R第5章角动量(最后一次课)

1、1刚体角动量定理刚体角动量定理: :ddLMtdL同方向。同方向。M与与对对O点刚体受重力矩点刚体受重力矩cMrmgcr陀螺质心的位置矢量，与自转轴同向，与陀螺质心的位置矢量，与自转轴同向，与L平行，平行，t时间内，时间内，L的变化的变化LMtzrcsinMgm rcLzL sinM L角动量角动量L把自转轴绕一竖直轴的这种转动，称为把自转轴绕一竖直轴的这种转动，称为旋进旋进或或进动进动。,LcMrOOO重力矩不改变角动量的大小，重力矩不改变角动量的大小，只改变角动量的方向。只改变角动量的方向。LL5.6 刚体的刚体的进动进动顶端做一水平圆周运动，顶端做一水平圆周运动，ML2RF例例1. .均

2、匀圆柱体，在水平恒力均匀圆柱体，在水平恒力 作用下做纯滚动，下列说作用下做纯滚动，下列说法正确的是法正确的是( (A) )摩擦力一定不为零，摩擦力一定不为零，解：设静摩擦力的方向如图示解：设静摩擦力的方向如图示cFfma( (B) )摩擦力一定与摩擦力一定与 同向，同向，( (C) )摩擦力一定与摩擦力一定与 反向，反向， ( (D) )摩擦力的方向无法确定，摩擦力的方向无法确定，( (E) )摩擦力的大小一定等于摩擦力的大小一定等于 。xFFFFfcFxfRJ212camRR2cRma(2 )3F RxfR2Rx 0f 静摩擦力的方向向后（与设定的方向一致）静摩擦力的方向向后（与设定的方向一

3、致）2Rx 0f 静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）2Rx 0f 3例例2. .匀质圆柱体匀质圆柱体m半径半径r，从质心距地面高为，从质心距地面高为h的滑道上静止的滑道上静止纯滚动纯滚动而下，进入半径而下，进入半径R的圆形滑道，的圆形滑道，问：此圆柱体能在圆形滑道内完成圆周运动，问：此圆柱体能在圆形滑道内完成圆周运动，h至少多大？至少多大？解：解：2211(2)22cmghmvJmgRrcvr圆柱体在圆柱体在p点的质心运动方程点的质心运动方程Rh2rcvR rpcO圆柱体只作滚动，故摩擦力不圆柱体只作滚动，故摩擦力不作功作功。则圆柱体，弯形、圆形。则圆

4、柱体，弯形、圆形滑道及地球系统机械能守恒。滑道及地球系统机械能守恒。纯滚动纯滚动24(2)3cvg hRr2cnvFmgmRr圆柱体能完成圆周运动的条件是圆柱体能完成圆周运动的条件是0nF 2()cvg Rr11744hRr4LB例例3. .光滑水平面上质量光滑水平面上质量M的木块的木块静止于静止于A点点，木块一端与原长，木块一端与原长 L0，劲度系数，劲度系数k 的轻弹簧相连，另一端固定于的轻弹簧相连，另一端固定于O点。点。 M0LAO求：木块在求：木块在B点速度点速度 vB 的大小和方向。的大小和方向。质量质量m的子弹以初速的子弹以初速v0 水平射向水平射向M并嵌在其中。当木块运动到并嵌在

5、其中。当木块运动到 B点点(OB OA)时，弹簧的长度为时，弹簧的长度为 L L。 解解: :( (1) )m 和和M相撞，动量守恒相撞，动量守恒0()AmvmM v( (2) ) AB弹力作功，机械能守恒弹力作功，机械能守恒2220111()()()222ABmM vmM vk LL( (3) ) AB，弹力对，弹力对O点的力矩为零，对点的力矩为零，对O点角动量守恒点角动量守恒0()()(sin )ABmM v LmMvLm0vBv5解得解得1/2222002()()Bk LLmvvmMmM2/120202200)()(arcsinMmLLkvMmmLvmL6例例4.4.已知：静止匀质杆已知

6、：静止匀质杆M，l，水平光滑轴竖直悬挂，水平光滑轴竖直悬挂，子弹子弹m，以水平，以水平速度速度 射入杆的下端，射入杆的下端，求：杆和子弹开始运动瞬时杆的质心速度。求：杆和子弹开始运动瞬时杆的质心速度。0v解：解：)31()(220MlmlJJlmvMm01()3mvMm l0322(3)cmvlvMm若子弹击在距若子弹击在距O点点 处，质心速度？处，质心速度？31)32(32220MllmlmvlmMmv)43(60动量守恒动量守恒0423cmvlvMm利用动量守恒利用动量守恒0cmvMvmv子弹击在杆的不同位置，子弹击在杆的不同位置，O点的受力情况不同。点的受力情况不同。2clv0vOmMl

7、角动量守恒角动量守恒动量是否守恒？动量是否守恒？23l23vl0423cmvlvMm7OlM例例5. .小球小球m，v0在水平冰面上滑动，撞在细木棒在水平冰面上滑动，撞在细木棒M，l的一端，的一端，并粘附在木棒上。试求：并粘附在木棒上。试求：解：解：（1）系统质心位置）系统质心位置 c22()clMMllMmMm动量守恒，质心平动速度动量守恒，质心平动速度 vc0()cmvMm vclmv00()cmvvMmccv（1）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系统运动情况。）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系统运动情况。（2）刚发生碰撞之后，木棒上有一点）刚发生碰撞之后，木棒上有一点 p 是瞬

8、时静止的，问是瞬时静止的，问该点在何处？该点在何处？棒和球系统：棒和球系统：碰后系统质心匀速直线运动，碰后系统质心匀速直线运动，同时系统绕质心匀速转动。同时系统绕质心匀速转动。由角动量守恒，系统绕质心转动的角速度由角动量守恒，系统绕质心转动的角速度22201() 122ccclmv lmlMlMl06(4)mvmM l8（2）瞬时静止点）瞬时静止点 p 应应在质心的左侧，在质心的左侧，p点绕质心转动瞬时点绕质心转动瞬时向下线速度应等于质心平动速度向下线速度应等于质心平动速度 vccpcv(4)6 ()cvlmMpcmMOlMclccvp92R2M1R1M0 解：解：能否用角动量守恒？能否用角动

9、量守恒？角动量定理角动量定理01111 JJtfR 222 JtfR 2211RR 211121RMJ 222221RMJ解得解得02111 MMM0212112)( MMRMR?t 221101 JJJ合外力矩不为合外力矩不为0 0角动量不守恒！角动量不守恒！6.已知已知：两两匀质圆盘匀质圆盘M1 ，R1， 0，两轮无相对滑动时两轮无相对滑动时求求：两轮无相对滑动时两轮无相对滑动时12vv1?2?M2 ，R2静止静止。?1 ?2 f- -f系统外力系统外力系统外力系统外力必须知道摩擦系数必须知道摩擦系数10力学总结力学总结力学研究：力学研究：三个守恒定律：三个守恒定律：运动学（质点、质点系）

10、运动学（质点、质点系）刚体定轴转动（一维）刚体定轴转动（一维）（特殊质点系）（特殊质点系）状态及其变化状态及其变化rddrvt21rrr 22ddddvrattddtd22ddddtt匀变速直线运动（一维）匀变速直线运动（一维）a 常量0tvvat2012Srv tat 2202tvvaS匀变速定轴转动（一维）匀变速定轴转动（一维）常量0tt2012tt2202t * *线角关系线角关系ddSrvrtar2nar瞬时性，力在时间积累，力在空间积累。瞬时性，力在时间积累，力在空间积累。动量守恒，角动量守恒，能量守恒。动量守恒，角动量守恒，能量守恒。11动力学（质点、质点系）动力学（质点、质点系）

11、刚体刚体定轴转动定轴转动（一维）（一维）（特殊质点系）（特殊质点系）* *运动定律（瞬时关系式）运动定律（瞬时关系式）* * *转动定律（定轴）转动定律（定轴）力在时间的积累力在时间的积累质量质量m转动惯量转动惯量2dJrm动量动量pmv角动量角动量LJ力力ddpFtd()dmvt力矩力矩ddLtMrFFma合外cFma合外（质点质量不变）（质点质量不变）（质点系平动，质心运动定理）（质点系平动，质心运动定理）MJ动量定理动量定理21dFtpmvmv 合外21dFtppp 合外（质点）（质点）（质点系）（质点系）角动量定理角动量定理21dMtLJJ 合外* *动量守恒动量守恒0F合外iiimv 恒矢力矩在时间的积累力矩在时间的积累空间平移不变性空间平移不变性内力内力 外力外力* * *角动量守恒角动量守恒0M合外空间旋转不变性空间旋转不变性内力矩内力矩 外力矩外力矩iiiJ恒矢12动力学（质点、质点系）动力学（质点、质点系）刚体刚体定轴转动定轴转动（一维）（一维）（特殊质点系）（特殊质点系）共同点共同点（做功与路径无关）（做功与路径无关）质点系功能定理质点系功能定理势能势能保守力作功保守力作功当只有保守力作功当只有保守力作功* *机械能守恒机械能守恒时间平移不变性时间平移不变性孤立体系能量守恒孤立体系能量守恒力在空间的积累力在空间的积累动能定理动能定理dWFr合外合外功功