D多元函数微分法基本概念实用教案

1、 第八章 第一节第一节一、区域(qy)二、多元函数(hnsh)的概念三、多元(du yun)函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共33页第一页，共34页。一、一、 区域区域(qy)(qy)1. 邻域(ln y)点集称为(chn wi)点 P0 的邻域.例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共33页第二页，共34页。在讨论实际问题中也常使用(shyng)方邻域,平面(pngmin)上的方邻域为。0P因

2、为(yn wi)方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共33页第三页，共34页。2. 区域区域(qy)(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点(y din) P : 若存在(cnzi)点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

3、 . 第4页/共33页第四页，共34页。(2) 聚点聚点若对任意(rny)给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 E邻域(ln y)内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .E 的边界点 )第5页/共33页第五页，共34页。D(3) 开区域开区域(qy)及闭区域及闭区域(qy) 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于(shy) D 的折线相连 , 开区域连同(lintng)它的边界

4、一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;第6页/共33页第六页，共34页。例如例如(lr)，在平面，在平面上上开区域(qy)闭区域(qy)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21第7页/共33页第七页，共34页。 整个(zhngg)平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域(qy) .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 A

5、P K ,则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无第8页/共33页第八页，共34页。3. n 维空间维空间n 元有序数组的全体(qunt)称为 n 维空间,n 维空间中的每一个(y )元素称为(chn wi)空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .第9页/共33页第九页，共34页。的距离(jl)记作中点 a 的 邻域(ln y)为机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为第10页/共33页第十页，共34页。二、多元二、多元(du yun)(d

6、u yun)函数函数的概念的概念 引例(yn (yn l):l): 圆柱体的体积(tj) 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 h第11页/共33页第十一页，共34页。定义定义(dngy)1. 设非设非空点集空点集点集 D 称为(chn wi)函数的定义域 ; 数集称为(chn wi)函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共33页第十二页，共34页。xzy例如例如(lr), 二元二元函数函数定义域为圆域说明(

7、shumng): 二元函数(hnsh) z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyz第13页/共33页第十三页，共34页。三、多元函数三、多元函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限定义(dngy)2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(hnsh)(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切第14页/共33页第十四

8、页，共34页。例例1. 设设求证(qizhng)：证:故总有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 要证 第15页/共33页第十五页，共34页。例例2. 设设求证(qizhng)：证：故0),(lim00yxfyx总有要证机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共33页第十六页，共34页。 若当点趋于不同值或有的极限(jxin)不存在，解: 设 P(x , y) 沿直线(zhxin) y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限(jxin).则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例3

9、. 讨论函数讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共33页第十七页，共34页。例例4. 求求解: 因而此函数(hnsh)定义域不包括 x , y 轴则故机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第18页/共33页第十八页，共34页。仅知其中(qzhng)一个存在,推不出其它(qt)二者存在. 二重二重(r zhn)极限极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共33页第十九页，共34页。四、四、 多元多元(du yun)函函数的连续性数的连续性 定义(dngy)

10、3 . 设 n 元函数定义(dngy)在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 第20页/共33页第二十页，共34页。例如例如(lr), 函数函数在点(0 , 0) 极限(jxin)不存在, 又如, 函数(hnsh)上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.第21页/共33页第二十一页，共34页。定理定理(dngl)：若：若 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上上连续连续, 则

11、则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致(yzh)连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 第22页/共33页第二十二页，共34页。解: : 原式例例5. .求求例6. 求函数的连续(linx)域.解:机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 oyx第23页/共33页第二十三页，共34页。内容内容(nirn(nirng)g)小结小结1. 区域(qy) 邻域(ln y) : 区域连通的开集 2. 多

12、元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页第二十四页，共34页。有3. 多元多元(du yun)函数的极限函数的极限4. 多元(du yun)函数的连续性1) 函数(hnsh)2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第25页/共33页第二十五页，共34页。解答解答(jid)(jid)提示提示: :P11 题 2. 称为(chn

13、 wi)二次齐次函数 .P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域2xy DyxoRxyoDr机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第26页/共33页第二十六页，共34页。P12 题 8.间断(jindun)点集P72 题 3.定义域P72 题 4.令 y= k x ，0若令xy Dyx机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限(jxin)不存在第27页/共33页第二十七页，共34页。 作业(zuy)P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二节 目录 上页 下页 返回(fnhu

14、) 结束 第28页/共33页第二十八页，共34页。备用备用(biyng)题题1. 设求解法(ji f)1 令机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页第二十九页，共34页。1 .设求解法(ji f)2 令即机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第30页/共33页第三十页，共34页。2.是否(sh fu)存在？解：所以(suy)极限不存在.yxxyxyx)1ln(lim00机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共33页第三十一页，共34页。 3. 证明证明(zhngmng)在全平面(pngmin)连续.证:为初等函数(hnsh) , 故连续.又0故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的观看(gunkn)！第33页/共33页第三十三页，共34页。NoImage内容(n