”k),(kk则第 k 小块的质量第4页/共26页第四页，共27页。两个问题(wnt)的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第5页/共26页第五页，共27页。二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)及可积性及可积性定义(dngy):将区域

3、(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy)任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分区域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第6页/共26页第六页，共27页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例2中平面(pngmin)薄板的质量:如果(rgu) 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 yxO第7页/共26页第七页，共27页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连

4、续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D :上二重积分存在 y1x1DO二重积分几何意义: 和定积分的几何意义类似第8页/共26页第八页，共27页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh)( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 第9页/共26页第九页，共27页。特别(tbi), 由于则5. 若在D上),(yxf6. 设D 的面积(min j)为 ,则有第10页/共26页第十页，共27页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证: 由性质(xngzh)6 可知,由连续函数介值定理, 至少(zhsho)有一点在

5、闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此第11页/共26页第十一页，共27页。例例1. 比较下列积分比较下列积分(jfn)的大小的大小:其中(qzhng)解: 积分域 D 的边界(binji)为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上y2x1OD第12页/共26页第十二页，共27页。例例2. 估计下列估计下列(xili)积分之值积分之值解: D 的面积(min j)为由于(yuy)积分性质5即: 1.96 I 210101010DxyO第13页/共26页第十三页，共27页。xyO8. 设函设函数数(hnsh),(yxfD 位于(

6、wiy) x 轴上方的部分为D1 , 当区域(qy)关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第14页/共26页第十四页，共27页。四、二重积分的直角坐标四、二重积分的直角坐标(zh jio zu bio)计算法计算法设曲顶柱的底为X - 型区域(qy)任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO记作 第15页/共26页第十五页，共27页。同样(tngyng), 曲顶柱体的底为Y - 型区域 则其体积可按如下两次积分(jfn)计算DyxfVd

7、),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作 第16页/共26页第十六页，共27页。xyOxyDO说明说明(shumng): (1) 若积分区域既是若积分区域既是 X - 型型区域又是区域又是Y - 型区域型区域 , 为计算方便(fngbin),可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.badc则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成(fn chn)若干X - 型域或Y - 型域 , 则 第17页/共26页第十七页，共27页。1212例例3. 计算计算(j sun)其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy). 解法1. 将D看作X -

8、型区域, 则解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DI89xy xxyO第18页/共26页第十八页，共27页。例例4. 计算计算(j sun)其中(qzhng)D 是抛物线所围成的闭区域(qy). 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:DDxy 2214Oyxy及直线则 第19页/共26页第十九页，共27页。例例5. 计算计算(j sun)其中(qzhng)D 是直线 所围成的闭区域(qy).OxyDxxy 解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第20页/共26页第二十页，共27页。2例例6.

9、交换交换(jiohun)下列下列积分顺序积分顺序解: 积分域由两部分(b fen)组成:822 yx2D22yxO2视为Y - 型区域(qy) , 则1D第21页/共26页第二十一页，共27页。例例7. 求两个求两个(lin )底圆半径为底圆半径为R 的直交圆的直交圆柱面所围的体积柱面所围的体积.解: 设两个(lin )直圆柱方程为利用(lyng)对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为222RzxDxyzRRO第22页/共26页第二十二页，共27页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 思考思考(sko)与练习与练习解: 由它们的积分域范围(fnwi)可知1xyO1. 比较下列积分值的大小关系:第23页/共26页第二十三页，共27页。2. 计算计算(j sun)其中(qzhng)D 由所围成.Oyx24xy解: 令积分区域(qy)关于第24页/共26页第二十四页，共27页。3. 计计算算(j sun)解:202第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的欣赏(xnshng)！第26页/共26页第二十六页，共27页。NoImage内容(nirng)总结1)“大化小”。用任意曲线网分D为 n 个区域。以它们为底把曲顶柱体分为 n 个。计算(j sun)该薄片的质量 M .。设D 的面积为 ,。