D124函数展开成幂级数实用教案

1、幂级数两类问题(wnt):在收敛(shulin)域内和函数)(xS求 和展 开第1页/共23页第一页，共24页。一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 级数级数 其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日型余项 .则在复习:若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :f (x) 的 n 阶泰勒公式第2页/共23页第二页，共24页。f (x)的幂级数为f (x) 的泰勒(ti l)级数 . 则称当x0 = 0 时, (1) 对此级数(j sh), 它的收敛域是什么 ？(2) 在收敛(shulin)域内 , 和函数是否为 f (x) ?问题

2、问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在泰勒级数又称为麦克劳林级数 .第3页/共23页第三页，共24页。)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 泰勒公式(gngsh)可以表示为第4页/共23页第四页，共24页。定理定理(dngl)1各阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域(ln y)内能展开成泰勒级数证明:设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有“ ”limn“ ”第5页/共23页第五页，共24页。定理定理(dngl)2 若 f (x) 能展成

3、x 的幂级数,唯一(wi y)的 , 证明(zhngmng):则显然结论成立 .则这种展开式是设 f (x) 所展成的幂级数为且与它的麦克劳林级数相同.第6页/共23页第六页，共24页。二、函数二、函数(hnsh)展开展开成幂级数成幂级数 1 直接(zhji)展开法第一步第二步第三步是否(sh fu)为直接展开成幂级数的步骤 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知函数的幂级数0. 展开式求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;判定在收敛区间(R, R) 内第7页/共23页第七页，共24页。)(xRn(1)1( )(1)!nnfx

4、n(0)f(0)fx2(0)2!fx( )(0)!nnfxn例例1 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解: 其收敛(shulin)半径为 故得级数 其余项故( 在0与x 之间)第8页/共23页第八页，共24页。例例2 将将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 得级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 其余项! ) 1( nn0( 在0与x 之间)第9页/共23页第九页，共24页。对上式两边(lingbin)求导可推出:),(x),(x间接展开第10页/共23页第十页，共24页。例例3 将函将函数数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其

5、中m为任意(rny)常数 . 解:于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 第11页/共23页第十一页，共24页。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(称为(chn wi)二项展开式 .注：(1) 在 x =1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级数(j sh)为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理.第12页/共23页第十二页，共24页。2 间接间接(jin ji)展开法展开法利用(lyng)已知函数的幂级数展开式,例4 展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解:)11(x将所给函数展开成 幂

6、级数. 将函数)11(x类似地第13页/共23页第十三页，共24页。例例5 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分(jfn), 定义且连续, 域为上式右端的幂级数在 x =1 收敛 ,所以展开式对 x =1 也是成立的,于是收敛ln(1)x即得第14页/共23页第十四页，共24页。例例6 将将展成(zhn chn)解: 的幂级数. 第15页/共23页第十五页，共24页。例例7 将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解: 22第16页/共23页第十六页，共24页。201( 1)(1)2nnnnx第17页/共23页第十七页，共24页。内容内

7、容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式.2. 常用函数的幂级数展开式1x( 1,1x x2!21x221x331x441x1( 1)nnxn第18页/共23页第十八页，共24页。x11nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x第19页/共23页第十九页，共24页。思考思考(sko)与练习与练习1. 函数(hnsh)处 “有泰勒(ti l)级数” 与 “能展成泰勒(ti l)级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的

8、幂级数 ?提示:第20页/共23页第二十页，共24页。备用备用(biyng)题题 1将下列函数(hnsh)展开成 x 的幂级数解:211x时, 因此(ync) 级数条件收敛,连续, 第21页/共23页第二十一页，共24页。( 1,1x x221x331x441x1( 1)nnxnln(1)x2 将将在x = 0处展为幂级数.解:因此(ync)()2233x第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结幂级数两类问题:。第1页/共23页。(1) 对此级数, 它的收敛域是什么。泰勒级数又称为(chn wi)麦克劳林级数 .。则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数。设 f (x) 所展成的幂级数