大学物理电磁学总结

1、点点电荷电荷rerdqkEd2特别注意特别注意： 、 、 的的起起点均在点均在场场点点rerqkE22rqkE 大小：大小：电电学学磁磁学学一、电一、电场强度场强度 计算计算E一、磁一、磁感强度感强度 计算计算Bq24relIdBdr电荷电荷元元dq2rdqkdE 大小：大小：方向：方向：rE/rEd/电电流元流元lId大小：大小：2sin4rIdldB方向：方向：rBd/lIdBdrlIdBd/EEdBd特别注意特别注意： 写写出每一场强出每一场强大小大小 判断每一场强判断每一场强方向方向 在场点将所有在场点将所有场强画出场强画出 建建立立直角坐标直角坐标 对场强求和对场强求和riiinie

2、rqkE21电电学学解题类型：解题类型： 点点电荷电荷系系lIdBd特别注意特别注意： 、 的的起起点均在点均在场场点点电电学学磁磁学学电荷电荷元元dq2rdqkdE 大小：大小：电电流元流元lId2sin4rIdldB方向：方向：rE/rEd/方向：方向：rBdlIdBdrlIdBd/EdBd解题类型：解题类型： 直线、圆环轴线上、圆弧直线、圆环轴线上、圆弧解题方法：取元、写大小解题方法：取元、写大小 或或 、画方向画方向、建、建 坐标、坐标、分解分解 或或 、正确积分、正确积分dEdBEdBd总总 复复 习习 习习 题题 课课例1（50905090）一半径为）一半径为 的细圆弧，对圆心的张

3、角为的细圆弧，对圆心的张角为 ， 其上均匀分布有正电荷其上均匀分布有正电荷 ，如图所示。，如图所示。 试以试以 、 、 表示出圆心处的电场强度表示出圆心处的电场强度 如果是电流强度为如果是电流强度为I I的载流细圆弧，圆心处的载流细圆弧，圆心处 的磁感应强度的磁感应强度 等于多少？等于多少？a0qa0q0E0BaqaI00方向方向的分析是关键的分析是关键rdqdl241rdqdErEd/EdrIdl2sin4rIdldBrBd）（rlIdBd/lIdBdBd由于由于方向方向与与电荷元位置电荷元位置有有关关，因此需建立坐标，因此需建立坐标，分分解解 后，再积分后，再积分Ed由于由于方向方向与与电

4、流元位置电流元位置无无关关，因此可直接积分，因此可直接积分2sin4rIdlB220aI2sin200200aqE 电电学学磁磁学学必须记住的结论：必须记住的结论： 有限有限长长直直线（线（场场点与直线点与直线垂直垂直距离距离 ）a)cos(cos421aIB电流电流起起点点方方向向与与起起点点矢矢径径的夹角的夹角电流电流终终点点方方向向与与终终点点矢矢径径的夹角的夹角 中垂面上中垂面上22)2(4LaLaE22)2(4LaLaIB无限长无限长aE2aIB2 半半无限长无限长aIB4aEEyx4 延长线上延长线上0E0B方向：方向： ，与电流方向，与电流方向成右手螺旋。成右手螺旋。aB 中垂面

5、上中垂面上 （与（与 直线垂直）直线垂直）半半无限长无限长 与直线成与直线成 角角045延长线上延长线上直线/E 无限长无限长aE /电电学学磁磁学学 圆环圆环轴轴线上（线上（场场点到点到圆心圆心距离距离 ）x2/322)(21RxxRE2/3222)(2RxRIB圆心圆心0oERIBo2顶角顶角 圆圆弧弧22RIB顶角处方向：沿方向：沿轴向轴向方向：沿方向：沿轴向轴向， 与电流与电流 成成右右手螺旋手螺旋B电电学学磁磁学学解题类型：解题类型： 分段分段直直线、线、分段分段直线直线+ +圆弧圆弧的的线线状体状体解题方法：写大小解题方法：写大小 画方向画方向 建坐标建坐标 分解分解 正确求和正确

6、求和 nEE .1nEE.1解题方法：写大小解题方法：写大小 画方向画方向 建坐标建坐标 分解分解 正确求和正确求和 nBB .1nBB.1解题方法解题方法：取：取宽宽 的的无限长无限长直线、写大小直线、写大小 或或 、画方向、建坐标、分解、画方向、建坐标、分解 或或 、正确积分、正确积分dEdBEdBddladldE2方向：方向：aEd/ajdldB2方向：方向： 与电流成右手与电流成右手螺旋螺旋 aBd场场点到点到所取直线所取直线的的垂垂直距离，此时是直距离，此时是变变量。量。 电电学学磁磁学学解题类型：解题类型： 无限无限长的长的半半圆筒；圆筒；无限无限长平板长平板 （注意此时的作图技巧

7、）（注意此时的作图技巧）Bd例2 （1013）一无限长均匀带电的一无限长均匀带电的半半圆柱面。半径为圆柱面。半径为R R， 设设半半圆柱面上沿轴线单位长度上的电量为圆柱面上沿轴线单位长度上的电量为 ，试求，试求 轴线轴线上上一点的电场强度一点的电场强度 。 如果是电流强度为如果是电流强度为 的载流的载流半半圆柱面，圆柱面，轴线轴线上上一点一点 的磁感应强度的磁感应强度 等于多少？等于多少？ 如果是如果是圆柱面圆柱面，情况会怎样？，情况会怎样？EBIoo取取宽宽为为 的的无限长无限长直线直线dldlRdlRIIdlaIdB2aaBd与电流成右手螺旋与电流成右手螺旋Bd由于由于方向方向均均与无限长

8、直线位置与无限长直线位置有有关关，因此需建立坐标，因此需建立坐标，分解分解 、 后，再积分后，再积分EdBddladE2aaEd/EdRE02RIB2 如果是如果是圆柱面圆柱面，情况会怎样？，情况会怎样？带电带电圆柱面圆柱面载流载流圆柱面圆柱面SiqSdDSDlrSdD2EEDr0LiIrdHSHrrdH2HHBr0类似情况：类似情况： 宽度宽度 的无限长带电、载流平板的无限长带电、载流平板d电电学学磁磁学学解题类型：解题类型： 带电带电的有宽度圆环、圆盘、有圆的有宽度圆环、圆盘、有圆 孔的无限大平板孔的无限大平板轴线轴线上的场上的场解题方法：取半径解题方法：取半径 宽宽 的窄圆环、写大小的窄

9、圆环、写大小 或或 、沿、沿半径半径积分积分drrdEdB带电体带电体静止静止带电体带电体绕绕轴轴转动转动322)(42rxrdrxdEdEE22drrdI 3222)(2rxdIrdB周期总电量I22RdBB 无限大平板无限大平板2EjB2方向：方向：nqdxdx :dx所取薄层的厚度沿宽度（垂直电流沿宽度（垂直电流方向）单位宽度的方向）单位宽度的电流强度电流强度: j面电流密度面电流密度解题类型：解题类型：1 1、求有厚度的无限大平板的、求有厚度的无限大平板的电场强度电场强度 2dxdE 特别注意上、下限特别注意上、下限 见作业题见作业题 P P42421.201.20 nE/nBjB方向

10、：方向：与电流成右手螺旋与电流成右手螺旋 求无限大求无限大导体导体平板的各种问题平板的各种问题 见书中例题见书中例题 P P9898例例4.1 4.1 及上课例题及上课例题 高斯定理高斯定理安培环路定理安培环路定理dVqSdDSiLiIrdH面面内电荷，内电荷，面面上场；上场；通量与电荷分布无关，通量与电荷分布无关，但场有关。但场有关。线线内电流、内电流、线线上场；上场；环流与电流分布无关，环流与电流分布无关，但场有关。但场有关。EEDr0HHBr0电电学学磁磁学学高斯定理高斯定理0SSdB环路定理环路定理LrdE0静1 1、无限无限长长柱柱状体（圆柱、状体（圆柱、 圆筒、圆柱外套圆筒）圆筒、

11、圆柱外套圆筒） 高斯面高斯面：与柱同轴半径：与柱同轴半径 高高 、上、下有、上、下有 底的底的圆筒面圆筒面。 rh安培环路安培环路：与柱轴垂直、：与柱轴垂直、 半径半径 的的 圆周圆周。 r2 2、球球状体（球体、球壳、状体（球体、球壳、 球体外套球壳）球体外套球壳） 2 2、螺绕环、螺绕环高斯面高斯面：与球同心、半径：与球同心、半径 的球面。的球面。 r安培环路安培环路：与：与环轴环轴垂直、半垂直、半 径径 的圆周。的圆周。 r高斯高斯定理求定理求 安培安培环路定理求环路定理求 DH1 1、无限无限长长柱柱状体（圆柱、状体（圆柱、 圆筒、圆柱外套圆筒）圆筒、圆柱外套圆筒） rhDSdDS2L

12、rHrdH224rDSdDSLrHrdH23 3、无限大带电平板、无限大带电平板3 3、无限大载流平板、无限大载流平板高斯高斯定理求定理求 安培安培环路定理求环路定理求 DH4 4、无限长密绕螺线管、无限长密绕螺线管0外BnIB内 沿沿管长方管长方向向单位单位长度电长度电 流强度流强度:nILqnI2第三种求第三种求电场强度电场强度方法方法xExyEyzEz电电学学磁磁学学电偶电偶极矩极矩l qp磁磁矩矩SNIm通量通量：通过任一曲面的：通过任一曲面的通量等于通量等于通过同一曲面的通过同一曲面的力线根数力线根数闭合面内电荷闭合面内电荷代数和代数和为为零零时时0SSdE0SSdB任何情况任何情况

13、SedSEcosSmdSBcos电电学学磁磁学学例例4 4 (1286) (1286)真空中有一高为真空中有一高为h = 20cmh = 20cm，底面，底面 半径半径R = 10cmR = 10cm的圆锥体。在其顶点与的圆锥体。在其顶点与 底面中心连线的中点上置一底面中心连线的中点上置一q = 10q = 10-6-6C C的的 点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场 强度通量。强度通量。q）（）（侧24244222200hhRRhRqqe通量通量：通过任一曲面的：通过任一曲面的通量等于通量等于通过同一曲面的通过同一曲面的力线根数力线根数闭合面内电荷闭合面内电荷代数

14、和代数和为为零零时时0SSdE0SSdB任何情况任何情况SedSEcosSmdSBcos电电学学磁磁学学电容器电容器自感线圈自感线圈电容电容 QCUQQCUQIL自自感系数感系数dtdIL/与与介质、线圈形状、介质、线圈形状、大小均大小均有有关；关；但但与与电流强度电流强度无无关。关。与与两导体形状、尺寸、相对位两导体形状、尺寸、相对位置及两导体间电介质置及两导体间电介质有关有关。但但与与导体所导体所带电量无关带电量无关，电电学学磁磁学学平行板平行板电容电容 无限长密绕无限长密绕螺线管螺线管球球形电容形电容 柱柱形电容形电容 dSCr0)/ln(2120RRLCr122104RRRRCrnCC

15、CC111121 总nCCCC 21总串串联联 并并联联 SlnL2自感线圈串、并联自感线圈串、并联 互互感系数感系数121212IIMdtdI212dtdI121 互互感感M的计算的计算方法一方法一1B（1 1）设任一回路中电流强度为设任一回路中电流强度为I I1 1（2 2）求出该电流求出该电流I I1 1在另一回路（设为在另一回路（设为2 2）所围面上）所围面上 任一点的任一点的 的大小，判断的大小，判断方向方向，画在图上画在图上（3）求出通过回路求出通过回路2 2所围面积的磁通量，所围面积的磁通量，乘以该回乘以该回 路线圈匝数得全磁通路线圈匝数得全磁通21（4）用互感系数定义式求出用互

16、感系数定义式求出121IM121212IIM电电学学磁磁学学电容电容器储存器储存电电能能自感自感线圈储存线圈储存磁磁能能221LIWmCQWe221221CUQU21电容器上电容器上电量电量不变不变（充电后（充电后切断电源，切断电源，再改变电再改变电容值）时，容值）时，储能与电储能与电容值成容值成反反比比电容器上电容器上电电压压不变不变（充电后（充电后保保持与电源相连，持与电源相连， 再改变再改变电容值）时，电容值）时，储能与电容储能与电容值成值成正正比。比。电电学学磁磁学学BHBwm2122磁场能量磁场能量密度密度电场能量电场能量密度密度221EweDE21磁场磁场总总能量能量dVBWV22

17、电场电场总总能量能量dVEWV22磁场磁场所占空间的体积所占空间的体积（不是载流体不是载流体的体积）的体积）注意：注意：不同区域往往有不同不同区域往往有不同的磁感强度，不同的磁导率的磁感强度，不同的磁导率积分积分要要分段进行分段进行。电场电场所占空间的体积所占空间的体积（不是带电体不是带电体的体积）的体积）注意：注意：不同区域往往有不不同区域往往有不同的电场强度，不同的介同的电场强度，不同的介电常数，电常数，积分积分要要分段进行分段进行电电 势势 计计 算算电荷电荷元元rdqd41一、一、点点电荷电荷rq4二、叠加法二、叠加法)0()0( 点点电荷系电荷系 niiirq4 有限有限大带电体大带

18、电体 电荷分布范围rdq4场源：场源：有有限大限大 零点：零点：无无穷远穷远)0()0(常见常见解题类型：直线、圆环解题类型：直线、圆环轴线上、圆弧等轴线上、圆弧等线线状带电体状带电体圆圆环轴环轴线上：线上：)(4122Rxq)0(圆圆面面 轴轴线上：线上：圆圆环环（无无宽度）宽度）（有有宽度）宽度）)(24122021rxrdrRRR或或)0(例6 (1424) 一底面半径为一底面半径为R R的圆锥体，锥面上均的圆锥体，锥面上均 匀带电，电荷面密度为匀带电，电荷面密度为 ，证明：锥顶，证明：锥顶O O点的点的 电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零 点）

19、，其值为：点），其值为：02RUo解：解： 利用利用带电带电圆环的电势圆环的电势公式及公式及电势电势叠加原理解决此问题叠加原理解决此问题rdrr z 首先在距离首先在距离O O点任意位置点任意位置z z处处 取高为取高为dzdz的小圆环。的小圆环。zdzdzrdScostan2cos2面积面积oz 如圆锥高度为如圆锥高度为h h，O O点的电场强度点的电场强度 如圆锥绕轴线以匀角速度如圆锥绕轴线以匀角速度 转动，转动， O O点的磁点的磁 感应强度感应强度 磁矩磁矩?E?B?m)0(rq4内Rq4外（一一个）球个）球面面（多多个）球个）球面面ni1)0(三、用定义式三、用定义式电势零点PPrd

20、Ecos（常见常见解题类型：解题类型：球球状和状和无限长柱无限长柱状带电体）状带电体） 球球状带电体：如题中无规定，取状带电体：如题中无规定，取0rPEdr注意注意分段分段积分积分 柱柱状带电体：状带电体：一定不能一定不能取无限远电势取无限远电势 = = 0电势零点rPEdr注意注意分段分段积分积分 求求 、 两点电势两点电势差差 abbarrbaEdr（注意（注意分段分段积分）积分）无无需需零零点点（球球、柱柱带电体）带电体）例例6 6 一球面带电一球面带电Q，半径为，半径为R，球心处有一点电，球心处有一点电 荷荷q q，已知球面电势为，已知球面电势为 （相对无穷远点），（相对无穷远点），

21、则壳内任一点则壳内任一点P P的电势的电势 ，对否？，对否？ 试分析。试分析。aUaoPUrqU4错错QqR04aRqRQqQUUURRQrqUUUPQPqP0044aUrq04解一：解一：用叠加法用叠加法0U令 单独存在时单独存在时04PQRQQUURQ 单独存在时单独存在时04RqqURrqUPq04q例例6 6 一球面带电一球面带电Q，半径为，半径为R，球心处有一点电，球心处有一点电 荷荷q q，已知球面电势为，已知球面电势为 （相对无穷远点），（相对无穷远点）， 则壳内任一点则壳内任一点P P的电势的电势 ，对否？，对否？ 试分析。试分析。aUaoPUrqU4QqR错0U令drEURa

22、外解二：解二：drrQqR204RQq04drEdrEURRrP外内drrQqdrrqRRr202044RQrq0044球面球面球面内球面内aUrq04零点零点零点xxyyzzzyxPPPPdzEdyEdxEbababaxxyyzzzyxbadzEdyEdxE电势电势电势电势差差（静）（静）电场力做功电场力做功babaabWWqA)(0（电势能（电势能差差） 外外力（力（克服静电场克服静电场力）作功力）作功= -= -（静静）电场力作功）电场力作功运动运动（受力受力）电荷电量）电荷电量 电电场力场力 点点电荷受力电荷受力AAEqF电流电流受力受力BlIdFdBl dIFLsinIdlBdF 写

23、大小方向画 Fd建坐标zyxdFdFdFFd 成分解对分量积分运动电荷运动电荷受力受力BVqF刚性刚性载流线圈载流线圈在在均匀均匀磁场中磁场中不受力不受力，但，但可能受力矩可能受力矩BmMnISmEqBVqF 磁磁场力场力qBmVRsinqBmT2TVhcos 电电磁磁场力场力电电场能量场能量电容电容器储器储电电能能电感电感器储器储磁磁能能QUCUCQWe21212122221LIWm电电场能量密度场能量密度221Ewe磁场能量密度磁场能量密度221Bwm电场能量电场能量dVEWVe221磁场能量磁场能量dVBWVm221电电通量通量 磁磁通量通量 SedSEcosSmdSBcos闭合面内电荷

24、闭合面内电荷代数和代数和为为零零时时0SSdE任何任何情况情况0SSdB磁磁场能量场能量电容电容QC平行板电容器平行板电容器球状电容器球状电容器柱状电容器柱状电容器自感系数自感系数ILnE0 静电平衡特征静电平衡特征 导体导体内内场强处处为零场强处处为零0内E 导体为等势体，表面为等势面导体为等势体，表面为等势面 导体表面场强导体表面场强 表面表面 导体导体内无内无电荷电荷， 电荷体密度电荷体密度0 电荷电荷只只能分布在能分布在表面表面上。上。 导体导体表面附近表面附近任一点的任一点的场强大小场强大小与与该点附近该点附近 导体表面的电荷导体表面的电荷面面密度成密度成正正比。比。 表面表面电荷分

25、布特点：电荷分布特点：总电荷总电荷与曲率半径成与曲率半径成正正比比 面密度面密度与曲率半径成与曲率半径成反反比比 导体静电平衡时的导体静电平衡时的带电带电特点：特点： 实心导体实心导体： 导体内无电荷，电荷体密度导体内无电荷，电荷体密度电荷分布在表面上。电荷分布在表面上。0 空腔导体空腔导体： 腔内腔内无无电荷：电荷：0内内表面无电荷表面无电荷电荷全部分布在电荷全部分布在外外表面上。表面上。 腔内腔内有有电荷电荷q，空腔导体带电空腔导体带电Q Q：0空腔导体空腔导体内表面内表面qq内表空腔导体空腔导体外表面外表面Qqq外表注意：只要是注意：只要是导体板导体板，必须，必须考虑厚度考虑厚度，每一表

26、面，每一表面 都有电荷且都有电荷且密度有可能不同密度有可能不同。*解题关键点解题关键点 当导体当导体没有没有与其它导体与其它导体接触接触时，电荷时，电荷分布分布可可变变，但，但 总电量不变总电量不变（电荷守恒）（电荷守恒） 导体内任意一点场强导体内任意一点场强 = 0= 0结论：结论： 最外侧最外侧的两个表面电荷密度等值的两个表面电荷密度等值同同号。号。 相对相对的两个表面电荷密度等值的两个表面电荷密度等值异异号。号。导体接地：导体接地： 无限大导体平板无限大导体平板与与地相连地相连的表面的表面不不带电荷（面电荷密度带电荷（面电荷密度 等于零）。等于零）。 球状球状导体导体0drE接地点半径接

27、地点0接地点rdE内内球球接地接地：外外壳所带总电量壳所带总电量不不变，变，内内球所带总电量球所带总电量变变化化 但带电，所带电荷与外壳电荷但带电，所带电荷与外壳电荷异异号，电量小号，电量小 于外壳所带电量。于外壳所带电量。外球外球壳接地：球壳壳接地：球壳外表面不外表面不带电带电例例7 7 在不带电的金属球旁，有一点电荷在不带电的金属球旁，有一点电荷+q+q，距球，距球 心为心为 ，金属球半径为，金属球半径为R，求：，求：金属球上感金属球上感 应电荷在球心处产生的场强及此时球心处的应电荷在球心处产生的场强及此时球心处的 电势电势U；若金属球接地，球上的净电荷为若金属球接地，球上的净电荷为 多少

28、？多少？Rrq0qooEE感qooEE感204rqEo感解：解：金属球上感应电荷在球心处产生的场强及金属球上感应电荷在球心处产生的场强及 此时球心处的电势此时球心处的电势U；方向：方向：从球心指向从球心指向 的方向的方向qoqooUUU感rq04rRrq 若金属球接地，球上的净电荷为多少？若金属球接地，球上的净电荷为多少？设球上的净电荷设球上的净电荷QoqooUUU感04400rqRQqrRQ电电场变化场变化产产生生磁磁场场磁磁场变化场变化产产生生电电场场位移电流位移电流密度密度tEtDJ位移电流位移电流SdtESdtDISSddLdIrdH位移电流与其产位移电流与其产生的磁场的关系生的磁场的

29、关系SLSdtBl dE感运运动动电电荷荷产产生生磁磁场场24reVqBr七、七、霍耳效应霍耳效应(Hall Effect)bIBRnqbIBUHH 霍耳电势差霍耳电势差 霍耳系数霍耳系数nqRH1BIhbVmF 结论结论nUH1bUH1eFqUH1IUHBUHq导体或半导体导体或半导体板中板中单位体积单位体积中的载流子数中的载流子数（载流子浓度）（载流子浓度）导体或半导导体或半导体板沿体板沿 方方向的向的厚厚度度B霍尔效应霍尔效应霍尔电势差霍尔电势差nqbIBUH霍尔系数霍尔系数nqRH1 指向电势指向电势高高的表面时，的表面时，电流由电流由正正电荷运动形成。（电荷运动形成。（空穴型空穴型半导体）半导体）（BI 指向电势指向电势低低的表面时，的表面时，电流由电流由负负电荷运动形成。（电荷运动形成。（电子型电子型半导体）半导体）（BI法拉第