刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件5a

1、5 平稳过程通过线性系统的分析 线性时不变系统系统：)()(txLty线性系统：)()()()()()(221122112211tyatyatxLatxLatxatxaL时不变系统：)()(txLty频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，输出对于线性时不变系统，输出 y (t) 等于输入等于输入 x (t)与单位与单位脉冲响应脉冲响应 h (t) 的卷积，的卷积，)()()(thtxty)()()(HXY因果系统：0 , 0)(tth当稳定系统：tthd)(随机过程通过线性系统的输出设线性系统的设线性系统的单位脉冲响应单位脉冲响应为为 h (t) ，当，当输入一个随机输入一个随机过程过程 X

2、(t) 时，其输出随机过程时，其输出随机过程 Y (t) 为为d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY线性系统输出的均值设线性系统的设线性系统的输入随机过程输入随机过程 X (t) 的均值为的均值为 mX(t) ，则其，则其输出过程输出过程 Y (t) 的均值为的均值为)()(d)()(d)()(d)()()()(thtmhtmhtXEhtXEtYEtmXXY当输入过程当输入过程 X (t) 为均值平稳时，为均值平稳时，常数d)(hmmXY线性系统输出的相关函数设线性系统的设线性系统的输入随机过程输入随机过程 X (t) 的相关函数为的相关函数为 RX(t1,t2) ，则其输

3、出过程则其输出过程 Y (t) 的相关函数为的相关函数为)( , )()()(dd )()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY vuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXYdd )()(),(dd )()( )()(d)()(d)()( )()(),(2121212121 当输入过程当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，为自相关平稳时，输出与输入的互相关函数 )()()(hRRXXY同理，同理，uuhtutRuuhtXutXEutXuhutXEtXtYEttRXYXd)(),(d)( )()(d )()()( )()(),(21

4、21212121当输入过程当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，为自相关平稳时，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX输出相关函数)()()(hRRXYX)()( )()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY )()()(hRRXXY)(XR)(h )(h)(YXR)(YR输出过程的平稳特性n当线性系统当线性系统输入一平稳过程输入一平稳过程 X (t) 时，其输出过程时，其输出过程 Y (t) 的均值的均值 mY(t) 为常数，相关函数为常数，相关函数 RY(t1, t2) = RY( ) 只与只与时间差时间差 有关，故输出过程有关，故输出过程 Y (t) 也是平稳的。也是平

5、稳的。n由于互相关函数由于互相关函数 RYX( ) 和和 RXY( ) 也都只与时间差也都只与时间差 有有关，故输出过程关，故输出过程 Y (t) 与输入过程与输入过程 X (t) 之间还是联合之间还是联合平稳的。平稳的。例1 （h(t) 的估计的估计）n设线性系统输入一个白噪声过程设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其相关函数，其相关函数为为 RX ( ) = N0 ( ) ，则，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。)()(1)(0tXtYNh假定假定过

6、程过程 X (t) 和和 Y (t) 是各态历经的，是各态历经的，线性系统的谱密度设设线性系统的频率响应函数为线性系统的频率响应函数为H( )，当输入平稳过程，当输入平稳过程 X(t) 具有谱密度具有谱密度 sX( ) 时，则输出平稳过程时，则输出平稳过程 Y(t) 的谱密度为的谱密度为)()()(2XYsHs)()()()()()( )()()()( 2XXYXYsHHHsshhRR故因为例2 如图如图RC电路，若输入白噪声电压电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关，其相关函数为函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压，求输出电压 Y (t) 的相的相关函数和平均功率。关函

7、数和平均功率。解X (t)Y (t)RCRCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRsXX02222)()()(NsHsXY0( )IFT( )2YYNRse 2)0(02NRYY例3 如图有两个如图有两个LTI系统系统H1( )和和H2( )，若输入同一个若输入同一个均值为零的平稳过程均值为零的平稳过程 X(t) ，它们的输出分别为，它们的输出分别为 Y1(t) 和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相关？互不相关？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相关互不相关 协方差为零协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHssXYY, 0)( 21时当YYs0)(21YYR0)(21YYC当两个当两个LTI系统的系统的幅频特性幅频特性互不重叠时互不重叠时，则，则它们的输出它们的输出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相关。互不相关。例4 （成形滤波器成形滤波器）求一个可实现的稳定系统）求一个可实现的稳定系统H( )，使，使得当得当输入