CHAPTER随机事件及其概率PPT课件

1、概率统计及其应用参考书1.概率论与数理统计浙江大学编，高等教育出版社。2. 概率论与数理统计陈希孺编，科学出版社。3. 概率论与数理统计同济大学编，高等教育出版社。第1页/共49页第1章 随机事件及其概率第节 随机事件第节 事件的概率第节 条件概率与独立性及其应用返回第2页/共49页随机现象：掷一枚硬币,观察向上的面;某人射击一次,考察命中环数;某人射击一次,考察命中情况;从一批产品中抽取一件,考察其质量;确定性现象：抛一石块,观察结局;导体通电,考察温度;异性电菏放置一起,观察其关系;1.1 随机事件第3页/共49页概率统计概率统计的研究对象的研究对象 随机现象随机现象 在条件相同的一系列重

2、复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。这种规律性称之为统计规律性。 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。第4页/共49

3、页一. 基本概念1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察.它具有三个特点：重复性, 明确性 , 随机性.2.随机试验的样本点 （）随机试验的每一个可能结果.3.随机试验的样本空间（）随机试验的所有样本点构成的集合.掷一颗骰子的试验中= 1，2，3，4，5，6第5页/共49页 5.基本事件的单元素子集，即每个样本点构成的集合.4. 事件 某种现象或情况 随机事件可能发生也可能不发生的事件，可看成的子集，常用A、B、C表示.如掷一颗骰子的试验中A=出现奇数点，则A=1,3,5为的子集。通常，随机事件简称为事件。 6.必然事件（） 7.不可能事件（）A第6页/共49页二二. 事件的出现（或发生）

4、事件的出现（或发生） 称在一次试验中事件称在一次试验中事件A出现（发生）当且仅当此次试验的结果（样本点或基本出现（发生）当且仅当此次试验的结果（样本点或基本事件）包含在事件）包含在A中中. 注意注意： 1.在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现；在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现； 2.在一次试验中，一定有一个样本点出现，且仅有一个样本点出现在一次试验中，一定有一个样本点出现，且仅有一个样本点出现.第7页/共49页 课 堂 练 习写出下列各个试验的样本空间1 掷一枚均匀硬币，观察正面（H）反 面（T）出现的情况；2.将一枚硬币连抛三次，观察正面和反面 出现的情况；3.将一枚硬币连抛

5、三次，观察正面 出现的 情况.第8页/共49页4.袋中有编号为 1，2，3，n 的球,从 中任取一个，观察球的号码；5.从自然数 1，2，3，N（N 3）中 接连随意取三个 , 每取一个还原后再 取 下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记 录n次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。第9页/共49页A含于B中,表示若事件A出现,事件B一定出现（ A是B的子集）.AB, BA A = BA与B的并(和).表示事件A,B至少有一个出现.推广:A+B+C表示事件A,B,C至少有一个出现.三、事件的关系与运算 定义一个事件：指

6、出该事件何时发生何时不发生AB ABA第10页/共49页A与B的交(积).表示事件A和B同时出现.推广: ABC 表示事件A,B,C 同时出现表示事件A和B不能同时出现,称A与B互斥（或互不相容）.称事件A和B为对立事件,记为B = A A AB BAB AA每次试验A,A 一定有一个发生，且只有一个发生。第11页/共49页表示事件A出现,而事件B不出现.且表示事件A和事件B都不出现.表示事件A和事件B至少有一个不出现.注 以上结果可推广为A B第12页/共49页 事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而

7、已。而已。 比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。并集、交集、差集，等。第13页/共49页记 号 概 率 论 集 合 论 样本空间,必然事件 空间,全集 不可能事件 空集 样本点 元素 A 事件 集合A是B的子事件 A是B的子集A与B是相等事件

8、 A与B是相等集合A与B互斥(互不相容) A与B无相同元素A与B的和(并)事件 A与B的并集A与B的积(交)事件 A与B的交集A与B的差事件 A与B的差集A的对立事件(逆事件) A的余(补)集第14页/共49页 课堂练习1. 设A、B、C为任意三个事件,试用 它们表示下列事件: A出现，B、C不出现； A、B出现，C不出现； A、B、C都出现； A、B、C都不出现； A、B、C中恰有一个出现； A、B、C中至少有一个出现； A、B、C中至多有一个出现； A、B、C中不多于一个出现； A、B、C中至少有两个出现； A、B、C中最多有两个出现.第15页/共49页2.若A是B的子事件，则A+B=(

9、)，AB=( )3.设当事件A与B同时出现时C也出现,则( ) A+B是C的子事件； C是A+B的子事件； AB是C的子事件； C是AB的子事件。第16页/共49页4.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。5.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|，B=x-a（0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19第17页/共49页1.2 事件的概率1.古典概型 设为试验E的样本空间，若 （有限性） 只含有限个样本点， （等概

10、性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。2.古典概率的定义 设E为古典概型， 为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=A中的基本事件数 / 基本事件总数 ( 或 = card(A)/card()）其中，A中的基本事件数 称为有利于A的基本事件数 刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于0与1之间的一个实数。第18页/共49页加法原理完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推,在第n类方法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法,其中各类方法彼此独

11、立.乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.3. 复习第19页/共49页排列与组合 非重复的选排列 从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作 组合 从n个不同的元素中,每次取出k(k0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),推广情形对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，则 有 P ( A1A2An)

12、=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)若P(AB)0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率(2) (2) 乘法公式乘法公式第34页/共49页例 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则70/3)(; 8/4)(, 7/3)(, 6/3)(,5/2)()()()()()(4321321421312132142131214321AAA

13、APAAAAPAAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAAP第35页/共49页例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.(3) 事件的独立性第36页/共49页定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。 推论1 为两个事件,若P(A)0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A

14、).证明：A, B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.第37页/共49页证明 不妨设独立,则)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他类似可证. 推论2 在 A 与 B, 与 B, A 与 ， 与 这四对事件中,若有一对独立, 则另外三对也相互独立。注意 判断事件的独立性一般有两种方法: 由定义判断,是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断.第38页/共49页定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A

15、1,A2,An,若对任何正整数m(2mn)以及性质 若n个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积.则称这n个事件相互独立.若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。第39页/共49页例 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电,则A1,A2,

16、A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=第40页/共49页课堂练习2. 甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别为和0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为( )2. 设A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B)解 1. 1. P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,则P(B)=( ).所以,P(AB)=0.36,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得第41页/共49页例 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次

17、一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？解 设A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则 =(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9)=6/152. 应用全概率公式和Bayes公式第42页/共49页(1)全概率公式 设是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,An满足：则 对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)证明 =P(A1)P(B|A1)+ P(An) P(B|An) 称公式中A1,A2,An为完备事件组第43页/共49页例 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2

18、%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.(1) 从市场上任取一个产品，Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3由全概率公式得:即市场上该种商品的次品率为 2.5%.解第44页/共49页例 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率.解 (2)分析 所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).即抽取到的次品是甲厂生产的概率为0.4.注意 A1 是完备事件组里的事件第45页/共49页 (2) 贝叶斯(Bayes)公式 设是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,An满足，则 对于任何一个正概率事件B，有 第46页/共49页例 每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不放回),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.解(1) P(B)= P(A0)P