偏微分方程习题精练PPT教案

1、偏微分方程习题精练偏微分方程习题精练 化简过程化简过程 写出特征方程写出特征方程 0)(2)(22212211dxadydxadya （*） 或 .11221121212aaaaadxdy )*(* 求出一般积分（特征线）求出一般积分（特征线） A.A.双曲型（两族相异的实特征线）双曲型（两族相异的实特征线） .),(,),(21cyxcyx B. B.椭圆型（两族相互共轭的复特征线）椭圆型（两族相互共轭的复特征线） .),(),(cyxiyx C. C.抛物型（唯一的一族实特征线）抛物型（唯一的一族实特征线） .),(cyx 第1页/共17页又若令又若令,2,2 则则(*)(*),(1uuu

2、uu. . 1(*) B.B.椭圆型：椭圆型：令令),(),( yxyx则则(*)(*),(uuuuu. .2(*) C.C.抛物型：抛物型：令令),(),( yxyx（是任一与是任一与无关的函数） ，无关的函数） ， 则则 (*)(*),(uuuu. . 3(*) 例例 1 1 判断方程判断方程 0)sin3(cos2222222yuyyuxyxuxxu 的类型，并将其化成标准形式的类型，并将其化成标准形式. . 第2页/共17页 解解 ),sin3( , cos , 1 2221211xaxaa 04)sin3(1)cos( 222211212xxaaa， 故所给方程在整个故所给方程在整个

3、xoy平面属于双曲型平面属于双曲型. .其特征方程为其特征方程为 0)(sin3(cos2)(1222dxxxdydxdy， 即即 14cosxdxdy. . 积分之，得积分之，得 cxxy2sin. . 令令,2sin,2sinxxyxxy 则则 , 11 , )2(cos)2(cosuuuxuxuuyx 第3页/共17页)(sin )2(cos)4(cos2)2(cos )sin( )2(cos)2(cos)2(cos )sin()2(cos)2(cos)2(cos222uuxxuxuxuxuxxuxuxuxxuxuuxx uuuuyy2， )sin()2(cos)sin()2(cos x

4、uxuuxuxuuuxy 将这些偏导数代入原方程，得将这些偏导数代入原方程，得 0)(2sinsin16uuxxyu， 即即 0)(2sin216uuu， 就是就是 )(2sin2161uuu. . 第4页/共17页例例 2 2 判断方程判断方程 )0( 02xuxuyyxx 的类型，并将其化成标准形式的类型，并将其化成标准形式. . 解解 ),0( 010 222211212xxxaaa 除坐标轴除坐标轴)(0轴yx 外，所给方程处处是椭圆型的外，所给方程处处是椭圆型的. . 其特征方程为其特征方程为 ixdxdy ，一般积分（特征线）为，一般积分（特征线）为 cixy22. . 作可逆的自

5、变量代换作可逆的自变量代换，虚部实部)()(22xy则由于则由于 ,4 ,2 ,24 ,22uuuuuuxuxuuyyyxxx 将这些偏导数代入原方程，得将这些偏导数代入原方程，得 , 042422uxuux 即即 .21uuu 第5页/共17页例例 3 3 判断方程判断方程 024422xyyxyxxxuuyxyuux 的类型，并将其化成标准形式的类型，并将其化成标准形式. . 解解 , 04)2( 2222211212yxxyaaa 所给方程在其定义域内处处为抛物型所给方程在其定义域内处处为抛物型. . 特征方程为特征方程为 , 0)(44)(2222dxyxydydxdyx 即即 , 0

6、)2(2ydxxdy 积分之，得积分之，得 .2cyx 第6页/共17页. 022uu),0 (,2yxyyx对于令令 则则 , 1 ,22uxuuxyuuyx , 22) 1( , 2)2(22uxxyuxuuyuxyuuxyxx ).1() 1(222uxuuxuxuyy 将这些偏导数代入原方程，可将原方程化为将这些偏导数代入原方程，可将原方程化为 第7页/共17页. 0222uuu又若令又若令),0 (,2xxyx对于则则 , , 122xuuuxyuuyx ),12(22) 12(uxyuuyxyuxyuuxx ,2222xuuxxyxuuxy .)(22xxuuyy 将这些偏导数代入

7、原方程，可将原方程化为将这些偏导数代入原方程，可将原方程化为 第8页/共17页（2 2）多自变量二阶常系数线性偏微分方程化标准形）多自变量二阶常系数线性偏微分方程化标准形 方程的化简是尽可能的把二阶偏导数项简化，因此，以下仅就方程的化简是尽可能的把二阶偏导数项简化，因此，以下仅就 二阶偏导数项进行化简二阶偏导数项进行化简. . 多自变量二阶常系数线性偏微分（方程）算子多自变量二阶常系数线性偏微分（方程）算子 njijiijxxuauL1,2)( 可以写成向量形式可以写成向量形式 uAuLT )(，其中，其中 nnijaA)( 是一是一 n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，T是一行向量算子：是一行向量

8、算子：),(21nTxxx， 而而是是T的转置的转置. . 第9页/共17页设设MXX 是一从是一从),(21nxxx到到),(21nxxx的实的非的实的非奇异（可逆的或满秩的）线奇异（可逆的或满秩的）线性变换，则性变换，则 TM. .（想想为什么？）（想想为什么？） 此处此处是行向量算子是行向量算子),()(21nTxxx的转置，而的转置，而TM是是n阶实矩阵阶实矩阵M的转置的转置. . 于是，我们于是，我们有有 uMAMuLTT )()(，其中其中 TMAMB . . 由 于由 于A是 一 实 对 称 矩 阵 ， 因 而 存 在 正 交 矩 阵是 一 实 对 称 矩 阵 ， 因 而 存 在

9、 正 交 矩 阵M使 得使 得TMAMB 成为对角形矩阵， 其对角线上的元素正是成为对角形矩阵， 其对角线上的元素正是A的非零特征的非零特征根根r,21（此处（此处r是矩阵是矩阵A的秩）和的秩）和rn 个个 0 0 元素（如果元素（如果nr ） ，并且所有的特征值都是实的） ，并且所有的特征值都是实的. .因此，我们得到因此，我们得到 第10页/共17页r r1 1i i2 2i i2 2i ix xu uL(u)L(u). . 如果如果再令再令 iiix，则我们得到则我们得到 riiiuuL122)(，其中的其中的1为i. . 例例 4 4 xyzxyzzzyyxxuuuuuuuL21628

10、843)( u)21628843(211332232221. . 其中其中321,是列向量算子是列向量算子的三个分量，亦即的三个分量，亦即 zyx321， 841481431811A. . 第11页/共17页TNzyx321100310811现在现在 21133223222121628843 233222232120122)8( 2323223212)(2)8( 若令若令 ,3,8333223211yyxoror 23222122. . 如果线性变换为如果线性变换为 TNXNX则,，从而，从而 100310811TN. . 第12页/共17页于是于是 . 135011001,35,or ,38

11、,1XXNXzyxzyxyxxzyxzyxyxx 从而从而 , 1350110011NM . 221TMAM 在此代换下，我们得在此代换下，我们得 .22)(222222zuyuxuuL 若再令若再令 ,2 ,2 ,zyx则又有则又有 . )(uuuuL 可见这是一个椭圆型方程可见这是一个椭圆型方程. . 第13页/共17页2.2.线性定解问题的叠加原理与线性定解问题的叠加原理与DuhamelDuhamel原理原理 例例 5 5 “拆定解问题” ：矩形板的稳恒热传导“拆定解问题” ：矩形板的稳恒热传导 解解 所给边值问题的解所给边值问题的解 IIIuuu，其中，其中 IIIuu , 分别满足分别满足 . 0, 0),(),()0 ,(0 , 0:).(),(, 0, 0)0 ,(0 , 0:2121CDABBCADyyxxIICDABBCADyyxxIuuyguygubyaxuuuxfuxfuuubyaxuuu 第14页/共17页IIIuu , 附注附注 有些同学可能会分解成四个边有些同学可能会分解成四个边值问题， 即每一个只要一个非齐次边值，值问题，