概率论第一章

1、1 随机试验随机试验对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。随机试验的特点随机试验的特点(p2 )1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； 2.试验结果可能不止一个试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果但能明确所有的可能结果;3.试验前无法确定是哪个结果会出现。试验前无法确定是哪个结果会出现。随机试验可表为随机试验可表为E 定义定义随机试验的例子E1: 抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H” 和和“T” 表示出正面和反表示出正面和反面面, 观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况;E2: 将一枚硬币连抛三次，将一枚硬币连抛三次，

2、观察观察正反面出现的情况；正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重任选一人，记录他的身高和体重 。2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件(P2)1、样本空间样本空间：试验的：试验的所有可能结果所组成的集合称所有可能结果所组成的集合称 为样本空间，记为为样本空间，记为S=或或= ； 2、样

3、本点样本点: 试验的每一个结果或样本空间的每个元素试验的每一个结果或样本空间的每个元素 称为一个样本点称为一个样本点,记为记为. 定义定义EX EX 给出给出E1-E7的样本空间的样本空间例例1E4: 掷一颗骰子，考掷一颗骰子，考察察可能出现的点数。可能出现的点数。 S =1,2,3,4,5,6; A=“掷出偶数点掷出偶数点” B=“掷出大于掷出大于4的点的点” =2，4，6 =5，6 C=“掷出奇数点掷出奇数点”=1，3，5样本空间的子集称为样本空间的子集称为随机事件。随机事件。记作记作A A、B B、C C等。等。 定义定义事件的发生事件的发生:子集中某个样本点出现。子集中某个样本点出现。

4、每次试验必有一个样本点出现每次试验必有一个样本点出现几个特殊事件几个特殊事件: 基本事件：一个样本点组成的子集基本事件：一个样本点组成的子集(p3) 必然事件必然事件S S 、 不可能事件不可能事件 、事件间的关系事件间的关系1.包含关系包含关系(p3) A B A A B B “A “A发生必导致发生必导致B B发生发生”。(p4)2n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生至少有一个发生 发生发生iniA13. 积事件积事件(p4) :A BAB 3n个事件个事件A1, A2, An同时发生同时发生 A1A2An发生发生A A与与B B同时发生同时发生 AB AB发生发生4.差事件差

5、事件(p4) ：AB称为称为A与与B的差事件。的差事件。何时何时A-B= ? 何时何时A-B=A？A AB B发生发生事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生5. 互互斥的事件斥的事件(p4) ：AB ，表示事件，表示事件A与与B不可能同时发生。不可能同时发生。6. 互逆的互逆的事件事件(p4) :若若A B S, 且且AB ，称，称A与与B互为逆事件互为逆事件. 表示表示A,B不可能同时发生，不可能同时发生，但必有一个发生。但必有一个发生。BABAAA易见，的对立事件记作事件的运算事件的运算(p5)1、交换律：、交换律：A BB A，ABBA2、结合律：、结合律：(A B) CA (B

6、C)， (AB)CA(BC)3、分配律：、分配律：(A B)C(AC) (BC)， (AB) C(A C)(B C)4、对偶、对偶(De Morgan)律：律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广例例2甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”

7、“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标“至少有一人命中目标AAAAAA3 频率与概率频率与概率(P6)某人向目标射击，某人向目标射击，以以A A表示事件表示事件“命中目标命中目标”，P P（A A）= =？(p5) 在相同条件下在相同条件下, 进行进行n次试验，在这次试验，在这n次试验次试验中事件中事件A发生的次数发生的次数nA，称称nA为事件为事件A发生的发生的频数频数称称fn(Afn(A) ) nA /n. /n.为事件为事件A发生发生的的频率频率 定义定义频率的性质频率的性质(p6)(1)0 fn(A) 1； 非负性非负性(2) fn(S)1；

8、归一性归一性(3)若若A,B互斥，互斥，则则 fn(AB) fn(A) +fn(B). 可加性可加性 (4) 当当n充分大时，充分大时， fn(Afn(A) )稳定于稳定于p(Ap(A) ) 。 稳定性稳定性某一常数某一常数历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，试图证明抛掷匀质硬币时，正反面的机会均等。正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005

9、 当试验次数当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率. 此为此为概率的统计定义概率的统计定义.概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值;频率是概率的反映频率是概率的反映, 用频率去解释概率用频率去解释概率.例如例如: P(A)=0.8,: P(A)=0.8,则应理解为在观察则应理解为在观察A A而做的而做的20002000次次试验中试验中, ,事件事件A A的出现次数应在的出现次数应在16001600次左右次左右. .两者的关系两者的关系 定义定义概率的公理化定义概率的公理化定义(p

10、8)1933年，前苏联科学家柯尔摩哥洛夫，给出了年，前苏联科学家柯尔摩哥洛夫，给出了概率的公理化定义概率的公理化定义若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间S中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) 非负性：非负性： P(A) 0；(2) 归一性：归一性： P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：设设A1，A2，, 是两两互不相是两两互不相容的事件，即容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的

11、的概率概率。( p8)称为概率的公理化定义称为概率的公理化定义 定义定义概率的性质概率的性质 P(8-9)(2) 有限有限可加性可加性：设设A1，A2，An , 是是n个两两互个两两互不相容的事件，即不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,则则有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 单调不减性单调不减性：若事件：若事件A B，则，则 P(A)P(B) 0)(P(1)1)(,APSA(5) 加法公式加法公式：对任意两事件：对任意

12、两事件A、B，有，有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) 该公式该公式可推广到可推广到任意任意n个个事件事件A1，A2，An的的情形情形. P(A);-1)AP( (6)互补性互补性例例1例例2小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏，他能答出甲，游戏，他能答出甲，乙两类问题的概率分别为乙两类问题的概率分别为0.7和和0.2，两类问题，两类问题都能答出的概率为都能答出的概率为0.1，求小王，求小王（1）能答出甲类而答不出乙类问题的概率）能答出甲类而答不出乙类问题的概率.（2）至少有一类问题能答出的概率）至少有一类问题能答出的概率.（3）两类问题都答不出的概率）两类问题都答不出的概率.思

13、考：已知思考：已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,P(AC)=P(BC)=1/6,则则A A，B B，C C不全发生的不全发生的概率为多少概率为多少. .通过做此题，你发现什么问题？4 古典概型古典概型(P10)事件事件A A发生的可能性的大小称为事件发生的可能性的大小称为事件A A的概的概率。记为率。记为 P(A).P(A).P（A A）如何计算？）如何计算？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的

14、概率有多大？ 定义定义(p10)若某试验若某试验E满足满足（1）有限性：样本空间）有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ;（2）等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en). 则称则称E为古典概型为古典概型, 也称为也称为等可能等可能概型。概型。例例盒中有盒中有3只白球只白球, 2只红球只红球, 从中任意摸一球从中任意摸一球, 观察其颜色观察其颜色,S=白、红白、红，此试验是否为古典概型？，此试验是否为古典概型？ 定义定义设事件设事件A中所含样本点个数为中所含样本点个数为N(A) ，以，以N(S)记样本空间记样本空间S中样本点总数，则有中样本点总数，则有)

15、S()()(NANAP例例1:1:有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,则至少有一个男孩的概率是则至少有一个男孩的概率是多少多少? ?解解: :设设A A表示表示“至少有一个男孩至少有一个男孩”, ,H H表示男孩，表示男孩，T T表示女孩。表示女孩。则则 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT87)()()(SNANAP古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题复习：排列与组合

16、的基本概念复习：排列与组合的基本概念乘法定理乘法定理：设完成一件事需分两步：第一步有：设完成一件事需分两步：第一步有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件事共种方法，则完成这件事共有有n n1 1n n2 2种方法种方法. .ABC加法定理：加法定理：设完成一件事可有两种途径，第设完成一件事可有两种途径，第一种途径有一种途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。AB重复排列重复排列( (放回抽样放回抽样) )：从含有：从含有n n个元素的集

17、合中个元素的集合中随机抽取随机抽取k k次，每次取一个，记录其结果后放回，次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列将记录结果排成一列. .共有nk种排列方式.n n n n n nn n无重复排列（不放回抽样）无重复排列（不放回抽样）：从含有：从含有n n个元素的集合中个元素的集合中随机抽取随机抽取k k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列排成一列. .共有共有A An nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. .当当 k=n 时，时，Ank=n!， 称为全排列。称为全排列。n n n-1

18、n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1组合（不放回抽样）：组合（不放回抽样）：从含有从含有n n个元素的集合中个元素的集合中随机抽取随机抽取k k个，共有个，共有种取法.!()!kknnnAnCkkk nk 例例1:设盒中设盒中有有4个白球，个白球，2个红球，现从盒中个红球，现从盒中任任抽抽2个个球，分别在放回抽样与不放回抽样的球，分别在放回抽样与不放回抽样的情况下求情况下求(1)取到两只白球的概率。取到两只白球的概率。(2)取到两只同色球的概率。取到两只同色球的概率。(3)取到至少一只白球的概率。取到至少一只白球的概率。取到一只白球，一只红球的概率？取到一只白球，一只红球的概率？(1) 摸

19、球问题摸球问题(2) 分球入盒问题分球入盒问题例例2 2：将：将3 3个球随机的放入个球随机的放入4 4个盒子中去，每盒装球个盒子中去，每盒装球数目不限，问：每盒至多有一球的概率是多少？数目不限，问：每盒至多有一球的概率是多少？一般地，把一般地，把n n个个球随机地分配到球随机地分配到m m个盒子中去个盒子中去(n(n m)m)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnmmAp 97.036515050365AP有有50人，人，问至少有两人问至少有两人生日生日相同的概率有多大？相同的概率有多大？(3) 抽签问题抽签问题例例3：袋中有：袋中有 a 只白球，只白球，b 只红球，依次

20、将球一只只摸出，不只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第放回，求第 k 次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？解：解： 设想设想 a+b 只球进行编号，将只球进行编号，将 a+b 只球顺次排列在只球顺次排列在 a+b 个个 位置上。位置上。 令令 A=“第第 k 次摸到白球次摸到白球” 则则 N(S) = (a+b)! N(A) = Ca1 (a+b-1)! 所以所以 P(A) = a (a+b-1)!/(a+b)! = a/(a+b)(4) 分组问题分组问题例例4：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均名学生平均分成分成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的

21、概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(! 9! 9! 9!27! 3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解解: 设设 A=“每组有一名运动员每组有一名运动员”; B=“ 3名运动员集名运动员集中在一组中在一组”, 则：则：1!.!mnnn一般地，把一般地，把n个个球随机地分成球随机地分成m组组(nm),要求第要求第 i i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：(5) 随机取数问题随机取数问题例例5：从：从1，2，3

22、，4，5诸数中，任取诸数中，任取3个排成自左向右的次序，个排成自左向右的次序，求：求： （1） “所得三位数是偶数所得三位数是偶数”的概率？的概率？ （2） “所得三位数不小于所得三位数不小于200”的概率？的概率？2A解：解： 60)(35 ASN24)() 1 (24121ACAN5/260/24)(1AP48)()2(24142ACAN1A5/460/48)(2AP5 条件概率与独立性条件概率与独立性(P14)袋中有袋中有十十只球，其中只球，其中九九只白球，只白球，一一只红球，只红球，有十有十人依次从袋中各取一球人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第

23、一个人取得红球的概率是多少？ 第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A发生条件下B发生的条件概率，记作P(B|A)一、条件概率一、条件概率例例1 1 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意个红球，现从袋中任意抽抽取两次，每次取一取两次，每次取一个个，取后不放回，已知第一次取，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。到红球，求第二次也取到红球的概率。 解：解：设设

24、AA第一次取到红球第一次取到红球, , B B第二次取到红球第二次取到红球P(B|A)=14S=AAB显然，若事件显然，若事件A、B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S中的中的两个事件，其中两个事件，其中A含有含有nA个样本点个样本点, AB含有含有nAB个个样本点，则样本点，则称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率(p14)一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件， P(A) 0，则则P(B|A)=P(AB)P(A)(5.1)P(B|A)=nn=nnn=P(AB)P(A)n“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？条件概率的性

25、质条件概率的性质:(P(A) 0)(1) P(B|A) 0(2) P(S|A)=1(3) 对一列两两互不相容的事件，对一列两两互不相容的事件， A1, A2 , , 有有P( A1 A2 |A) P(A1|A) P(A2|A)+ 例例2 2 设设A,B,CA,B,C是样本空间是样本空间S S中的三个事件中的三个事件, ,且且P(C)0,P(C)0,试用概率的运算性质证明试用概率的运算性质证明: :P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)()()(| )( )( )(:)()()()()()( )( )( )( )( |

26、 )(#| )(| )P A BCP ACBCP A B CP CP CP ACP BCP ABCP ACP BCP ABCP CP CP CP CP A CP B CP AB C证例例3 3 （P15P15）已知一个家庭有三个小孩，且其）已知一个家庭有三个小孩，且其中至少有一个是女孩，求至少有一个男孩的概中至少有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。率。解解：设：设A A三个小孩至少有一个女孩。三个小孩至少有一个女孩。 B B三个小孩至少有一个男孩。三个小孩至少有一个男孩。P(A)P(AB)P(B|A)=P(AB)P(A)=6/7二、乘法公式二、乘法公式(P15)设设A、B为两事件，为两事件，

27、P(A)0,则则 P(AB)P(A)P(B|A). (5.2)式式(5.2)就称为事件就称为事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。 式式(5.2)还可推广到三个事件的情形：还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1). (5.4) 例例4 4 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取一只个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球相

28、同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，次取球时取到白球，i=1,2,3,4,i=1,2,3,4,则则253637481234()P A A A A312(|)P AA A4123(|)P AA A A312(|)P AA A4123(|)P AA A A1()P A21|()AP A1()P A 21|()AP A1234()P A A A A312(|)P AA A4123(|)370P AA A A1()P A21|()AP A解

29、解：令令 Ai = “第第 i 次抽到合格品次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 则所求的事件为：则所求的事件为：321AAA123121312()() (|) (|)P A A AP A P AA P AA A1099010099980083. 0例例5 5一批零件共一批零件共100100件，其中有件，其中有1010件次品，依次做件次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？三、独立性三、独立性(P16)一枚硬币连抛两次，一枚硬币连抛两次， A1表示第一次出现正面，表示第一次出现正面， A2第二次出现正面。第二次出现正面。求求2

30、21121()(|)()(|)P AP AAP AP AA1221211(|)()2()1/4()2/4A AP AAP App A12212112(|)()()1/ 42/ 4()A AP AAP App A结论：结论：A1发生与否对发生与否对A2不产生影响。不产生影响。21()()1122P AP A解：解：设设A、B是两事件，若是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立, 简称独立简称独立(p16)。1 1、两个事件的独立性、两个事件的独立性两事件两事件A,B相互独立的性质相互独立的性质（1 1）两事件相互独立具有对称性。）两事件相互独立具有对称性。

31、（2 2）若若P(A) P(A) 0 0，P(B|A)P(B|A)P(B)P(B) 若若P(P(B) ) 0 0，P(A|B)P(A|B)P(A)P(A)（3 3）若若P(A) P(A) 0 0，P(P(B) ) 0 0， “ “A A，B B两事件独立两事件独立”与与“A A，B B两事件互斥两事件互斥” 不能同时成立（自己正明）不能同时成立（自己正明） 定理：以下四种情形等价：定理：以下四种情形等价：(1)事件事件A、B相互独立；相互独立；(2)事件事件A、B相互独立；相互独立；(3)事件事件A、B相互独立；相互独立；(4)事件事件A、B相互独立。相互独立。证明证明: :(1)(1)(2)

32、 (2) 因为因为事件事件A、B相互独立相互独立,故故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故故A与与B相互独立相互独立. 若三个事件若三个事件A、B、C满足：满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), (2)P(AC)=P(A)P(C), (3)P(BC)=P(B)P(C),(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称则称事件事件A、B、C相互独立。相互独立。注：注：(1)(2)(3)说明说明A,B,C两两独立，由两两独立，由(1)(2)(3)(1)(2)(3)不能推出不能推出(4)2 2、多

33、个事件的独立、多个事件的独立一般地，设一般地，设A1，A2，An是是n个事件，如个事件，如果对任意果对任意k (1 k n), 任意的任意的1 i1 i2 ik n，具有等式，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立。相互独立。 (p17)例例1：电路由元件：电路由元件A与两个并联的元件与两个并联的元件B,C串联而成，串联而成，若若A,B,C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为依次为.，.，.，则电路断路的概率是多，则电路断路的概率是多少？少？解：设解：设A

34、,B,C分别表元件分别表元件A,B,C损坏。因损坏。因A,B,C独立，独立，()( )()()P ABCP AP BCP ABC( )( )( )( )( )( )P AP BP CP AP BP C0.30.20.10.30.20.10.314则则思考：思考：某型号火炮命中率为某型号火炮命中率为0.8，现有，现有一敌机入侵，欲以一敌机入侵，欲以99.9%的概率的概率击中它，则需要配备此型号的击中它，则需要配备此型号的火炮多少门？火炮多少门？6 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式(P18)袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一

35、球十人依次从袋中各取一球( (不放回不放回) )，问，问第二个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？A1A2AnB 定义定义 (p19)事件组事件组A1，A2，An (n可为可为 )，称为，称为样本空间样本空间S的一个划分的一个划分，若满足：，若满足：.,.,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii 例：例：S=紫金学院全体本科生紫金学院全体本科生 Ai=“紫金学院紫金学院本科本科i i年级学生年级学生” i i=1,2,3,4 B=“紫金学院紫金学院本科生中男学生本科生中男学生” C= “紫金学院紫金学院本科生中女学生本科生中女学生”.组成样本空间一个划

36、分AA与S,A:例 概率论意义概率论意义：若：若A1，A2，An是是S的一个划分，的一个划分，则，则， A1，A2，An任意两个不可能同时发生但任意两个不可能同时发生但必有一个发生。必有一个发生。定理定理1 (p19) 设设A1，, An是是S的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B有有 niiiABPAPBP1)|()()(上式称为上式称为全概率公式全概率公式。例例1 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中

37、国队已经战胜古巴队，现根据以往对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为别为0.9与与0.4，而日本队战胜美国队的概率为，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试，试问中国队取得冠军的可能性有多大？问中国队取得冠军的可能性有多大？解：设解：设A A1 1日本队胜美国队；日本队胜美国队； A A2 2美国队胜日本队；美国队胜日本队； B中国队取得冠军；中国队取得冠军；1122( )() ( |)() ( |)P BP A P B AP A P B A0.5 0.90.5 0.40.65若已知中国队获得了冠军

38、，问中国队是与美国队若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决赛而获胜的概率是多少？决赛而获胜的概率是多少？308. 065. 04 . 05 . 065. 0)|()()()()|(2222ABPAPBPBAPBAP解解: :定理定理2 2 设设A A1 1，, A, An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i)0)0，(i (i1 1，n)n)，则对任何事件，则对任何事件B, P(B)0,B, P(B)0,有有 ),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上式称为上式称为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例2：某工厂的产品以某工厂的产品以100件为一批，假定每一批产件为一批，假定每一批产品品中的次品最多不超过中的次品最多不超过4件，并具有如下概率：件，并具有如下概率：一批产品中次品数一批产品中次品数概率概率041230.10.20.40.20.1现从每批中抽取现从每批中抽取10件检验，发现