复变函数第4章

1、1第四章 级数第一节第一节 复数项级数复数项级数第二节第二节 幂级数幂级数第三节第三节 泰勒级数泰勒级数第四节第四节 洛朗级数洛朗级数2第二节第二节 幂级数幂级数二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念一、幂级数的概念3一、幂级数的概念一、幂级数的概念 22100)()()(azcazccazcnnn.zczczcczcnnnnn 22101或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.4二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz

2、, z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足5xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.2. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径63. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法: 比值法比值法( (定理二定理二) ):, 0lim 1 nnncc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R注意注意:nnncc1lim 存在且不为零存在且不为零 .定理中极限定理中极限说明说明: 0 0 RR如果如果7pn

3、nnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以答案答案，因为因为pnnc1 课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数 1npnnz)( 为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径.pnn)11(1lim . 1 8 00)(nnnzzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, .)()(11 nnnaznczf即即是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 . 0)()( nnnazczf它的和函数它的和函数(1)三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质9

4、(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或简言之简言之: 在收敛圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导, , 逐项积分逐项积分. .(常用于求和函数常用于求和函数)即即10第三节第三节 泰勒级数泰勒级数一、泰勒定理二、将函数展开成泰勒级数三、典型例题11一、泰勒定理一、泰勒定理, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z

5、为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当12说明说明:1.1.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. . 2. 如果如果 f (z)在在z0解析解析, , 则使则使 f (z)在在z0的的泰勒展泰勒展开式成立的圆域的半径开式成立的圆域的半径 R等于从等于从z0到到 f (z)的距的距z0最近一个奇点最近一个奇点 的距离的距离, , 即即R=| z0|. 13二、将函数展开成泰勒级数二、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法: 直接法和间接法直接

6、法和间接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数14例如，例如，. 0 的的泰泰勒勒展展开开式式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因因为为15仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242

7、 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz162. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.17例如，例如， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi18附

8、附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z19,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z20例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把

9、函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z三、典型例题三、典型例题, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z21 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,22例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的的幂幂级级数数内内可可以以展展开开

10、成成所所以以它它在在zz 如图如图,1 Ro1 1xy23zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 24例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即25例例

11、4 4.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所所以以 zzzz! 62! 42! 2216543226第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入四、典型例题27一、问题的引入一、问题的引入问题问题: . , )( 00的的幂幂级级数数是是否否能能表表示示为为不不解解析析在在如如果果zzzzf :10 内内在在圆圆环环域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都

12、不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 28所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数.内内，在在圆圆环环域域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz29nnnzzc)(. 10 双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnn

13、nnnzzczzc)()(0001 302.结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆圆环环域域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z31二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级

14、数数在在那那末末Dzf )( 32说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .33三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系

15、数nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2. 间接展开法间接展开法34四、典型例题四、典型例题例例1 1 : )2)(1(1)( 在在圆圆环环域域函函数数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)

16、1(1)(zzzf , 10 )1内内在在 z35oxy1,1 z由由于于 nzzzz2111则则2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z从而从而 nnzzz2221212236 , 21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz2221212237)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 38 24211zzz,

17、121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz39例例2 2, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez40解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,