同济版随机事件与概率(一)

1、第一章第一章 随机事件与概率（一）随机事件与概率（一）本章要点本章要点 了解概率论中的一些基本概念了解概率论中的一些基本概念: 随机试验随机试验, 样本点样本点, 样本空间样本空间. 事件的关系和运算事件的关系和运算. 了解概率的统计定义和了解概率的统计定义和古典概型古典概型. 了解概率的公理化定义及相关性质了解概率的公理化定义及相关性质, 掌握加掌握加会用全概公式与贝叶斯公式解题会用全概公式与贝叶斯公式解题. 法公式，减法公式法公式，减法公式, 条件概率条件概率, 乘法公式乘法公式, 及独立性的及独立性的概念；概念；一、随机事件一、随机事件 在个别试验中呈现不确定的结果，在大量重复在个别试验

2、中呈现不确定的结果，在大量重复 概率论是研究随机现象统计规律性的一门学科概率论是研究随机现象统计规律性的一门学科.试验中结果呈现某种规律性的现象称为随机现象。试验中结果呈现某种规律性的现象称为随机现象。这种规律性称为统计规律性。这种规律性称为统计规律性。何为随机现象？何为随机现象？ 1.随机试验随机试验 满足如下条件的试验称为满足如下条件的试验称为随机试验随机试验, 简称为简称为试验试验: 可重复性可重复性; 结果的可预测性结果的可预测性; 结果的未知性结果的未知性.例例1 投掷一枚均匀的骰子投掷一枚均匀的骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.例例2 在某地区某时刻的雨量在某地区某时刻的雨量.

3、 一般用大写的英文字符一般用大写的英文字符 来表示随机试验来表示随机试验.E例例3 从某厂生产的相同类型的灯泡中抽取一只从某厂生产的相同类型的灯泡中抽取一只, 测试其测试其寿命寿命.例例4 某交通道口在单位时间内的汽车流量某交通道口在单位时间内的汽车流量. 2.样本点与样本空间样本点与样本空间 随机试验的一个基本结果称为随机试验的一个基本结果称为样本点样本点. 一般以一般以 来表来表例例5 在掷骰子试验中在掷骰子试验中, 以以 代表出现点数为代表出现点数为 则样本则样本i, i126,. 例例6 在一次射击试验中在一次射击试验中, 若打靶的环数为若打靶的环数为0,1,2,10,01210,.

4、示示.点为点为则样本点为则样本点为 由样本点的全体所构成的集合称为由样本点的全体所构成的集合称为样本空间样本空间, 记为记为. 在前面两个例中在前面两个例中, 样本空间分别为样本空间分别为126,. 01210,. 在例在例3中中, 样本空间为样本空间为0,. 样本空间可分为有限集，可数集，区间样本空间可分为有限集，可数集，区间.在例在例4中中, 样本空间为样本空间为012,. 3.随机事件随机事件 由若干个样本点构成的集合称为由若干个样本点构成的集合称为事件事件. 一般用一般用, , ,A B C 例例6 在掷骰子试验中在掷骰子试验中, 掷出的为奇数的事件为掷出的为奇数的事件为135,.A

5、事件事件 发生发生意为事件意为事件 中的一个样本点的出现中的一个样本点的出现.AA来表达事件来表达事件. 在例在例6中中, 事件事件 发生发生, 即指掷出的点数为奇数即指掷出的点数为奇数.A 在所有的事件中在所有的事件中, 有两个特殊的事件有两个特殊的事件, 分别称为分别称为必然必然必然事件必然事件不可能事件不可能事件事件和不可能事件事件和不可能事件. 为了用简单的事件来表达较为复杂的事件为了用简单的事件来表达较为复杂的事件, 有必要讨有必要讨 关系关系 若事件若事件 发生必然导致事件发生必然导致事件 发生发生, 则称事件则称事件 包含包含事事ABB件件 记为记为,A.AB 若事件若事件 包含

6、在事件包含在事件 中中, 而事件而事件 又包含在事件又包含在事件 中中,ABBA论事件间的关系和运算论事件间的关系和运算. 4.事件的关系和运算事件的关系和运算则称事件则称事件 与事件与事件 相等相等, 记为记为AB.AB 互斥事件互斥事件 若事件若事件 与事件与事件 不能在一次试验中同时发不能在一次试验中同时发AB例例7 在掷一次骰子试验中在掷一次骰子试验中, 135,A 246,B 46,.C 则则,CB且且 与与 是互斥的是互斥的.AC生生, 则称事件是则称事件是互斥互斥的（的（互不相容互不相容）. 关系间的图示关系间的图示AB.ABAB,A B互斥互斥 若事件若事件 满足满足: 事件事

7、件 发生当且仅当发生当且仅当 不发生不发生, 则称则称,A BABAA事件事件 为事件为事件 的的对立事件对立事件, 记为记为BA.A 对立事件往往又称为对立事件往往又称为逆事件逆事件（余事件余事件）. 运算运算 设设 为事件为事件, 定义下列事件定义下列事件.,A B|.ABAB 事件的并事件的并:称为和事件，表示二个事件至少有一发生称为和事件，表示二个事件至少有一发生 事件的交：称为积事件，表示二个事件同时发生事件的交：称为积事件，表示二个事件同时发生|.ABABAB 和事件与积事件可推广到有限个或无限个事件中去和事件与积事件可推广到有限个或无限个事件中去. 事件的差事件的差|.ABAB

8、ABABAB 由定义容易得到下列关系由定义容易得到下列关系:,A B是互斥事件是互斥事件.AB ,A B是对立事件是对立事件,.ABAB .ABABAAB 事件的运算满足下面性质事件的运算满足下面性质: 交换律交换律,;ABBA ABBA 结合律结合律,ABCABC 分配律分配律,ABCACBC 对偶律对偶律,.ABAB ABAB;ABCABC;ABCACBC对偶律可推广到对偶律可推广到n个事件中去：个事件中去：1212,nnAAAAAA121212.nnnAAAAAAA AA例例8 一箱产品中有一箱产品中有95件正品和件正品和5件次品件次品, 从中取从中取4次次, 每每1.取到的都是正品取到

9、的都是正品;2.取到的恰有一件是次品取到的恰有一件是次品;3.取到的至少有一件是次品取到的至少有一件是次品.解解11234;BA A A A1,2,3,4iA i i次取一件次取一件, 以以 表示第表示第 次取到的是正品次取到的是正品, 试表达如下事件试表达如下事件:12342234134124123;BA A A AA A A AA A A AA A A A312341234.BA A A AAAAA1.第一幢楼房合格第一幢楼房合格;2.只有第一幢楼合格只有第一幢楼合格;3.恰有一幢楼合格恰有一幢楼合格; 幢楼房验收合格幢楼房验收合格”1,2,3.i i试用试用 表达如下事件表达如下事件:i

10、A4.至少有一幢楼合格至少有一幢楼合格;5.至多有一幢楼合格至多有一幢楼合格.例例9 某工程队承包修建了某工程队承包修建了 幢楼房幢楼房, 设事件设事件 表示表示“第第iA311;BA2123;BA A A3123123123;BA A AA A AA A A4123;BAAA5123123123123.BA A AA A AA A AA A A二、等可能概型二、等可能概型刻画刻画, 这个数就称为概率这个数就称为概率.记作记作 在一次试验中在一次试验中, 随机事件随机事件 可能发生可能发生, 也可能也可能 不发生不发生.A随机事件发生的可能性的大小用区间随机事件发生的可能性的大小用区间 中的一

11、个数来中的一个数来0,1事件事件 的概率分别的概率分别, ,A B C ,.P AP BP C 自然有自然有: 1,0.PP 1.古典型概率古典型概率 设设 是随机试验是随机试验, 是相应的样本空间是相应的样本空间, 若满足若满足:E 中仅含有限个样本点中仅含有限个样本点, 记记 每个样本点出现的可能性是相同的每个样本点出现的可能性是相同的, 即即则称此试验为则称此试验为古典概型古典概型.12,;n 12.nPPP用这种方法得到的概率称为用这种方法得到的概率称为古典型概率古典型概率. .AnP An 在古典概型中在古典概型中, 若事件若事件 中包含中包含 个样本点个样本点, 规定规定AAn解解

12、 由所设容易得到由所设容易得到这是一个古典概型这是一个古典概型, 且且例例10 把一枚硬币连抛两次把一枚硬币连抛两次, 设事件设事件 表示表示“出现出现 次次A2正面正面” ，事件，事件 表示表示“出现出现 个相同的面个相同的面”, 试求试求B2 正正正正, 正反正反, 反正反正, 反反反反.4.n 又又 A 正正正正,所以所以 1.4P A 1,An 因此因此同理同理, 1.2P B ,.P AP B下分别求出两只晶体管中恰有下分别求出两只晶体管中恰有 只是不合格品的概率只是不合格品的概率:1例例11 一个盒子中有一个盒子中有 个晶体管个晶体管, 其中其中 只是不合格品只是不合格品. 103

13、从这个盒子中依次随机地取从这个盒子中依次随机地取 只晶体管只晶体管, 在下列两种情况在下列两种情况2有放回抽样有放回抽样 第一次取出第一次取出 只晶体管只晶体管, 作测试后放回盒子作测试后放回盒子1中中, 第二次再从盒子中取第二次再从盒子中取 只晶体管只晶体管;1第二次再从盒子中取第二次再从盒子中取 只晶体管只晶体管.1A解解 设事件设事件 表示表示“ 只晶体管中恰有一只是不合格品只晶体管中恰有一只是不合格品”.2从盒子中依次取出从盒子中依次取出 只晶体管只晶体管. 每一种取法视为一个基每一种取法视为一个基2无放回抽样无放回抽样 第一次取出第一次取出 只晶体管只晶体管, 作测试后不放回作测试后

14、不放回,1本事件本事件, 此为一个古典概型此为一个古典概型.第一次有第一次有 种取法种取法, 放回后放回后, 第二次还是有第二次还是有 种取法种取法.1010所以所以10 10.n 第一次取正品第一次取正品, 第二次取次品的取法共第二次取次品的取法共 种种; 第一次第一次7 3取次品第二次再取正品的取法共有取次品第二次再取正品的取法共有 种种,3 7所以所以7 33 7.An 由此得由此得 7 33 70.42.100AnP An 所以所以10 9.n 第一次有第一次有 种取法种取法, 不放回后不放回后, 第二次有第二次有 种取法种取法.109第一次取正品第一次取正品, 第二次取次品的取法共第

15、二次取次品的取法共 种种; 第一次第一次7 3取次品第二次再取正品的取法共有取次品第二次再取正品的取法共有 种种,3 7所以所以7 33 7.Bn 由此得由此得 7 33 70.47.90BnP Bn 此类型的题目也可以用组合的方法计算出相应的概率此类型的题目也可以用组合的方法计算出相应的概率.例例12 一批产品共有一批产品共有100件件, 其中其中95件为正品件为正品, 5件是次件是次从中任取一件从中任取一件, 取到的是次品的概率取到的是次品的概率;从中取出从中取出4件件, 取到的产品中有一件是次品的概率取到的产品中有一件是次品的概率;从中取出从中取出4件件, 取到的产品中至少有一件是次品的

16、概率取到的产品中至少有一件是次品的概率.解解 从从100件产品中取一件的取法为件产品中取一件的取法为 而取次品的而取次品的100,品品, 求求: 5,A取法是取法是 设事件为设事件为 , 故概率为故概率为 51.10020P A 100件产品中取件产品中取4件产品的取法数为件产品的取法数为 而恰好取到而恰好取到4100,C 3195541006920750.1765.3921225C CP BC 取到的产品中至少有一件是次品的取法数为取到的产品中至少有一件是次品的取法数为31955,C C,B的有一件是次品的取法数为的有一件是次品的取法数为 设事件为设事件为 则则4410095,CC.C 设事

17、件为设事件为 则则 4441009595441001001CCCP CCC 1 0.81190.1881. 从此题的解法中我们可以得到古典概型计算中一从此题的解法中我们可以得到古典概型计算中一 1.P CP C 个公式：个公式：例例13 某市的电话号码由某市的电话号码由8位数组成位数组成, 每位可以是每位可以是0,1,2,解解 所有有效的电话号码共有所有有效的电话号码共有 个个. 而每位数各不而每位数各不79 10 77997790.0061.9 1010PPp A, 9中的任一数（但首位不能取中的任一数（但首位不能取0）, 现随机取一个电现随机取一个电话号码话号码, 问取到的是由不同的数组成

18、的概率问取到的是由不同的数组成的概率.799P相同的电话号码有相同的电话号码有 个个, 故相应的概率为故相应的概率为求求 个人住不同房的概率个人住不同房的概率. n例例14 （分房问题）设有（分房问题）设有 个人入住个人入住 个房间个房间, nN nN解解 设设 为为 个人的所有可能的入住方法个人的所有可能的入住方法, 则则 若若 n.nN !.nNnCnP AN应用应用 生日问题生日问题: 设一个班有设一个班有 个人，则个人，则 个人的生日互个人的生日互nnAn以以 表示指定的表示指定的 个房间中各住一个人的所有可能的住个房间中各住一个人的所有可能的住!.AnNn法法, 则则 而从而从 个房

19、间中选出个房间中选出 个房间的选法总数个房间的选法总数,nNC为为 故所求问题的概率为故所求问题的概率为 不相同的概率就可以从上面的公式中得以计算不相同的概率就可以从上面的公式中得以计算.此时取此时取 365!.365nnCnP A下表给出了当下表给出了当 取不同值时的概率分布情况取不同值时的概率分布情况:n反之反之, 班中至少有两个人同一天生日的概率为班中至少有两个人同一天生日的概率为 365!1.365nnCnP A 365,N 相应的概率为相应的概率为0.999990.9970.9700.8910.7060.4411006450403020nP三、频率与概率三、频率与概率 设设 是随机试

20、验是随机试验, 是样本空间是样本空间, 是事件是事件, 设在设在 次试次试E.AnAnn称为事件称为事件 在在 次试验中出现的次试验中出现的频率频率, 记为记为 即即An ,nfA .AnnfAn 1.频率频率验中验中, 事件事件 出现的次数为出现的次数为 次次, 数数AnA 历史上历史上, 有很多学者为了考察某些问题的概率而做了有很多学者为了考察某些问题的概率而做了试验者试验者试验次数试验次数正面出现次数正面出现次数频率频率蒲丰蒲丰404020480.5069K.皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊皮尔逊24000120120.5005大量的试验大量的试验, 以观察一些问题的

21、实质以观察一些问题的实质. 例如在抛硬币试例如在抛硬币试验中验中, 有这样三组数据有这样三组数据: 通过这一组数据可以看到通过这一组数据可以看到:当试验的次数越大当试验的次数越大, 则事件则事件在在 次试验中出现的频率越接近某一个常数次试验中出现的频率越接近某一个常数, 它反映了它反映了n事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性. 概率的统计定义概率的统计定义 对于任何一个事件对于任何一个事件 若事件若事件 在在 次重复试验中事次重复试验中事,AAN( ).P AN发生的频率随着发生的频率随着 的增大将稳定到某个常数的增大将稳定到某个常数, 就称

22、该常就称该常数为事件发生的数为事件发生的概率概率, 记为记为例例15 在抛硬币试验中在抛硬币试验中, 以以 表示出现正面朝上这一事件表示出现正面朝上这一事件,A 1.2P A A则由上面的统计数据得到事件则由上面的统计数据得到事件 发生的概率为发生的概率为 例例16 为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道. 在每天交在每天交1频率频率601231420164等候天数等候天数总和总和6543210等候车辆数等候车辆数460166020601460360260160通最繁忙的时间（上午通最繁忙的时间（上午9时）在该路口观察候车数时）在该路口观察候车数, 共观共观察了察

23、了60天天, 得数据如下得数据如下:试求某天上午试求某天上午9时在该路口至少有时在该路口至少有5辆汽车在等候左转弯辆汽车在等候左转弯解解 设事件设事件 表示表示“至少有至少有5辆汽车在等候左转弯辆汽车在等候左转弯”这这一一A 602110.05,6020fA故可近似地认为至少有故可近似地认为至少有5辆汽车在等候左转弯的概率为辆汽车在等候左转弯的概率为 0.05.P A 的概率的概率.事件事件, 在在60次观察中次观察中, 事件发生的频率事件发生的频率四、概率的公理化定义与性质四、概率的公理化定义与性质 经过研究发现经过研究发现, 无论是古典概率还是几何概率或是概无论是古典概率还是几何概率或是概

24、非负性非负性规范性规范性可加性可加性 率的统计定义率的统计定义, 都具有下列都具有下列 条基本性质条基本性质:3对任意一个事件对任意一个事件,A 0;P A 1;P 当事件当事件 互不相容时互不相容时, 有有,A B .P ABP AP B 就古典概型验证上述性质就古典概型验证上述性质. 事实上事实上, 由古典型概率的意义由古典型概率的意义, 非负性和规范性是显非负性和规范性是显ABnnP ABn而易见的而易见的. 再看可加性再看可加性, 设事件设事件 中包含中包含 个元素个元素, 事事AAn件件 中包含中包含 个元素个元素, 由于事件是互不相容的由于事件是互不相容的, 所以所以BBn事件事件

25、 包含包含 个元素个元素, 所以所以ABABnn .ABnnP AP Bnn 将这些性质抽象出来将这些性质抽象出来, 引出了概率的一般定义引出了概率的一般定义. 设设 为随机试验为随机试验, 为相应的样本空间为相应的样本空间, 若对每一个事若对每一个事E公理公理1 0;P A 公理公理21;P 公理公理3 对任意一列两两互斥事件对任意一列两两互斥事件 有有12,nA AA121,niiP AAAP A则称则称 为事件为事件 的的概率概率. P AAA P A件件 , 能惟一确定实数能惟一确定实数 与之对应与之对应, 且满足如下公理且满足如下公理: 由定义由定义, 不难得到如下性质不难得到如下性

26、质:性质性质1 0.P 证证 在公理在公理3中中, 取取,1,2,iAi 则有则有111,iiiiiPPAP AP 因因0P 0.P 性质性质2 设设 为互不相容事件组为互不相容事件组, 则有则有 12,nA AA121.nniiP AAAP A证证 在公理在公理 中中, 令令3,1,2,iAinn 则由可列可加性得则由可列可加性得1211niiiiP AAAPAP A111.nniiii niP APP A ,1PAP A 证证 在性质在性质2中中, 取取,AA 1PP AAP AP A 性质性质3 对任一事件对任一事件 有有,A122,nAA AA则有则有 及及,AA由此得由此得 1.P

27、AP A 性质性质4 若若 则则,AB ,.P AP BP BAP BP A证证 在性质在性质2中中, 取取122,nAA ABA则有则有 ,BAA及及,BAAB再由有限可加性得再由有限可加性得 BPP AP BA .P BP BAP A再由公理再由公理2知知所以所以0,P BA .P AP B性质性质5 设设 为任意一事件为任意一事件, 则则 A 1.P A 1.P AP 证证A性质性质6 设设 为任意两个事件为任意两个事件, 则则 ,A B .P BAP BP AB证证 因因 ,BABAB且且.ABB由性质由性质5得得 .P BAP BABP BP AB性质性质7 设设 为任意两个事件为任意两个事件, 则则 ,A B .P ABP AP BP AB证证 因因,ABABA又又 ,ABA 所以所以 .P ABP AP BA又由性质又由性质6 ,P BAP BP AB代入前式代入前式, 得得 .P ABP AP BP AB例例17 设设 求求 0.5,0.7,0.8,P A