机械制图第二章点、直线、平面的投影

1、 2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类 2.2 2.2 点的投影点的投影 2.3 2.3 直线的投影直线的投影 2.4 2.4 平面的投影平面的投影 2.5 2.5 直线与平面及两平面的直线与平面及两平面的 相对位置相对位置 本章小结本章小结结束放映结束放映平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类投影法投影法投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影 投投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法该面上得到图形的方法投影法投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法中心投影法

2、中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的相投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。度量性较差。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心平平 行行 投投 影影 法法投投 影影 特特 性性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视

3、图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A A的投射线的投射线与投影面与投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 2.2 2.2 点的投影点的投影解决办法？解决办法？H HW WV V二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面

4、）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y YW WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点

5、的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa A AX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOXOX轴轴 aax= a ax=aay=xaa azayY YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa （A A到到W W面的距离面的

6、距离）a ay=z=A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）a aza aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之

7、右、之下。b aa a b bX XY YY YZ Zo o( )a cc 重影点：重影点： 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点aa a b b b2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的两点的同名投影同名投影用直线连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一

8、个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行

9、于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置面间的相对位置 投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实大。

10、影面倾角的实大。 另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离。距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW W判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法： 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于

11、相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :a b a(b)a b c (d )cdd c e f efe (f ) 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实

12、长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, ,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投同名投影影上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb= a c : c b = a c : c b 定比定理定比定理例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不

13、在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAdaCcV Va

14、DbBacdbcdabO OX X例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc c a b d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合

15、空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。cabdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线

16、交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbaccAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一不符合空间一个个 点的投影规律点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用，用其其 可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4

17、 )3(4 )3 33(4 )3(4 )3 34 4 2.4 2.4 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 二、平面的投影特性二、平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性

18、类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面c c 投影面垂直面投影

19、面垂直面为什么？为什么？是什么位置的是什么位置的平面？平面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形

20、。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？4545三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满

21、足的条件： 平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上若一直线过平面上的一点且平行于该的一点且平行于该平面上的另一直线，平面上的另一直线，则此直线在该平面则此直线在该平面内。内。abcb c a d d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一解法一:解法二解法二:有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条

22、水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm1010c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kd dabca b

23、 k k c kbckada d b c k b例例2 2：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一:解法二解法二:cada d b c dede10 1010 10mm例例3 3：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到H H面面V V面的面的 距离均为距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O2.5 2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面

24、平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。n a c b m abcmn例例1 1：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？d d正平线正平线例例2 2：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d d 两平面平行两平面平行若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线分别平行于另分别平行于另一平面上的一平面上

25、的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e acebbaddfcfekhkhO OX Xmm由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行是否平行, , 已知已知ABCDEFMHABCDEFMH 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。

26、面的共有点。二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。处于特殊位置的情况。例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与

27、线，该直线与mn的交点即的交点即为为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图用线上用线上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1 ( (2 2 ) )2 21 11 1 ( (2 2 ) )km(n)bm n c b a ac c 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，

28、故交点投影积聚成一个点，故交点K K的的水平投影也积聚在该点上。水平投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MNMN上，在后。故上，在后。故k 2 2 为不可见。为不可见。k 2 2 1 1作图作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确

29、定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影直观可通过正面投影直观地进行判别。地进行判别。abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面，它们的，它们的交线为一条交线为一条正垂线正垂线，两平面，两平面正面投影正面投影的交点即为交线的正面投的交点即为交线的正面投影，影，交线的水平投影垂直交线的水平投影垂

30、直于于OXOX轴轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABCABC在上，其水平投影可在上，其水平投影可见。见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？O OX Xabcdefc f d b e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MNMN并判别可见性。并判别可见性。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABCABC在

31、上，其水平投影可在上，其水平投影可见。见。mn空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面，它们的，它们的交线为一条交线为一条正垂线正垂线，两平面，两平面正面投影正面投影的交点即为交线的正面投的交点即为交线的正面投影，影，交线的水平投影垂直交线的水平投影垂直于于OXOX轴轴。O OX Xaa bd(e)ebdh(f)cfch1 1( (2 2 ) ) 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFHDEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac c、bcbc的交点的交点m m 、n n 即即为两个共有点的水平投影

32、，为两个共有点的水平投影，故故mnmn即为交线即为交线MNMN的水平投影的水平投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MCMC上，点上，点在在FHFH上，上，点点在前，点在前，点在后，在后，故故m mc c 可见。可见。作图作图2 21 1 mmnnabd(e)ebdh(f)cfch空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m 、n 即即为两个共有点的水平投影，为两个共有点的水平投影，故故mn即为交线即为交线MN的水平的水平投影投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在M

33、C上上, 点点在在FH上，上，点点在前，点在前，点在在后，故后，故mc 可见。可见。作图作图mnnmc d e f a b abcdef f投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def 的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。 n nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef互交互交mkk m 投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def 的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但

34、不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k 小小 结结 点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直特殊位置直 线与平面的投影特性线与平面的投影特性。重点掌握：重点掌握： 点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点一、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。 判断方法判断方法 二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置 平行平行同名投影互相平行。同名投影互相平行。 对于一般位置直线，只对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。abcdc a b