理论力学第5章

1、第第5 5章章 点的运动和刚体的基本运动点的运动和刚体的基本运动 点的运动点的运动 刚体的基本运动刚体的基本运动第第5 5章章 点的运动和刚体的基本运动点的运动和刚体的基本运动5.1 5.1 点的运动点的运动点点 P 的空间位置用矢量的空间位置用矢量OP表示表示OP= r点点P对于原点对于原点O的的位置矢量位置矢量，简，简称称位矢位矢)(trr 当点当点P运动时，位矢运动时，位矢r是时间的单是时间的单值函数，此即为矢量法表示的点值函数，此即为矢量法表示的点的的运动方程运动方程.点点P在运动过程中，其位置矢量的端点的连线为在运动过程中，其位置矢量的端点的连线为位矢端图位矢端图，显然位矢端图就是点

2、，显然位矢端图就是点P的运动的运动轨迹轨迹. .1矢量法矢量法rrrPPPxzyOrrrvtttddlim0rrvva 220ddddlimtttt方向方向 : 沿轨迹的切线方向沿轨迹的切线方向.单位单位 : m/s单位单位 : m/s2动点动点P的的速度矢速度矢等于它的等于它的位矢位矢r对对时间的导数时间的导数5.1 5.1 点的运动点的运动xzyOyxzjikrP以位置矢量的原点建立直角坐标系以位置矢量的原点建立直角坐标系 Oxyz，某一瞬时的位矢，某一瞬时的位矢r可用三个直角坐标可用三个直角坐标 x, y, z 表示为：表示为：xyzrijk 123xftyftzft运动方程表示为：运动

3、方程表示为：2直角坐标法直角坐标法5.1 5.1 点的运动点的运动(Oxyz)为定参考系为定参考系xyzxyzvvvvrijkijk0ijk() ()xyzxyzvrijkijkyxzjikrxzyOvaxyzxyzaaaavijkijk5.1 5.1 点的运动点的运动这个带有正负号的弧长这个带有正负号的弧长s 称为点称为点P的的弧坐标弧坐标。弧坐标要素：弧坐标要素： 有坐标原点有坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)； 有正、负方向有正、负方向(一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向)； 有相应的坐标系有相应的坐标系(自然轴系自然轴

4、系)。1) 弧坐标弧坐标3弧坐标法弧坐标法5.1 5.1 点的运动点的运动2）密切面）密切面 当点当点P 无限接近于点无限接近于点P时，过这两点的切线所组成的平面，时，过这两点的切线所组成的平面，称为点称为点P的的密切面密切面。5.1 5.1 点的运动点的运动密切面的特性：密切面的特性： 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称曲线在垂直于密切面的平面内

5、的曲率，称为第二曲率。为第二曲率。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用曲率，用 表示。表示。/15.1 5.1 点的运动点的运动s -s +PT(切线切线)N(主法线主法线)3 3）自然轴系）自然轴系B(副法线副法线)P空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；T 过动点过动点P的密切面内的密切面内 的切线，其正向指向的切线，其正向指向 弧坐标正向；弧坐标正向；N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向的直线，其正向指向 曲率中心；曲率中心；B 过动点过动点P垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线，其和主法线的直线，其 正向由正向由BTN

6、 确定确定。tnb5.1 5.1 点的运动点的运动自然轴系跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。自然轴系跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。5.1 5.1 点的运动点的运动4 4）点的速度和加速度）点的速度和加速度tsstddddddrrvtrsddvstsddtvv1limdd0srsrt5.1 5.1 点的运动点的运动vtssdd1ddddntntvvatvvttavvnta2vv tsstddddddddttt5.1 5.1 点的运动点的运动 弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示nta2ddvtv 在自然轴系投影形式在自然轴系投影形式bntabntaaastva ddt2nva 0bantaa

7、a切向加速度切向加速度 (tangential acceleration) ： 表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度(normal acceleration) ： 表示速度矢量方向的变化率表示速度矢量方向的变化率表明加速度表明加速度 a在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量； 速度矢量速度矢量v和加速度矢量和加速度矢量a都位于密切面内都位于密切面内。5.1 5.1 点的运动点的运动 【例【例5-1】 如图所示如图所示, 半径为半径为R 的圆盘沿直线轨道无滑动的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂

8、面内运动，且轮心A的速度的速度为为 v0 (t)。分析圆盘边缘一点。分析圆盘边缘一点M的运动，并求当点的运动，并求当点M与地面接与地面接触时的速度和加速度以及点触时的速度和加速度以及点M运动到最高处轨迹的曲率半径；运动到最高处轨迹的曲率半径；讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。分布。5.1 5.1 点的运动点的运动【解】【解】(1)建立坐标系建立坐标系Oxy如图所示，取点如图所示，取点M所在的一个最低位置为原点所在的一个最低位置为原点O设在任意时刻设在任意时刻t圆盘的转角圆盘的转角CAM由于圆盘是纯滚动由于圆盘是纯滚动点

9、点 M 运动方程运动方程:xysinAMOC cosAMAC xysinRcos1R5.1 5.1 点的运动点的运动点点 M 的运动方程的运动方程:xysinRcos1R点点 M 速度分量速度分量:x cos1Ry sinR点点 M 的加速度分量的加速度分量x sincos12 RRy cossin2 RR【解】【解】5.1 5.1 点的运动点的运动因为点因为点A作水平直线运动作水平直线运动,轮只滚不滑轮只滚不滑ROCxA0vRxA0vRxA 00va, 若记若记:RaRv00在纯滚动时上式可作为公式使用在纯滚动时上式可作为公式使用【解】【解】5.1 5.1 点的运动点的运动x cos1Ry

10、sinR 点点 M 的速度大小的速度大小v22yx cos12RMCv2sin20 即轮上点即轮上点M的速度大小与它到点的速度大小与它到点C（轮上与地面接触点）之（轮上与地面接触点）之距离成正比。距离成正比。【解】【解】5.1 5.1 点的运动点的运动即轮上点即轮上点M的速度的方向的速度的方向2cos,cosvvyyv2sin,cosvvxxv当当 = 0和和 =2p p时，点时，点 M 与与地接触，此时的速度为零地接触，此时的速度为零x sincos12 RRy cossin2 RR其加速度其加速度ja2R 当点当点M与地接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于与地接触时，其加速度的大小不

11、等于零，方向垂直于地面向上。此为绝对切向加速度，因此时速度为零，故其法向地面向上。此为绝对切向加速度，因此时速度为零，故其法向加速度为零。加速度为零。【解】【解】5.1 5.1 点的运动点的运动(2)点点M的轨迹在最高点的轨迹在最高点B处的曲率半径处的曲率半径在最高点在最高点B处的速度和加速度处的速度和加速度:iv02via R2j2R点点 M 的轨迹在最高点处的切线的轨迹在最高点处的切线方向为方向为i，并且曲线向下弯曲，并且曲线向下弯曲，所以主法线方向沿所以主法线方向沿 -j，于是法向，于是法向加速度的大小为：加速度的大小为：RvRa202n曲率半径：曲率半径：n2avRRvv4)2(202

12、0【解】【解】5.1 5.1 点的运动点的运动【讨论】【讨论】若若v0为常矢量，则为常矢量，则 为常数，故为常数，故0 点点 M 的加速度的加速度222axyR点点 M 的加速度方向的加速度方向sincosaa,xxacoscosaa,yya 所以此时轮缘上点所以此时轮缘上点M的加速度方向均指向轮心的加速度方向均指向轮心A，此时，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不过请注意，的加速度既非切向加速度，也非法向加速度。不过请注意，若若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。5.1 5.1 点的运动点的运动5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动

13、 平移平移 定轴转动定轴转动5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行，这种运动称为持平行，这种运动称为平移平移。 平行平行5.2.1 平移平移速度和加速度速度和加速度BArrBA)(ddddBArrBAtt由于矢量由于矢量 BA 是常矢量，是常矢量，因此有因此有BABAaavvBA刚体平移的特点刚体平移的特点5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动由于点由于点 A 和和 B 是任意选取的，是任意选取的，此我们可以得到如下的结论：此我们可以得到如下的结论：1 1）刚体上各点的轨迹形状

14、相同；）刚体上各点的轨迹形状相同；2 2）同一瞬时，刚体上各点的速度）同一瞬时，刚体上各点的速度相同，加速度相同。相同，加速度相同。1 1、平移刚体的运动学问题，可归结为点的运动学来处理，、平移刚体的运动学问题，可归结为点的运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。 2 2、通常可研究平移刚体与其他物体的连接点。、通常可研究平移刚体与其他物体的连接点。BA5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动5.2.2 定轴转动定轴转动5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动1定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体

15、上各点的速度和加速度刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固定不动时，称定不动时，称刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动，该固定直线称为，该固定直线称为轴轴线线或或转轴转轴 。rad)(tf用右手螺旋定则来确定转角用右手螺旋定则来确定转角的正负号的正负号从轴从轴z 的正向往负向看去，的正向往负向看去，逆逆时针转向为正时针转向为正，反之为负反之为负。 rad/s角速度角速度: :在工程中，可以用转速在工程中，可以用转速 n 来表示角速度来表示角速度:2rad/s 角加速度角加速度rpm:unit30/60/2nn5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动

16、3) 加速度加速度RRvat切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度222n/)(/RRRRva422222t2n)()(RRRaaa2nt/tanaa1) 自然坐标系下定轴转动自然坐标系下定轴转动刚体上点的运动方程刚体上点的运动方程.Rs 2) 速度速度RRsv5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动2 2、轮系传动比、轮系传动比内齿轮啮合内齿轮啮合定义传动比为轮定义传动比为轮1 1和轮和轮2 2的角速的角速度之比度之比: :12122112ZZrri21vv 2211rrtrZ2121212/ 2/ 2ZZtrtrrr齿数的计算齿数的计算: :5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运

17、动外啮合齿轮外啮合齿轮221121rrvv12122112ZZrri2121 602nnn5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动传动比传动比主动齿轮齿数被动齿轮齿数121221212,1 zzrrnni显然显然, , 当当 , : , : 被动齿轮的角速度增被动齿轮的角速度增大，加速旋转；大，加速旋转； 1|2, 1i121|2 , 1i12当当 , : , : 被动齿轮的角速度减小，减速被动齿轮的角速度减小，减速旋转；旋转；5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动tdd 22ddddttkk3速度和加速度的矢量表示速度和加速度的矢量表示5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动t

18、ttPPPPddddddrrvapvrPntPPPaaaPPratPPvanPPrv5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体?ddti?ddtk?ddtj泊松公式泊松公式(Poisson formula) (Poisson formula) 设动系设动系O x y z 绕绕 z轴轴转动，角速度为转动，角速度为 ，基基矢量为矢量为(i , j , k )5.2 5.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 如果将如果将基基矢量矢量 (i , j , k )视为视为动系动系O x y z 中的矢径，根据速度矢量的中的矢径，根据速度矢量的定义，基矢量对时间的一阶导数就是基定义，基矢量对时间的一阶导数就是基矢量端点轨迹上各点矢量端点轨迹上各点(例如例如P1， P2，P3点点)的速度矢量。的速度矢量。)(dd1Ptvii)(dd2Ptvjj)(dd3Ptvkk 【例【例5-2】 如图所示，长为如图所示，长为a，宽为，宽为b的矩形平板的矩形平板ABDE悬挂在两根等长为悬挂在两根等长为l ， 且相且相互平行的直杆上。板与杆之互平行的直杆上。板与杆之间用铰链间用铰链A，B 连接连接 。 二杆二杆又分别用铰链又分别用铰链 O1， O2 与固与固定的水平平面连接。已知杆定